Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 3 (8 maggio 2009)

Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 3 (8 maggio 2009)

Esercizio 1 (analogo all’es. 54 dell’elenco). Ho a disposizione n ∈ N monete: la i-esima moneta d`a testa con probabilit`a _nⁱ, per 1 ≤ i ≤ n. Scelgo una moneta a caso e la lancio k ∈ N volte.

(a) Qual `e la probabilit`a p_n,k che esca sempre testa nei k lanci?

(b) Supponendo che sia effettivamente uscita sempre testa nei k lanci, qual `e la probabilit`a (condizionata) q_n,k che esca testa anche al lancio successivo?

(c) Si calcoli il limite per n → ∞ (con k fissato) dei risultati ottenuti.

[p_n,k = _n¹ Pn

i=1(_nⁱ)^{k n→∞}−−−→R1

0 x^kdx = _k+1¹ ; q_n,k =

1 n

Pn

i=1(_nⁱ)^k+1

1 n

Pn i=1(_nⁱ)^k

−−−→n→∞

R1 0 x^k+1dx R1

0 x^kdx = ^k+1_k+2] Esercizio 2. 120 studenti sono suddivisi in 3 gruppi di 16, 40 e 44 studenti rispet- tivamente.

(a) Scelgo un gruppo a caso e indico con Y il numero di studenti nel gruppo scelto.

Determinare distribuzione e valore atteso di Y . [Y (Ω) = {36, 40, 44}, p_Y(36) = p_Y(40) = p_Y(44) = ¹₃, E(Y ) = 40]

(b) Scelgo uno studente a caso e indico con X il numero di studenti nello stesso gruppo dello studente scelto. Determinare distribuzione e valore atteso di X.

[X(Ω) = {36, 40, 44}, p_X(x) = ₁₂₀^x , E(X) = ¹²⁰⁸₃₀ ' 40.27 > 40]

Esercizio 3 (es. 69 dell’elenco). Si consideri la seguente classica strategia per il gioco della roulette. Gioco sempre sul rosso. Alla prima giocata punto un euro. Se perdo raddoppio la giocata, se vinco smetto. In ogni caso, dato che il mio capitale iniziale `e pari a 1023 euro, se perdo 10 volte di seguito devo smettere. La probabilit`a che esca il rosso in una giocata vale ¹⁸₃₇. Sia X la differenza tra il mio capitale alla fine del gioco e all’inizio. Si calcolino la distribuzione e il valore atteso di X. [X(Ω) = {−1023, 1}, p_X(−1023) = 1 − p_X(1) = (¹⁹₃₇)¹⁰, E(X) = 1 − (³⁸₃₇)¹⁰' −0.31 < 0]

N.B. I calcoli di valori attesi verrano eseguiti nella prossima esercitazione.

1