XU .e (b) Si determini la legge condizionale µY |Xe di eY data X

Laurea Magistrale in Matematica 2014/15 Nome:

23 Giugno 2015 Email:

Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Siano X, Y variabili aleatorie reali con densit`a congiunta fX,Y(x, y) := 2

(1 + x)³ 1{0<y<x}.

(a) Si determini la legge condizionale µ_{Y |X} di Y data X, riconoscendola come notevole. Si determini quindi la legge condizionale µ_X|Y di X data Y .

Introduciamo una nuova variabile aleatoria U ∼ U (0, 1) indipendente da X e Y . Poniamo Y := XU .e

(b) Si determini la legge condizionale µ_{Y |Xe} di eY data X. Si osservi che essa coincide con la legge condizionale µ_{Y |X} determinata al punto precedente.

(c) Si giustifichi la seguente affermazione: per ogni funzione ϕ : R² → R misurabile e limitata, si ha che E[ϕ(X, Y )] = E[ϕ(X, eY )].

Soluzione 1. (a) Determiniamo la densit`a marginale f<sub>X</sub> di X, da cui deduciamo la densit`a con- dizionale f_{Y |X} di Y data X. La legge condizionale cercata sar`a µ_{Y |X}(dy|x) = f_{Y |X}(y|x) dy.

Chiaramente fX(x) = 0 per x ≤ 0, mentre per x > 0 f_X(x) =

Z

R

f_X,Y(x, y) dy = Z _x

0

2

(1 + x)³dy = 2x (1 + x)³. Segue che per x > 0

f_{Y |X}(y|x) = f_X,Y(x, y) f_X(x) =

2

(1+x)³1{0<y<x}

2x (1+x)³

= 1

x1_(0,x)(y) . Si noti che f_{Y |X}(y|x) non `e altro che la densit`a della probabilit`a U (0, x).

Capovolgiamo ora i ruoli di X e Y . Chiaramente f_Y(y) = 0 se y ≤ 0, mentre per y > 0 f_Y(y) =

Z

R

f_X,Y(x, y) dx = Z ∞

y

2

(1 + x)³dx =



− 1

(1 + x)²

∞ y

= 1

(1 + y)² . Segue che per y > 0

f_X|Y(x|y) = f_X,Y(x, y) fY(y) =

2

(1+x)³1_{y<x}

1 (1+y)²

= 2(1 + y)²

(1 + x)³ 1_(y,∞)(x) .

(b) Per il lemma di congelamento, la legge condizionale di eY = XU data X `e il nucleo di probabilit`a µ(·|x) dato dalla legge di xU . Avendo U legge U (0, 1), `e immediato verificare che xU ha legge U (0, x). Quindi µ

Y |Xe = µ_{Y |X}. (c) Per le propriet`a della legge condizionale

E[ϕ(X, Y )] = Z

R

Z

R

ϕ(x, y)µ_{Y |X}(dy|x)



µX(dx)

e analogamente

E[ϕ(X, eY )] = Z

R

Z

R

ϕ(x, y)µ

Y |Xe (dy|x)



µ_X(dx) . Ma µ_{Y |X} = µ

Y |Xe , per il punto precedente, quindi E[ϕ(X, Y )] = E[ϕ(X, eY )].

Esercizio 2. Sia (Xn)_n∈N una successione di variabili aleatorie reali indipendenti e sia F_n:= σ(X1, . . . , Xn) , n ∈ N ,

la filtrazione naturale associata. Si supponga che per un certo a > 0 fissato convergano le seguenti tre serie numeriche:

∞

X

n=1

P(|Xn| > a) < ∞ ;

∞

X

n=1

EX_n1{|X_n|≤a} < ∞ ;

∞

X

n=1

VarX_n1{|X_n|≤a} < ∞ . Definiamo quindi i processi (Y_n)_n∈N e (M_k)_k∈N ponendo

Yn:= Xn1{|X_n|≤a}− EX_n1{|X_n|≤a} ; Mk:=

k

X

n=1

Yn. (a) Si dica se la variabile aleatoria Y_n`e F_n-misurabile, per n ∈ N.

(b) Si mostri che (M_k)_k∈N `e una martingala rispetto a (F_k)_k∈N. (c) Si mostri che la martingala (M_k)_k∈N converge P-q.c. e in L². (d) Si deduca dal punto precedente (e dalle ipotesi) che la serie

∞

X

n=1

Xn1_{|Xn|≤a}

converge P-q.c. a un limite reale.

(e) (*) Si deduca dal punto precedente (e dalle ipotesi) che la serie

∞

X

n=1

Xn

converge P-q.c. a un limite reale.

Soluzione 2. (a) S`ı, lo `e. Infatti Y_n = ϕ_n(X_n) con ϕ_n(x) := x1_{|x|≤a} − c_n una funzione misurabile (dove c_n= E[Xn1_{|Xn|≤a}`e una costante reale). Pertanto Y<sub>n</sub>`e σ(X_n)-misurabile, e a maggior ragione `e Fn-misurabile.

(b) Segue dal punto precedente che Mn `e Fn-misurabile, ossia il processo M `e adattato. Per costruzione ||Xn|1_{|Xn|≤a}| ≤ a, pertanto anche |E[|Xn|1_{|Xn|≤a}]| ≤ a e dunque |Yn| ≤ 2a per disuguaglianza triangolare. Essendo limitate, le variabili aleatorie Y_n sono in L^p per ogni p e quindi anche M_k (somma finita di Yn) lo `e. Infine

E[Mk|F_k−1] =

k

X

n=1

EY_n

F_k−1 =

k−1

X

n=1

Y_n

!

+ E[Yk] = M_k−1, dal momento che per n ≤ k − 1 si ha EY_n

F_k−1 = Y_n(perch´e Yn`e Fn-misurabile e dunque anche Fk−1-misurabile), mentre per n = k si ha EY_k

F_k−1

= E[Yk] = 0 (perch´e Yk `e funzione di X<sub>k</sub> e dunque `e indipendente da F_k−1). Ci`o mostra che E[Mk|F<sub>k−1</sub>] = M<sub>k−1</sub>. (c) Mostriamo che la martingala M `e limitata in L², da cui segue che M converge q.c. e in L².

Per quanto visto a lezione (una martingala ha incrementi ortogonali in L²) ci`o equivale a

∞

X

n=1

E[(Mk− M_k−1)²] < ∞ .

Notando che E[(Mk− M_k−1)²] = E[Y_k²] = Var[Xk1{|X_k|≤a}], la convergenza di tale serie `e vera per ipotesi.

(d) Per definizione, per ogni k ∈ N, Mk=

k

X

n=1

Xn1{|X_n|≤a}

!

−

k

X

n=1

E[Xn1{|X_n|≤a}]

! , ossia

k

X

n=1

Xn1_{|Xn|≤a}= M_k −

k

X

n=1

E[Xn1_{|Xn|≤a}] .

Abbiamo appena mostrato che q.c. M_kha limite finito, e anche la serie numerica nel membro destro ha limite finito per ipotesi. Segue dunque che, q.c., anche la serie del membro sinistro ha limite finito.

(e) Per ogni k ∈ N possiamo scrivere

k

X

n=1

Xn=

k

X

n=1

Xn1{|X_n|≤a}+

k

X

n=1

Xn1{|X_n|>a}.

Abbiamo mostrato che la prima serie nel membro destro converge q.c., quindi basta mostrare che anche la seconda serie converge q.c.. A tal fine usiamo l’ipotesi

∞

X

n=1

P(|Xn| > a) < ∞ ,

da cui segue (Borel-Cantelli) che P(lim sup_n∈N{|X_n| > a}) = 0, ossia q.c. si verifica solo un numero finito di eventi {|Xn| > a}, ossia q.c. si ha |X_n| ≤ a per n sufficientemente grande.

Ci`o significa che q.c. si ha X_n1_{|Xn|>a}= 0 per n sufficientemente grande, ossia q.c. la serie Pk

n=1Xn1{|X_n|>a}`e una somma finita, e dunque (banalmente) converge.

Esercizio 3. Sia (Bt)t≥0 un moto browniano definito su uno spazio di probabilit`a (Ω, A, P), con traiettorie t 7→ B_t(ω) continue per ogni ω ∈ Ω (e non solo per q.o. ω ∈ Ω). Introduciamo per n ∈ N la variabile aleatoria Wn e l’evento An definiti da

W_n:= B₂ⁿ− B₂n−1, A_n:=n

W_n≥ 2ⁿ²o

(a) Le variabili aleatorie (W_n)_n∈Nsono indipendenti? Quali sono le loro distribuzioni marginali?

(b) Si mostri che gli eventi A_n hanno la stessa probabilit`a p > 0.

(c) Si mostri che q.c. si verificano infiniti degli eventi (A_n)_n∈N. Definiamo τ : Ω → [0, ∞] ponendo

τ (ω) := infn

t ∈ [1, ∞) : B_t(ω) ≥ B^t

2(ω) +√ to

,

con la convenzione inf ∅ := ∞. Sia inoltre F_t^B := σ(B_u : 0 ≤ u ≤ t) la filtrazione naturale di B.

(d) Si mostri che il processo (Xt:= Bt− B_t/2−√

t)t≥0 `e adattato alla filtrazione (F<sub>t</sub><sup>B</sup>)t≥0. La variabile aleatoria τ `e un tempo d’arresto (rispetto a tale filtrazione)?

(e) Si deduca dai punti precedenti che τ < ∞ q.c..

Soluzione 3. (a) Le variabili aleatorie Wn sono indipendenti perch´e sono incrementi del moto browniano B relativi a intervalli di tempo disgiunti. Per le note propriet`a di scaling si ha Wn∼ N (0, 2ⁿ− 2ⁿ⁻¹) = N (0, 2ⁿ⁻¹).

(b) Indicando con Z ∼ N (0, 1) si ha

P(An) = P(Wn≥ 2^n/2) = P B2ⁿ − B₂n−1

√2ⁿ− 2ⁿ⁻¹ ≥ 2^n/2

√2ⁿ− 2ⁿ⁻¹

!

= P(Z ≥√

2) =: p , e naturalmente p > 0 (perch´e Z ha una densit`a strettamente positiva ovunque).

(c) Basta applicare il lemma di Borel-Cantelli, notando che gli eventi (A_n)_n∈N sono indipen- denti, dal momento che lo sono le variabili aleatorie (Wn)_n∈N.

(d) Chiaramente (B_t/2)t≥0 `e un processo adattato a (F<sub>t</sub><sup>B</sup>)t≥0, perch´e B<sub>t/2</sub> `e F_t/2^B -misurabile e dunque `e a maggior ragione F_t^B-misurabile. Segue che anche il processo Xt:= Bt−B_t/2−√

t

`e adattato a (F_t^B)_t≥0.

Segue che τ `e tempo d’arresto, in quanto tempo d’ingresso nel chiuso [0, ∞) per il processo adattato (Y_t)_t≥0 che ha traiettorie continue.

In alternativa, pi`u esplicitamente, {τ ≤ t} = ∅ per t < 1, mentre per t ≥ 1 {τ ≤ t} = {∃s ∈ [1, t] : X_s≥ 0} = [

s∈[1,t]

{X_s≥ 0} .

Essendo il processo X adattato, si ha {X_s≥ 0} ∈ F_s^B ⊆ F_t^Bper ogni s ≤ t, tuttavia l’unione S

s∈[1,t] `e pi`u che numerabile e non possiamo automaticamente dedurre che {τ ≤ t} ∈ F_t^B. L’idea `e di sfruttare la continuit`a delle traiettorie di X per ricondursi a un’unione numer- abile. Si osservi che non `e corretto considerare S

s∈[1,t]∩Q, perch´e una funzione continua potrebbe essere strettamente negativa in ogni punto di [1, t] ∩ Q ma annullarsi in un punto di [1, t] \ Q. Un modo di risolvere la questione `e di osservare che, per la continuit`a delle traiettorie di X, ponendo Q⁺:= (0, ∞) ∩ Q, possiamo scrivere

{τ ≤ t} = {∀ε ∈ Q⁺ ∃s ∈ [1, t] : X_s> −ε} .

Ancora per continuit`a delle traiettorie di X, se Xt> −ε allora Xu > −ε per ogni u in un intorno di t, che certamente comprende valori razionali di u; pertanto

{τ ≤ t} = {∀ε ∈ Q⁺ ∃s ∈ [1, t] ∩ Q : Xs> −ε} = \

ε∈Q⁺

[

s∈[1,t]∩Q

{X_s> −ε} .

Dato che {Xs> −ε} ∈ F_s^B ⊆ F_t^Bper ogni s ≤ t, essendoci ricondotti a unioni e intersezioni numerabili, segue che {τ ≤ t} ∈ F_t^B per ogni t ≥ 0. Ci`o mostra che τ `e un tempo d’arresto.

(e) Per i punti precedenti q.c. si verificano infiniti degli eventi A_n. D’altro canto, se A_n si verifica, si ha Bs ≥ B_s/2+√

s con s = 2ⁿ, per definizione di An, e dunque τ ≤ 2ⁿ. A maggior ragione, τ < ∞ q.c.. Pi`u formalmente:

lim sup

n∈N

An= \

k∈N

[

n≥k

An⊆ [

n≥1

An= {∃t = 2ⁿ: Bt− B_t/2 ≥√

t} ⊆ {τ < ∞}

e dunque 1 = P(lim sup_n∈NA_n) ≤ P(τ < ∞), ossia P(τ < ∞) = 1.