➀ - Esercizi di riepilogo e di complemento
Successioni di funzioni
1. Studiare la convergenza delle successioni {fn}n∈N
a) fn:
½ [0, 1] −→ R x 7−→ xn, b) fn:
½ [0, 1) −→ R x 7−→ xn, c) fn:
½ [0, 1 − δ] −→ R, δ ∈ (0, 1) x 7−→ xn,
2. Studiare la convergenza della successione {fn}n∈N
fn :
R+ −→ R x 7−→ 1
x + n.
3. Studiare la convergenza della successione {fn}n∈N
fn:
½ [0, 1] −→ R
x 7−→ xn− x2n.
4. Dimostrare che:
a) la successione {fn}n∈N
fn:
( (a, +∞) −→ R, a > 0 x 7−→ n
³q
x +n1 −√ x
´
`e uniformemente convergente, mentre b) la successione {fn}n∈N
fn:
( (0, +∞) −→ R, x 7−→ n
³q
x +n1 −√ x
´
non `e uniformemente convergente.
5. Studiare la convergenza della successione {fn}n∈N
fn:
½ [0, 1] −→ R
x 7−→ xn− xn+1.
6. Studiare la convergenza della successione {fn}n∈N
fn:
( [0, 1] −→ R x 7−→ nx
1 + n + x.
