Analisi e Modelli Matematici

(1)

Analisi e Modelli Matematici

Lezione 2

Marzo - Aprile 2014

(2)

n→+∞ lim P n = 0.

0 2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

1 2 3 4 5

� P 1 = 4

P n+1 = 0.7 P n .

� P

1

= 0.5 P

n+1

= 1.8 P

n

.

� s 0

s n+1 = q s n

Se 1 < q e P ₀ �= 0

Se 0 < q < 1

n →+∞ lim P n = ±∞

Dipende dal segno del primo termine

(3)

Successioni esponenziali (riassunto)

0 2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

s _n+1 = P ₀ q ⁿ⁺¹ = P ₀ q ⁿ q = s _n q s n = P 0 q ⁿ

s _n+1 − s n = (q − 1)s n si scrive esplicitamente il valore della successione:

Se 1 < q e P 0 �= 0

n →+∞ lim P _n = ∞

sappiamo che

che è caratterizzata anche dalle proprietà:

(4)

1 2 4 8 16 32 64

0 1 2 3 4 5 6

n

s _n

1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536

10 11 12 13 14 15 16

33 554 432 67 108 864 134 217 728 268 435 456 536 870 912 1 073 741 824 2 147 483 648

25 26 27 28 29 30 31

n

s _n

n

s _n

s n+1 = 2 s n ; s 0 = 1

Ogni numero in

alto è il

doppio del

Successioni esponenziali

1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536

10 11 12 13 14 15 16

33 554 432 67 108 864 134 217 728 268 435 456 536 870 912 1 073 741 824 2 147 483 648

Calcolare 4096 × 16384 4096 �→ 12 16384 �→ 14

12 + 14 = 26

26 �→ 67108864 = 4096 × 16384

(6)

“Tabularum autem logarithmicarum amplissimus est usus...”

“Students usually find the concept of logarithms very difficult to understand”.

Euler (1748) “Introductio in Analysis Infinitorum”

B.L. Van der Waerden (1957). “Uber die Einfuhrung des Logarithmus im Schulunterricht”

(7)

Successioni esponenziali

s _n+1 − s n = (q − 1)s n

variazione della successione è proporzionale alla successione stessa

(8)

variazione della successione è proporzionale alla radice della successione stessa

s _n = n ²

s _n+1 = (n + 1) ² = n ² + 2n + 1 = s _n + 2n + 1 s _n+1 − s ⁿ = 2n + 1 � 2 √ s _n

La crescita è molto più lenta : √ s _n < s _n

se _s _n è grande

(9)

Successioni (non) esponenziali

variazione della successione è proporzionale una potenza minore di 1 della successione stessa

La crescita è molto più lenta : s n = n ³

s _n+1 = n ³ + 3n ² + 3n + 1 = s _n + 3n ² + . . . s n+1 − s ⁿ � 3n ² = 3(s n ) ^2/3

(s n ) ^2/3 < s n

(10)

variazione della successione

s n = 2 ⁿ

s ₁₀₀₁ − s 1000 = s ₁₀₀₀ = 2 ¹⁰⁰⁰ >> 10 ³⁰⁰

s ₁₀₀₁ − s ¹⁰⁰⁰ � 2 √ s ₁₀₀₀ � 2000 s n = n ²

variazione della

successione

(11)

Problemi (riassunto)

� s 0 = α,

s n+1 = f (s n ), n ≥ 0.

1) Quale è lo stato del sistema in ogni istante?

2) Quale è l'andamento asintotico del sistema?

3) Se e come l'andamento del sistema dipende dal dato iniziale?

4) Se e come l'andamento del sistema dipenda da parametri

presenti nella legge di ricorrenza?

(12)

� s 0 = α,

s n+1 = f (s n ), n ≥ 0.

Se lim

n →∞ s _n = � allora

� = f (�)

(13)

Considerazioni generali

� s 0 = α,

s n+1 = f (s n ), n ≥ 0.

I possibili limiti vanno cercati fra i punti stazionari

� = f (�)

Questo permette di “indovinare” i possibili limiti

(14)

� s

0

= α,

s

n+1

= f (s

n

), n ≥ 0.

0.5 1.0 1.5

s

₀

Metodo grafico per lo studio del comportamento della successione

(15)

Successione Logistica

� s 0 = α,

s n+1 = qs n (1 − s n ), n ≥ 0.

Se 0 < q ≤ 1 allora lim

n →+∞ s n = 0 per qualsiasi ⁰ ≤ α ≤ 1

p

0.4 0.6 0.8 1.0

p

0.4 0.6 0.8 1.0

q = 0.8

(16)

� s 0 = α,

s n+1 = qs n (1 − s n ), n ≥ 0.

Se 0 < q ≤ 1

n →+∞ lim s n = 0

0 ≤ α ≤ 1 per qualsiasi

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(17)

Successione Logistica

� s 0 = α,

s n+1 = qs n (1 − s n ), n ≥ 0.

0 < α < 1 allora per qualsiasi

Se 1 < q ≤ 3 lim

n →+∞ s _n = 1 − 1

q q = 1.5

p

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

p

0.4 0.6 0.8 1.0

(18)

q = 2.5

s 0 = α,

s n+1 = qs n (1 − s n ), n ≥ 0.

0 < α < 1 allora per qualsiasi

Se 1 < q ≤ 3 lim

n →+∞ s _n = 1 − 1

q

5 10 15 20 25 30

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

5 10 15 20 25 30

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(19)

Successione Logistica

� s

₀

= α,

s

_n+1

= qs

_n

(1 − s

n

), n ≥ 0.

Se 1 < q ≤ 3

n →+∞ lim s _n = 1 − 1 q

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(20)

s 0 = α,

s n+1 = qs n (1 − s n ), n ≥ 0.

0 < α < 1 allora per qualsiasi

Se 1 < q ≤ 3 lim

n →+∞ s _n = 1 − 1

q q = 2.95

10 20 30 40 50

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

10 20 30 40 50

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(21)

Successione Logistica

� s

0

= α,

s

n+1

= qs

n

(1 − s

n

), n ≥ 0.

Se 1 < q ≤ 3 q = 2.95

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(22)

s

0

= α,

s

n+1

= qs

n

(1 − s

n

), n ≥ 0.

Se 1 < q ≤ 3 q = 2.95

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

(23)

Successione Logistica

� s ₀ = α,

s _n+1 = qs _n (1 − s n ), n ≥ 0.

q = 3.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Se la successione ha carattere oscillante per quasi tutti i dati iniziali q > 3

(24)

�s0= α,

sn+1= qsn(1− sn), n≥ 0.

q = 3.2

Se la successione ha carattere oscillante per quasi tutti i dati iniziali q > 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(25)

Successione Logistica

10 20 30 40 50

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

10 20 30 40 50

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

q = 3.42

0.4 0.6 0.8 1.0

q = 3.44

(26)

10 20 30 40 50 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

q = 3.46

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

q = 3.47

(27)

Successione Logistica

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(28)

20 40 60 80 100 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

q = 3.55

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

q = 3.57

(29)

Successione Logistica

q = 3.55

q = 3.57

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(30)

20 40 60 80 100 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

q = 3.61

s 1 = 0.6 s 1 = 0.61

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

s 1 = 0.61 s 1 = 0.6

q = 3.7

(31)

Successione Logistica

q = 3.61

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(32)

s 1 = 0.61 s 1 = 0.6

q = 3.7

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(33)

Considerazioni generali

� s 0 = α,

s n+1 = f (s n ), n ≥ 0.

Geometricamente i punti stazionari sono le intersezioni � = f (�)

0.2 0.4 0.6 0.8

� f (�)

Se s ₀ = �

allora s n = � per ogni n

La successione s n `e costante

(34)

s _n si allontana da � ancora di pi` u s n rimane vicino a �

s _n non solo rimane vicino a � ma addirittura

n →+∞ lim s n = �

� s

₀

= α,

s

_n+1

= f (s

_n

), n ≥ 0.

allora s _n = � per ogni n Se � = f (�) e se s 0 = �

Cosa succede invece se s ₀ `e vicino a � ma s ₀ �= � ?

Possono succedere tre fenomeni:

(35)

Stabilità

� s

0

= α,

s

n+1

= f (s

n

), n ≥ 0.

si dice instabile se la successione per valori iniziali anche vicini a Un punto di equilibrio

può allontanarsene arbitrariamente.

si dice stabile se la successione per valori iniziali “vicini” a si allontana poco dal valore

si dice asintoticamente stabile se per valori iniziali “vicini” a n →+∞ lim s _n = �

�

(36)

“Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo all'istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo.

Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. “

Jules Henri Poincaré (29 Aprile 1854 – 17 Luglio 1912)

“Science et Mèthode”

(37)

Considerazioni generali

Jules Henri Poincaré (29 Aprile 1854 – 17 Luglio 1912)

“Science et Mèthode”

“Se questo ci consentisse di prevedere la situazione finale con la stessa approssimazione non occorrerebbe di più e potremmo dire che il fenomeno è stato previsto [...].”

“Ma non è sempre così: può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. [...]

La previsione diviene impossibile.”

Altrettanto importante può essere la stabilità del limite non solo rispetto a variazioni del dato iniziale ma anche a “piccole” variazioni

della legge di ricorrenza. Si parla in questi casi

(38)

� s

0

= α,

s

n+1

= f (s

n

), n ≥ 0.

0.5 1.0 1.5

Se l’attraversamento della bisettrice è dal “basso verso l’alto”

il punto di equilibrio è instabile

0.5 1.0 1.5

(39)

0.2 0.4 0.6 0.8

� s

0

= α,

s

n+1

= f (s

n

), n ≥ 0.

0.5 1.0 1.5

Caratteristiche del grafico di “f”

Se l’attraversamento della bisettrice è da “alto verso basso”

dipende dalla pendenza

(40)

s

0

= α,

s

n+1

= f (s

n

), n ≥ 0.

Se l’attraversamento della bisettrice è da “alto verso basso”

dipende dalla pendenza

0.2 0.4 0.6 0.8

2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8

Se la pendenza è positiva o non troppo negativa si ha stabilità asintotica

(41)

� s

0

= α,

s

n+1

= f (s

n

), n ≥ 0.

Caratteristiche del grafico di “f”

Se l’attraversamento della bisettrice è da “alto verso basso”

dipende dalla pendenza

Se la pendenza è molto negativa si ha instabilità

0.5 1.0 1.5

2 4 6 8

0.5 1.0 1.5

(42)

� s ₀

s _n+1 = q s ² _n + 1

Studiare al variare di “q” l’andamento della successione :

cosa succede quando “q” è positivo o negativo, piccolo o grande?

quando il limite è finito o infinito?

quando il valore del dato iniziale è importante per il valore del limite?

(43)

Esercizio

Studiare al variare di “q” l’andamento della successione :

� s

₀

s

_n+1

= q s

²_n

+ 1

Ci si può aspettare che:

1) Se “q” fosse “grande” s

n

dovrebbe tendere a + infinito;

2) Se “q” fosse “piccolo” (vicino a 0) s

n

dovrebbe rimanere limitata;

3) Se “q” fosse “negativa grande” s

n

dovrebbe tendere a - infinito;

riusciamo a rendere precise queste intuizioni?

(44)

Studiare al variare di “q” l’andamento della successione :

� s

₀

s

_n+1

= q s

²_n

+ 1

La funzione che dà la legge di ricorrenza è: f (x) := q x

²

+ 1 alcuni grafici rilevanti potrebbero essere:

�2 �1 1 2

�2

�1 1 2 3 4 5

�4 �2 2 4

�4

�2 2 4

�4 �2 2 4

�4

�2 2 4

(45)

Esercizio

Studiare al variare di “q” l’andamento della successione :

� s

₀

s

_n+1

= q s

²_n

+ 1

1 2 3 4

0 < q < 1 4

la parabola non ha punti di intersezione con la bisettrice;

non esistono punti stazionari;

tutte le successioni tendono a +infinito

Se

(46)

Studiare al variare di “q” l’andamento della successione :

� s

₀

s

_n+1

= q s

²_n

+ 1

la parabola è tangente alla bisettrice;

esiste un solo punto stazionario:

Se q = 1

4 � = 2

1 2 3 4

−2 ≤ s

0

≤ 2

|s

0

| > 2

= ⇒ lim

n→+∞

s

n

= 2

= ⇒ lim

n→+∞

s

n

= + ∞

(47)

Esercizio

Studiare al variare di “q” l’andamento della successione :

� s

₀

s

_n+1

= q s

²_n

+ 1 Se esistono due punti stazionari

�

1

< �

2

2 4 6 8 10

q < 1

12

4 −�

2

≤ s

0

≤ �

2

|s

0

| > �

2

= ⇒ lim

n→+∞

s

n

= �

1

= ⇒ lim

n→+∞

s

n

= +∞

(48)

Studiare al variare di “q” l’andamento della successione :

� s

₀

s

_n+1

= q s

²_n

+ 1 Se esistono due punti stazionari

�

1

�

2

q < 0

�

1

< 0 < �

2

se q è “grande” si perdono le successioni con

n→+∞

lim s

n

= �

2

n→+∞

lim s

n

= −∞

rimangono invece quelle con:

oppure:

Discutetelo in funzione di ^s

⁰

�2 �1 1 2

�2

�1 1 2

(49)

Approssimazioni successive

Metodo di Newton

Obiettivo è calcolare con buona precisione la(/le) soluzione di un’equazione:

f (x) = 0

Geometricamente stiamo cercando l’intersezione del grafico della funzione con l’asse delle ascisse

�0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

�0.5 0.5 1.0

Approssimazioni successive:

metodo di Newton

(50)

Metodo di Newton

Obiettivo è calcolare con buona precisione la(/le) soluzione di un’equazione:

f (x) = 0

Geometricamente stiamo cercando l’intersezione del grafico della funzione con l’asse delle ascisse

�0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

�1.0

�0.5 0.5 1.0

(51)

Approssimazioni successive

Metodo di Newton

Obiettivo è calcolare con buona precisione la(/le) soluzione di un’equazione:

f (x) = 0

Geometricamente stiamo cercando l’intersezione del grafico della funzione con l’asse delle ascisse

�0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

�0.5 0.5 1.0

s 0

s 1

Approssimazioni successive:

metodo di Newton

(52)

Metodo di Newton

Obiettivo è calcolare con buona precisione la(/le) soluzione di un’equazione:

f (x) = 0

Geometricamente stiamo cercando l’intersezione del grafico della funzione con l’asse delle ascisse

Poi si ripete a partire da

s

1

�0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

�1.0

�0.5 0.5 1.0

s

1

s

0

s

2

(53)

Approssimazioni successive f (x) = 0

y = f ^� (s ₀ )(x − s 0 ) + f (s ₀ ) Retta tangente:

x = s ₀ − f (s ₀ ) f ^� (s ₀ ) che si annulla per:

si ripete la procedura a partire da

:= s 1

s ₀ �→ s 1 := s ₀ − f (s ₀ ) f ^� (s ₀ ) Approssimazioni successive:

metodo di Newton

s ₁ �→ s ²

s 1

:= s − f (s ₁ )

(54)

f (x) = 0

s _n �→ s n+1 := s _n − f (s _n ) f ^� (s _n )

otteniamo quindi la procedura per ricorrenza

 

 s ₀

s n+1 := s n − f (s n ) f ^� (s n )

scelto liberamente, meglio se “vicino” al

valore obiettivo

La ricorrenza produce una successione che approssima il punto di zero in ipotesi molto generali: f deve essere una funzione liscia, concava o

convessa nella regione vicina al punto di zero.

La convergenza è molto veloce

(55)

Approssimazioni successive:

metodo di Newton

Esempio: approssimazione del valore di √ 2

√ 2 è lo zero positivo dell’equazione : f (x) := x ² − 2 = 0

s _n+1 = s _n − f (s _n )

f ^� (s _n ) = s n − s ² _n − 2

2s _n = s n

2 + 1 s _n

otteniamo la procedura per ricorrenza :

 

 s ₀

s _n+1 = s n

2 + 1

s n

(56)

Esperimenti numerici. Cifre esatte

�1, 1.5`40.,

1.41666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667`40., 1.41421568627450980392156862745098039215686274509803921568627450980392156862746`40., 1.41421356237468991062629557889013491011655962211574404458490501920005437183539`40., 1.41421356237309504880168962350253024361498192577619742849828949862319582422892`40., 1.41421356237309504880168872420969807856967187537723400156101313311326525563034`40., 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621`40., 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846211`40.�

�3,

1.83333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333`40., 1.46212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212`40., 1.41499842989480295179777045062019155283403988067200502433663055424713455801538`40., 1.4142137800471975839200234141390345672127534660028125042622997702370116664302`40., 1.41421356237311180087113641686894154181626390642479100754009420259950922226023`40., 1.41421356237309504880168872430891641385044991878415404215410685807296921147526`40., 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807318016021587533495510321`40., 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846211`40.�

s 0 = 1

s 0 = 3

Ad ogni passo approssimativamente si raddoppiano le cifre esatte.

Con il metodo di bisezione ogni 3 passi circa si ottiene una nuova cifra decimale

(57)

Approssimazioni successive:

metodo di Newton

1) I Babilonesi interpretavano rapporti di lunghezze come numeri.

2) Avevano un sistema posizionale (in base 60) per rappresentare i numeri.

3) I numeri rappresentano un rappresentazione molto buona della lunghezza della diagonale di un quadrato.

4) Possedevano un algoritmo per il calcolo della radice quadrata di 2 probabilmente del YBC 7289

(Yale Babylonian Collection)

Datazione approssimativa

fra 1600 e 1900 B.C.

(58)

Dati due interi positivi “a” e “b” trovare il loro massimo comune denominatore (mcd)

e definiamo r 0 = a, r 1 = b

r 2 = resto della divisione di a con b cio`e r 2 `e l’unico intero non negativo tale che

r 0 = q 1 r 1 + r 2 , r 2 < r 1

r n −1 = q n r n + r n+1 , r 2 < r 1

r n+1 `e l’unico intero non negativo tale che

Supponiamo 0 < b < a

(59)

Algoritmo di Euclide

Dati due interi positivi “a” e “b” trovare il loro massimo comune denominatore: mcd (a,b) e definiamo

r ₀ = a, r ₁ = b Supponiamo 0 < b < a

Quindi otteniamo una successione strettamente decrescente di interi non negativi

r ₀ = a > r ₁ = b > r ₂ > · · · > r k > r _k+1

Esiste quindi un primo indice “k” per il quale r _k+1 = 0

Allora mcd(a, b) = r _k

(60)

Consideriamo la successione di interi positivi costruita con la seguente legge per ricorrenza

s 0 `e un qualsiasi intero positivo

dato s n si costruisce s n+1 con la seguente legge:

s n+1 =

� s n /2 se s n `e pari,

3s _n + 1 se s _n `e dispari.

(61)

Esempio estemporaneo

s 0 `e un qualsiasi intero positivo s n+1 =

� s n /2 se s n `e pari, 3s _n + 1 se s _n `e dispari.

Esempi:

s 0 = 5 s 0 = 7 s 0 = 29

�7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1�

�29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1�

�5, 16, 8, 4, 2, 1�

(62)

s

0

`e un qualsiasi intero positivo s n+1 = ^s

ⁿ

^/2 ^{se s}

ⁿ

^{`e pari,} 3s

_n

+ 1 se s

_n

`e dispari.

Esempi:

s

0

= 29

�29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1�

s 0 = 27

�27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274,

137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780,

890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319,

958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734,

1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325,

976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 �

Problema aperto: la successione termina, cioè arriva a 1 qualsiasi sia il dato iniziale?

(63)

Esempio geometrico

Consideriamo la seguente costruzione nel piano: fissiamo 3 punti A, B, C e un punto iniziale s(0)

A B

C

s

0

(64)

Fissati 3 punti A, B, C e un punto iniziale s(0)

A B

C

s

0

s

1

Di nuovo si sceglie a caso e s(2) sarà il punto medio fra s(1) e il punto scelto fra A, B, C

(65)

Esempio geometrico

Fissati 3 punti A, B, C e un punto iniziale s(0)

A B

C

s

0

s

1

s

2

(66)

Fissati 3 punti A, B, C e un punto iniziale s(0)

A B

C

s

0

s

1

e ripetendo l’operazione qualche migliaio di volte s

2

s

3

(67)

Esempio geometrico

Fissati 3 punti A, B, C e un punto iniziale s(0) dopo 4000 iterazioni

A B

C

s

0

(68)

Fissati 3 punti A, B, C e un punto iniziale s(0) dopo 4000 iterazioni

A B

C

s

0

Le successioni dipendono dal punto iniziale scelto e inoltre sono casuali.

Ogni singola successione non ha limite

(69)

Esempio geometrico

Fissati 3 punti A, B, C e un punto iniziale s(0) dopo 4000 iterazioni

A B

C

s

0

Le successioni dipendono dal punto iniziale scelto e inoltre sono casuali.

Ogni singola successione non ha limite

(70)

Fissati 3 punti A, B, C e un punto iniziale s(0) dopo 4000 iterazioni

A B

C

s

0

Le successioni dipendono dal punto iniziale scelto e inoltre sono casuali.

Ogni singola successione non ha limite

Invece l’insieme limite a cui tutte tendono sembra indipendente da s(0).

In questo caso è un insieme frattale noto come Sierpinski gasket.

(71)

Esempio geometrico Fissati 3 punti A, B, C e un punto iniziale

A B

C

s

0

Analisi e Modelli Matematici