Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari
Ancora esempi
Anna M. Bigatti 5 marzo 2013
Esercizio 1. Trovare 3 diverse applicazioni lineari ϕ : R6−→ R3 tali che Im(ϕ) = h(1, 2, 3)i . Scriverne le matrici associate.
Esercizio 2. Trovare un’applicazione lineare ϕ : R4−→ R3 tale che Ker(ϕ) = h(1, 2, 3, 4)i . Scriverne una matrice associata.
Esercizio 3. Trovare un’applicazione lineare ϕ : R3−→ R2 tale che Ker(ϕ) = h(1, 0, 3), (−1, 1, 0)i . Scriverne una matrice associata.
Quanto vale dim(Im(ϕ)) ?
Esercizio 4. Esiste un’applicazione lineare ϕ : R6−→ R3 tale che Ker(ϕ) = h(1, 2, 3, 4, 5, 6)i ? Esercizio 5. Sia data la funzione lineare ϕ : R2 −→ R2 tale che ϕ((1, 0)) = (−1, 0) e ϕ((0, 1)) = (0, 1) .
(a) Scrivere Mϕ(E)E .
(b) “Graficamente” cosa fa questa funzione?
Esercizio 6. Quali delle seguenti funzioni ϕ : R2−→ R2 sono lineari?
(a) la simmetria rispetto all’origine.
(b) la simmetria rispetto alla retta r : x = 1 . (c) la simmetria rispetto alla retta r : 2x − 3y = 0 . (d) la proiezione su r : x = 0
(e) la proiezione su r : x + y + 3 = 0 (f) la proiezione su r : (2t, 7t)
Di quelle che sono funzioni lineari, calcolare Mϕ(E)E , il nucleo e l’immagine.
Esercizio 7. Consideriamo nel piano una rotazione rigida (cio`e che mantiene le lunghezze) antioraria di π4.
(a) E’ una funzione lineare?
(b) Calcolare Mϕ(E)E .
(c) Esistono vettori v ∈ R2 tali che ϕ(v) = 2v ? (d) Esistono vettori v ∈ R2 tali che ϕ(v) = v ?
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Esercizio 8. Consideriamo nel piano le rotazioni rigide antiorarie di π4 ( ϕ ) e di π6 ( ψ ).
(a) Calcolare Mϕ(E)E e Mψ(E)E
(b) A cosa corrispondono le funzioni ϕ ◦ ψ e ψ ◦ ϕ ? (c) Calcolare Mϕ◦ψ(E)E e Mψ◦ϕ(E)E .
Esercizio 9. Trovare un’applicazione lineare ϕ : R4−→ R4 tale che ϕ((1, 2, 0, 0)) = (1, 0, 1, 0) . Scriverne una matrice associata.
Esercizio 10. Trovare un’applicazione lineare ϕ : R4−→ R4 tale che ϕ((1, 2, 0, 0)) = (10, 20, 0, 0) . Scriverne una matrice associata.
Scriverne Mϕ(E)E .
Esercizio 11. Scrivere, se esiste, un’applicazione lineare ϕ : R3 −→ R3 tale che Ker(ϕ) = Im(ϕ)
Scrivere, se esiste, un’applicazione lineare ϕ : R4−→ R4 tale che Ker(ϕ) = Im(ϕ) .
Esercizio 12. Trovare un’applicazione lineare ϕ : R3 −→ R3 tale che ϕ((1, 1, 0)) = (2, 2, 0) , ϕ((1, 0, 1)) = (3, 0, 3) , ϕ((0, 1, 1)) = (0, −1, −1) .
Scriverne una matrice associata.
Scriverne Mϕ(E)E .
Esercizio 13. Dati R2 e R3 sia Hom(R2, R3) l’insieme degli omomorfismi ϕ : R2 −→ R3. Allora Hom(R2, R3) `e un R -spazio vettoriale isomorfo a M3,2.
Il sottoinsieme delle funzioni iniettive `e un sottospazio?
Il sottoinsieme delle funzioni con immagine contenuta in < (1, 2, 3) > `e un sottospazio?
Esercizio 14. Dati V e W due K -spazi vettoriali di dimensione dV e dW, sia Hom(V, W ) l’insieme degli omomorfismi ϕ : V −→ W . Allora Hom(V, W ) `e un K -spazio vettoriale isomorfo a MdW×dV .
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