Esercizi per il corso Matematica

(1)

Esercizi per il corso Matematica

Daniele Ritelli

^∗

2007-2008

Lezione 1

Esercizio 1. I valori di a, b, c, e d sono 1, 2, 3 e 4 ma non necessariamente in questo ordine. Dimostrare che il pi`u grande possibile valore di ab + bc + cd + da `e 25.

Esercizio 2. Provare che se r ≥ s ≥ t allora

r²− s²+ t²≥ (r − s + t)². Esercizio 3. Provare che

a³+ b³+ c³− 3abc = (a + b + c)(a²+ b²+ c²− ab − bc − ca) e che

2a²+ 2b²+ 2c²− 2ab − 2bc − 2ca = (a − b)²+ (b − c)²+ (c − a)².

Dedurre poi la disuguaglianza fra medie aritmetica e geometrica per tre numeri reali positivi, cio`e, provare che se α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0, allora

pαβγ ≤3 α + β + γ

3 .

Lezione 2

Esercizio 4. Siano A = {a, b, c, d, e, f} and B = {a, e, i, o, u}. Trovare A ∪ B, A ∩ B, A \ B e B \ A.

Risposte:

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, i, o, u}, A ∩ B = {a, e}, A \ B = {b, c, d, f}, B \ A = {i, o, u}

Esercizio 5. Siano C =] − 5; 5[, D =] − 1; +∞[. Trovare C ∩ D, C ∪ D, C \ D, e D \ C.

Risposte:

] − 1; 5[, ] − 5; +∞[, ] − 5; −1], [5; +∞[

Esercizio 6. Siano C =] − 5; 3[, D = [4; +∞[. Trovare C ∩ D, C ∪ D, C \ D, e D \ C.

Risposte:

∅, ] − 5; 3[∪[4; +∞[, ] − 5; 3[, [4; +∞[

Esercizio 7. Siano C = [−1; −2 +√

3[, D = [−1/2;√

2 − 1]. Trovare C ∩ D, C ∪ D, C \ D, and D \ C.

Risposte:

[−1/2; −2 +√

3[, [−1;√

2 − 1], [−1; −0.5[, [−2 +√ 3;√

2 − 1]

Esercizio 8. Scrivere eliminando il valore assoluto:

√3 − q

|2 −√ 15|

∗Grazie a David A. Santos[email protected]

(2)

Risposta: √

3 −p√ 15 − 2

Esercizio 9. Scrivere eliminando il valore assoluto, se x > 2:

|x − |1 − 2x||

.

Soluzione: Se x > ¹₂, abbiamo |1 − 2x| = 2x − 1. Cos`ı |x − |1 − 2x|| = |x − (2x − 1)| = | − x + 1|.

Se x > 1 allora | − x + 1| = x − 1. In conclusione, per ogni x > 1 (e a fortiori x > 2, abbiamo

|x − |1 − 2x|| = x − 1 Esercizio 10. Risolvere |5x − 2| = |2x + 1|.

Soluzione: Abbiamo

|5x − 2| = |2x + 1| ⇐⇒ (5x − 2 = 2x + 1) o (5x − 2 = −(2x + 1))

⇐⇒ (x = 1) o (x = 1 7)

⇐⇒ x ∈ 1 7, 1

Esercizio 11. Risolvere |x − 2| + |x − 3| = 1.

Soluzione: Il primo termine si annulla quando x = 2 r il secondo termine si annulla quando x = 3.

Ripartiamo R in intervalli di estremi in cui ogni addendo dei valori assoluti si annulla. Cos`ı abbiamo R=] − ∞; 2] ∪ [2; 3] ∪ [3; +∞[.

Analizziamo il diagramma

x ∈ ] − ∞; 2] [2; 3] [3; +∞[

|x − 2| = −x + 2 x − 2 x − 2

|x − 3| = −x + 3 −x + 3 x − 3

|x − 2| + |x − 3| = −2x + 5 1 2x − 5 Su ] − ∞; 2] troviamo −2x + 5 = 1 quindi x = 2.

Su [2; 3] otteniamo l’identit`a 1 = 1. Questo significa che tutti i numeri di questo intervallo sono soluzioni di questa equzione.

On [3; +∞[ abbiamo 2x − 5 = 1 da cui x = 3.

Riassumendo, l’insieme delle soluzioni `e {x|x ∈ [2; 3]}.

(3)

Esercizio 12. Risolvere l’equazione |x| + |x − 1| = 2. Risposta: {−¹₂,³₂} Esercizio 13. Risolvere l’equazione |x| + |x − 1| = 1. Risposta: {x|x ∈ [0; 1]}

Esercizio 14. Risolvere l’equazione |2x| + |x − 1| − 3|x + 2| = 1. Risposta: {−1}

Esercizio 15. Risolvere l’equazione |2x| + |x − 1| − 3|x + 2| = −7. Risposta: [1; +∞[

Esercizio 16. Risolvere l’equazione |2x| + |x − 1| − 3|x + 2| = 7. Risposta: ] − ∞; −2]

Esercizio 17. Se x < 0 provare che

x −p(x − 1)²

= 1 − 2x.

Esercizio 18. Risolvere l’equazione |x²− 3x| = 2. Risposta: {³2+^√₂¹⁷,³₂−^√2¹⁷, 1, 2}

Esercizio 19. Risolvere l’equazione x²− 2|x| + 1 = 0. Risposta: {−1, 1}

Esercizio 20. Risolvere l’equazione x²− |x| − 6 = 0. Risposta: {−3, −2, 2, 3}

Esercizio 21. Risolvere l’equazione x²= |5x − 6|. Risposta: {−6, 1, 2, 3}

Esercizio 22. Provare che se x ≤ −3, allora |x + 3| − |x − 4| `e costante.

Esercizio 23. Provare che max(a, b) = a + b + |a − b|

2 .

Esercizio 24. Provare che min(a, b) = a + b − |a − b|

2 .

Lezione 3

Esercizio 25. Disegnare il grafico della funzione f : R → R

x 7→ |2x − 1| e calcolare f (−1), f(0), f(1).

Esercizio 26. Sia f : Dom (f ) → R una funzione. Diremo che f ha un punto unito in t ∈ Dom (f) se f (t) = t.

Sia f : [0; +∞[→ R, f(x) = x⁵− 2x³+ 2x. Determinare tutti i punti uniti di f . Soluzione: Si devono trovare tutte le x ∈ Dom (f) per cui f(x) = x. Cos`ı

f (x) = x =⇒ x⁵− 2x³+ 2x = x

=⇒ x⁵− 2x³+ x = 0

=⇒ x(x⁴− 2x²+ 1) = 0

=⇒ x(x²− 1)²= 0

=⇒ x(x + 1)²(x − 1)²= 0.

Le soluzioni di quest’ultima equazione sono {−1, 0, 1}. Poich´e −1 6∈ Dom (f), i soli punti uniti di f sono x = 0 e x = 1.

Esercizio 27. Sia f : R → R, x 7→ x²− x. Calcolare

f (x + h) − f(x − h)

h .

Esercizio 28. Sia f : R → R, x 7→ x³− 3x. Calcolare f (x + h) − f(x − h)

h .

Esercizio 29. Sia a : R → R, data da a(2 − x) = x²− 5x. Calcolare a(3), a(x) e a(a(x)).

Risposta: a(3) = 6; a(x) = x²+ x − 6; a(a(x)) = 24 − 11x − 10x²+ 2x³+ x⁴

(4)

Esercizio 30. Sia f : R → R, f(1 − x) = x²− 2. Trovare f(−2), f(x) e f(f(x)).

Risposta: f (−2) = 7, f(x) = x²− 2x − 1, f(f(x)) = x⁴− 4x³+ 8x + 2 Esercizio 31. Sia h : R → R definita da h(1 − x) = 2x. Determinare h(3x).

Soluzione: Rinominiamo la variabile indipendente: h(1 − s) = 2s. Ora, se 1 − s = 3x allora s = 1 − 3x. Quindi

h(3x) = h(1 − s) = 2s = 2(1 − 3x) = 2 − 6x.

Esercizio 32. Consideriamo il polinomio

(1 − x²+ x⁴)²⁰⁰³= a0+ a1x + a2x²+ · · · + a8012x⁸⁰¹². Determinare

➊ a0

➋ a0+ a1+ a2+ · · · + a8012

➌ a0− a1+ a2− a3+ · · · − a8011+ a8012

➍ a0+ a2+ a4+ · · · + a8010+ a8012

➎ a1+ a3+ · · · + a8009+ a8011

Soluzione: Poniamo

p(x) = (1 − x²+ x⁴)²⁰⁰³= a0+ a1x + a2x²+ · · · + a⁸⁰¹²x⁸⁰¹². Allora

➊ a0= p(0) = (1 − 0²+ 0⁴)²⁰⁰³= 1.

➋ a0+ a1+ a2+ · · · + a8012= p(1) = (1 − 1²+ 1⁴)²⁰⁰³= 1.

➌

a0− a¹+ a2− a³+ · · · − a⁸⁰¹¹+ a8012 = p(−1)

= (1 − (−1)²+ (−1)⁴)²⁰⁰³

= 1.

➍ La somma richiesta `e p(1) + p(−1)

2 = 1.

➎ La somma richiesta `e p(1) − p(−1)

2 = 0.

Esercizio 33. Sia f : R → R, una funzione tale che ∀x ∈]0; +∞[, [f (x³+ 1)]^√^x= 5, determinare

f 27 + y³ y³

q₂₇

y

per y ∈]0; +∞[.

Soluzione: Abbiamo hf

27+y³ y³

i

q₂₇

y =

f

3 y

3

+ 1

3q₃

y

=





f

3 y

3

+ 1

q₃

y





3

= 5³

= 125.

(5)

Esercizio 34. Determinare tutte le funzioni g che soddisfano g(x + y) + g(x − y) = 2x²+ 2y² Soluzione: Sia y = 0. Allora 2g(x) = 2x², cio`e, g(x) = x². Verifichiamo che g(x) = x² funziona. Si ha:

g(x + y) + g(x − y) = (x + y)²+ (x − y)²

= x²+ 2xy + y²+ x²− 2xy + y²

= 2x²+ 2y². Esercizio 35. Determinare tutte le funzioni f che soddisfano

f (xy) = yf (x). (E)

Soluzione: Se x = 1 allora f (y) = yf (1). Essendo f (1) una costante, poniamo k = f (1). Dunque tutte le funzioni che soddisfano (E) devono soddisfare f (y) = ky.

Esercizio 36. Determinare tutte le funzioni f per cui f (x) + 2f (1

x) = x. (F)

Soluzione: Da f (x) + 2f (1

x) = x otteniamo f (1 x) = x

2 −1

2f (x). Poi, sostituendo 1/x per x (F) otteniamo

f (1/x) + 2f (x) = 1/x.

Quindi

f (x) = 1 2x−1

2f (1/x) = 1 2x−1

2

x 2 −1

2f (x)

, che porge

f (x) = 2 3x−x

3

Esercizio 37. Scrivere f : R → R, f(x) = |x− 1| + |x+ 2| come funzione definita per casi. Fare il grafico.

Esercizio 38. Scrivere f : R → R, f(x) = x|x| come funzione definita per casi. Fare il grafico.

Esercizio 39. Scrivere f : R → R, f(x) = x + |x| come funzione definita per casi. Fare il grafico.

Esercizio 40. Grafico di x 7→ ⌊2x⌋.

Esercizio 41. Grafico di x 7→ ⌊x²⌋.

Esercizio 42. Sia

g(x) =









 1

x se x ∈] − ∞; −1[

|x| se x ∈ [−1; 1]

1 + 2x se x ∈]1; +∞[

Fare il grafico e calcolare 1. g(−∞)

2. g(−1−) 3. g(−1)

4. g(−1+) 5. g(0) 6. g(1−)

7. g(1) 8. g(1+) 9. g(+∞) Esercizio 43. Risolvere l’equazione ⌊x

5⌋ = 10.

Lezione 4

Esercizio 44. Tracciare il grafico delle seguenti curve:

(6)

➊ y = |x − 2| + 3

➋ y = (x − 2)²+ 3

➌ y = 1 x − 2 + 3

➍ y =p1 − (x − 2)²+ 3

➎ y =√

4 − x²+ 1

Esercizio 45. Come cambia l’equazione della curva y = f (x) = x³− 1

x dopo una traslazione di una unità giù e due unità a destra? Risposta: y = f (x − 2) − 1 = (x − 2)²− 1

x − 2− 1

Esercizio 46. Supponiamo che la curva y = f (x) sia traslata di a unità verticalmente e di b unità orizzontalmente, in questo ordine. Si avrebbe lo stesso effetto traslando la curva di b unità orizzontalmente prima, e poi di a unità verticalmente?

Risposta: S`ı.

Esercizio 47. Tracciare il grafico delle seguenti curve:

➊ y = x² 2

➋ y = x² 2 − 1

➌ y = 2|x| + 1

➍ y = 2 x

➎ y = x²+ 4x + 5

➏ y = 2x²+ 8x Esercizio 48. La curva y = 1

x `e sottoposta alla seguente sequenza di trasformazioni:

(i) una traslazione di una unit`a a sinistra, (ii) una dilatazione verticale di un fattore 2,

(iii) una traslazione di una unit`a gi`u.

Dimostrare che l’equazione risultante `e y = 1

2x + 2− 1 e farne il grafico.

Esercizio 49. Grafico di f : R → R, f(x) = x|x|.

Esercizio 50. Grafico delle seguenti curve:

➊ y = x²

➋ y = (x − 1)²

➌ y = (|x| − 1)²

➊ y = x²

➋ y = x²− 1

➌ y = |x²− 1|

Esercizio 52. Sia f una funzione dispari che sia definita in x = 0. Provare che f (0) = 0.

➊ y = x²+ 2x + 3

➋ y = x²+ 2|x| + 3

➌ y = |x²+ 2x + 3|

➍ y = |x²+ 2|x| + 3|

Esercizio 54. Sia f : R \ {0} → R f(x) = 1

x. Fare il grafico delle seguenti curve e stabilire come cambia il dominio per ogni nuova curva. Alcune di queste curve sono identiche?

➊ y = f (x − 2)

➋ y = |f(x − 2)|

➌ y = f (|x| − 2)

➍ y = f (|x − 2|)

(7)

Esercizio 55. Una curve pu`o essere sia pari che dispari simultaneamente? Che tipo di grafico dovrebbe avere?

➊ y = 1 − x

➋ y = |1 − x|

➌ y = 1 − |1 − x|

➍ y = |1 − |1 − x||

➎ y = 1 − |1 − |1 − x||

➏ y = |1 − |1 − |1 − x|||

➐ y = 1 − |1 − |1 − |1 − x|||

➑ y = |1 − |1 − |1 − |1 − x||||

Esercizio 57. Usare f nella figura 1 per tracciare il grafico delle curve seguenti

➊ y = 2f (x)

➋ y = f (2x)

➌ y = f (−x)

➍ y = −f(x)

➎ y = −f(−x)

➏ y = f (|x|)

➐ y = |f(x)|

➑ y = f (−|x|)

➒ y = |f(|x|)|

➓ y = |f(−|x|)|

Figura 1:

Esercizio 58. Nelle figure 2 e 3 `e rappresentato il grafico di due curve, y = f (x) e y = f (ax) per una certa costante reale a < 0.

➊ Determinare il valore della costante a. ➋ Determinare il valore di C.

Figura 2: Figura 3:

(8)

Lezione 5

Esercizio 59. Sapendo che la funzione sotto assegnata `e continua f (x) =

x²− 1 se x ≤ 1 2x + 3a se x > 1

trovare a. Risposta: Si ha f (1−) = 0 e f(1+) = 2 + 3a. Allora 0 = 2 + 3a cio`e a = −2 3. Esercizio 60. Provare che se f verifica la condizione

f : R → R, f(t + 1) = 1

2 +pf(t) − (f(t))² ha periodo 2.

Lezione 6

Esercizio 61. Qui sotto sono date alcune formule. Verificare che l’insieme indicato `e il dominio naturale di ciascuna formula.

Formula Dominio Naturale

x 7→p(1 − x)(x + 3) x ∈ [−3; 1].

x 7→r 1 − x

x + 3 x ∈] − 3; 1]

x 7→r x + 3

1 − x x ∈ [−3; 1[

x 7→

s 1

(x + 3)(1 − x) x ∈] − 3; 1[

Esercizio 62. Trovare il dominio naturale delle regole:

➊ x 7→ 1 p1 + |x|

➋ x 7→p5 − |x|⁴

➌ x 7→p5 − |x|³

➍ x 7→ 1

x²+ 2x + 2

➎ x 7→ 1

√x²− 2x − 2

➏ x 7→ 1

|x − 1| + |x + 1|

➐ x 7→

√−x x²− 1

➑ x 7→

√1 − x² 1 − |x|

➒ x 7→√ x +√

−x

Risposte:

➊ R

➋ [−5; 5]

➌ R

➍ R

➎ ]−∞; 1−√

3[∪]1+√ 3; +∞[

➏ R

➐ ] − ∞; −1[∪] − 1; 0]

➑ ] − 1; 1[

➒ {0}

Esercizio 63. Qui sotto sono date alcune formule. Verificare che l’insieme indicato `e il dominio naturale di ciascuna formula.

(9)

Formula Dominio Naturale x 7→

r x

x²− 9 x ∈] − 3; 0] S ]3; +∞[

x 7→p−|x| x = 0

x 7→p−||x| − 2| x ∈ {−2, 2}

x 7→r 1

x x ∈]0; +∞[

x 7→r 1

x² x ∈ R \ {0}

x 7→

r 1

−x x ∈] − ∞; 0[

x 7→

s 1

−|x| ∅(insieme vuoto)

x 7→ 1 x√

x + 1 x ∈] − 1; 0[S ]0; +∞[

x 7→√

1 + x +√

1 − x [−1; 1]

Esercizio 64. Trovare il dominio naturale della regola f (x) =p

x³− 12x Risposta: [−2√

3; 0] ∪ [2√ 3; +∞[.

Esercizio 65. Trovare il dominio naturale della regola

x 7→ 1

√x²− 2x − 2.

Risposta: x ∈] − ∞; 1 −√

3[∪]1 +√ 3; +∞[.

Esercizio 66. Trovare il dominio naturale delle regole:

➊ x 7→p−(x + 1)²,

➋ x 7→ 1

p−(x + 1)²

➌ f (x) = x^1/2

√x⁴− 13x²+ 36

➍ g(x) =

√4

3 − x

√x⁴− 13x²+ 36

➎ h(x) = 1

√x⁶− 13x⁴+ 36x²

➏ j(x) = 1

√x⁵− 13x³+ 36x

➐ k(x) = 1

p|x⁴− 13x²+ 36|

Risposte:

➊ {−1}

➋ ∅

➌ [0; 2[∪]3; +∞[

➍ ]3; +∞[

➎ ] − ∞; −3[∪] − 2; 0[∪]0; 2[∪]3; +∞[

➏ ] − 3; −2[∪]0; 2[∪]3; +∞[

➐ R \ {−3, −2, 2, 3}

Esercizio 67. Siano

f : [−5; 3] → R

x 7→ x⁴− 16 , g : [−4; 2] → R x 7→ |x| − 4 . Trovare

(10)

➊ Dom (f + g)

➋ Dom (f g)

➌ Dom f g

➍ Dom g f

➎ (f + g)(2)

➏ (f g)(2)

➐ f g(2)

➑ g f(2)

➒ f g(1)

➓ g f(1) Risposte:

➊ [−4; 2]

➋ [−4; 2]

➌ ] − 4; 2]

➍ [−4; −2[∪] − 2; 2[

➎ −2

➏ 0

➐ 0

➑ non definita

➒ 5

➓ 1 5

Esercizio 68. Siano

f : {−2, −1, 0, 1, 2} → Z

x 7→ 2x , g : {0, 1, 2} → Z x 7→ x² .

➊ Trovare Im (f ).

➋ Trovare Im (g).

➌ Trovare Dom (f ◦ g).

➍ Trovare Dom (g ◦ f).

Risposte: 1){−4, −2, 0, 2, 4} 2) {0, 1, 4} 3) {0, 1}. 4) {0, 2}.

Esercizio 69. Siano f, g, h : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 10, 1993} definite da f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 10, f (4) = 1993,

g(1) = g(2) = 2, g(3) = g(4) − 1 = 1, h(1) = h(2) = h(3) = h(4) + 1 = 2.

➊ Calcolare (f + g + h)(3)

➋ Calcolare (f g + gh + hf )(4).

➌ Calcolare f (1 + h(3)).

➍ Calcolare (f ◦ f ◦ f ◦ f ◦ f)(2) + f(g(2) + 2).

Risposte: (1) 13, (2) 5981, (3) 10, (4) 1995

Esercizio 70. Se a, b, c : R → R sono le funzioni a(t) = t − 2, b(t) = t³, c(t) = 5 dimonstrare che

(a ◦ b)(t) = t³− 2 (b ◦ a)(t) = (t − 2)³ (b ◦ c)(t) = 125 (c ◦ b)(t) = 5 (c ◦ a)(t) = 5 (a ◦ b ◦ c)(t) = 123 (c ◦ b ◦ a)(t) = 5 (a ◦ c ◦ b)(t) = 3 Esercizio 71. Siano

f : [2; +∞[ → R

x 7→ √

x − 2 , g : [−2; 2] → R

x 7→ p

4 − x² .

(11)

➋ Trovare Im (g).

➎ Trovare (f ◦ g)(x).

➏ Trovare (g ◦ f)(x).

Risposte: 1) [0; +∞] 2) [0; 2] 3) {0}. 4) [2; 6]. 5)p√

4 − x²− 2. 6)√ 6 − x.

Esercizio 72. Siano f : [−√

2; +√

2[ → R

x 7→ p

2 − x² , g : ] − ∞; 0] → R

x 7→ −√

−x .

➋ Trovare Im (g).

➎ Trovare (f ◦ g)(x).

➏ Trovare (g ◦ f)(x).

Risposte: 1) [0;√

2] 2) ] − ∞; 0] 3) [−2; 0]. 4) {−√ 2,√

2}. 5)√

2 + x. 6) −p

−√ 2 − x². Esercizio 73. Sia f : R → R la funzione definita da f(x) = ax²−√

2 per un certo positivo a. If (f ◦ f)(√

2) = −√

2 trovare il valore di a. Risposta:

√2 2 Esercizio 74. Sia f :]0 : +∞[→]0 : +∞[, tale che f(2x) = 2

2 + x. Trovare 2f (x). Risposta: 8 4 + x Esercizio 75. Siano f, g : R \ {1} → R, con f(x) = 4

x − 1, g(x) = 2x, trovare tutte le x per cui (g ◦ f)(x) = (f ◦ g)(x). Risposta: x = 1/3.

Esercizio 76. Sia f : R → R, f(1 − x) = x². Trovare (f ◦ f)(x). Risposta: (f ◦ f)(x) = 4x²− 4x³+ x⁴. Esercizio 77. Siaf : R \ {−3

2} → R \ {c

2}, x 7→ cx

2x + 3 tale che (f ◦ f)(x) = x. Trovare il valore di c.

Risposta: c = −3

Lezione 7

Esercizio 78. Dimostrare che h : R → R definita da h(s) = 3 − s `e una biezione.

Esercizio 79. Dimostrare che g : R → R definita da g(x) = x^1/3 `e una biezione.

Esercizio 80. Dimostrare che f : R \ {−1} → R \ {1} definita da f(x) = x − 1

x + 1 `e una biezione.

Esercizio 81. Dimostrare che f :

R\ {1} → R \ {2}

x 7→ 2x

x + 1

is suriettiva ma che g :

R\ {1} → R

x 7→ 2x

x + 1 non `e suriettiva. Risposta: Dobbiamo far vedere che esiste una soluzione x dell’equazione f (x) = b, b ∈ R\ {2}. Ora

f (x) = b =⇒ 2x

x + 1 = b =⇒ x = b 2 − b.

Cos`ı se b 6= 2 esiste x ∈ R con f(x) = b. Poich`e non esiste x tale che g(x) = 2 e 2 ∈ Target (g), g non `e suriettiva.

Esercizio 82. Classificare ognuna delle seguenti funzioni come iniettiva, suriettiva, biettiva o nessuna di queste.

➊ f : R → R, x 7→ x⁴

➋ f : R → {1}, x 7→ 1

➌ f : [0; +∞[→ R, x 7→ x³

➍ f : R → R, x 7→ |x|

(12)

➎ f : [0; +∞[→ R, x 7→ −|x|

➏ f : R → [0; +∞[, x 7→ |x|

➐ f : [0; +∞[→ [0; +∞[, x 7→ x⁴

Risposta:

➊ nessuna, f (−1) = f(1) cos`ınon iniettiva. Non esiste a con f (a) = −1, cos`ı non suriettiva.

➋ suriettiva, f (1) = f (−1) cos`ı non iniettiva.

➌ suriettiva, non iniettiva.

➍ nulla, |1| = | − 1|: non iniettiva, non esiste a con |a| = −1: non suriettiva.

➎ iniettiva, non-suriettiva poich`e, non esiste a con −|a| = 1.

➏ suriettiva, non-iniettiva poich´e | − 1| = |1| ma

−1 6= 1.

➐ biettiva.

Esercizio 83. Siano f : E → F, g : F → G due funzioni. Dimostrare che se g ◦ f `e suriettiva allora g`e suriettiva.

Esercizio 84. Siano f : E → F, g : F → G due funzioni. Dimostrare che se g ◦ f `e iniettiva allra f `e iniettiva.

Esercizio 85. Sia

c :

R\ {−2} → R \ {1}

x 7→ x

x + 2 . Dimostrare che c `e biettiva e trovare la sua inversa.

Risposta: Poich´e c(c⁻¹(x)) = x, si ha c⁻¹(x)

c⁻¹(x) + 2 = x. Risolvendo per c⁻¹(x) otteniamo c⁻¹(x) = 2x

1 − x = −2 + 2

1 − x. L’inversa di c `e allora

c⁻¹ :

R\ {1} → R\ {−2}

x 7→ −2 + 2

1 − x .

Esercizio 86. Consideriamo la regola

f (x) = 1

√3

x⁵− 1.

➊ trovare il dominio naturale di f .

➋ trovare la regola inversa f⁻¹.

➌ trovare l’immagine del dominio naturale di f e il dominio naturale di f⁻¹.

➍ Concludere.

Risposte:

➊ L’espressione dentro la radice cubica non pu`o essere 0. Quindi x⁵6= 1 e il dominio naturale `e R\{1}.

➋ Poniamo

y = 1

√3

x⁵− 1.

(13)

Ora scambiamo x e y e risolviamo per y:

x = 1

py3 ⁵− 1 =⇒ x³(y⁵− 1) = 1 =⇒ y = ⁵ rx³+ 1

x³ . Quindi

f⁻¹(x) = ⁵ rx³+ 1

x³ .

➌ Al variare di x in R \ {1}, l’espressione 1

√3

x⁵− 1 prende valori positivi e negativi, ma mai 0. Quindi Im(f ) = R\{0}. L’espressione per f⁻¹(x) non `e definita quando x = 0. Quindi il dominio naturale di f⁻¹ `e R \ {0}.

➍ La funzione

f :

R\ {1} → R\ {0}

x 7→ 1

√3

x⁵− 1

`e una biezione con inversa

f⁻¹:

R\ {0} → R\ {1}

x 7→ ⁵

rx³+ 1 x³

.

Esercizio 87. Verificare che le funzioni elencate sotto, con il loro dominii ed immagini, hanno le inverse indicate.

Formula Dominio Naturale Immagine Inversa x 7→√

2 − x ] − ∞; 2] [0; +∞[ x 7→ 2 − x² x 7→ 1

√2 − x ] − ∞; 2[ ]0; +∞[ x 7→ 2 − 1 x² x 7→ 2 + x³

2 − x³ R\ {√³

2} R\ {−1} x 7→r 2x − 2³ x + 1 x 7→ 1

x³− 1 R\ {1} R\ {0} x 7→ ³

r 1 + 1

x Esercizio 88. date g : R → R, g(x) = 2x+8 e f : R\{−2} → R\{0}, f(x) = 1

x + 2 trovare (g ◦f⁻¹)(−2).

Risposta: 3

Esercizio 89. Siano f, g : A → A invertibili. Mostrare che f ◦ g `e invertibile e che (f ◦ g)⁻¹= g⁻¹◦ f⁻¹. Esercizio 90. Dimostrare che t : ] − ∞; 1] → [0; +∞[

x 7→ √

1 − x `e una biezione e trovare t⁻¹. Risposta: t⁻¹ : [0; +∞[ → ] − ∞; 1]

x 7→ 1 − x²

Esercizio 91. Sia f : R → R, f(x) = ax + b. Per quali valori dei parametri si ha f = f⁻¹? Risposta: O a = 1, b = 0 oppure a = −1 e b arbitrario.

Esercizio 92. Provare che se ab 6= −4 e f : R \ {2/b} → R \ {2/b}, f(x) = 2x + a

bx − 2 allora f = f⁻¹.

Lezione 8

Esercizio 93. Scrivere in forma canonica le seguenti parabole, determinare i loro vertici e farne il grafico:

(14)

i) y = x²+ 6x + 9, ii) y = x²+ 12x + 35, iii) y = (x − 3)(x + 5), iv) y = x(1 − x),

v) y = 2x²− 12x + 23, vi) y = 3x²− 2x +⁸9, vii) y = ¹₅x²+ 2x + 13

Risposta:

i) y = (x + 3)²vertice in (−3, 0), ii) y = (x + 6)²− 1 vertice in (−6, −1), iii) y = (x + 1)²− 16, vertice in (−1, −16) iv) y = −(x −¹₂)²+¹₄, vertice in (¹₂,¹₄)

v) y = 2(x − 3)²+ 5, vertice in (3, 5), vi) 3(x −¹₃)²+⁵₉, vertice in (¹₃,⁵₉) vii) y = ¹₅(x + 5)²+ 8, vertice in (−5, 8)

Esercizio 94. Trovare il vertice della parabola y = (3x − 9)²− 9.

Risposta: (3, −9)

Esercizio 95. Trovare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, vertice in (0, −1) passante per (3, 17).

Risposta: y = 2x²− 1

Esercizio 96. trovare l’equazione della parabola che ha radici in x = −3 e x = 4 e passa per (0, 24).

Risposta: y = −2(x + 3)(x − 4)

Esercizio 97. Trovare le radici reali dell’equazione |x²− 2x| = |x²+ 1|.

Risposta: Si ha

|x²− 2x| = |x²+ 1| ⇐⇒ (x²− 2x = x²+ 1) oppure (x²+ 2x = −x²− 1)

⇐⇒ (−2x − 1 = 0) oppure (2x²+ 2x + 1 = 0)

⇐⇒

x = −1

2

oppure

x = −1

2± i 2

,

la soluzione `e −1 2.

Esercizio 98. Trovare il polinomio cubico p con zeri in x = −1, 2, 3 e tale che p(1) = −24.

Risposta: Detto polinomio ha la forma p(x) = a(x + 1)(x − 2)(x − 3), cos`ı dobbiamo determinare a. Ora −24 = p(1) = a(2)(−1)(−2) = 4a. Quindi a = −6, pertanto p(x) = −6(x + 1)(x − 2)(x − 3).

Esercizio 99. Trovare il polinomio cubico c avente una radice in x = 1, una radice di molteplicit`a 2 int x = −3 e tale che c(2) = 10.

Risposta: Detto polinomio ha la forma c(x) = a(x − 1)(x + 3)². Ora 10 = c(2) = a(2 − 1)(2 + 3)²= 25a, quindi a =2

5, pertanto c(x) = 2

5(x − 1)(x + 3)².

Esercizio 100. Un polinomio cubico p con coefficiente direttivo 1 soddisfa p(1) = 1, p(2) = 4, p(3) = 9.

Quanto vale p(4)?

Risposta: Poniamo g(x) = p(x) − x². Anche g `e un polinomio cubico con coefficiente direttivo 1 inoltre g(x) = 0 per x = 1, 2, 3. Ne viene che g(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) quindi p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) + x². Allora p(4) = (3)(2)(1) + 4²= 22.

Esercizio 101. Per quali valori di a il polinomio

t(x) = x³− 3ax²+ 12

`e divisibile per x + 4?

(15)

Risposta:

0 = t(−4) = (−4)³− 3a(−4)²+ 40

⇐⇒ 0 = −24 − 48a

⇐⇒ a = −1 2. Esercizio 102. Grafico delle curve:

i) y = (x − 1)³, ii) y = (1 − x)³, iii) y = (x − 1)(x − 2)², iv) y = (1 − x)(x − 2)², v) y = (1 − x)²(x − 2), vi) y = (x − 1)²(2 − x),

vii) y = (x − 1)(x − 2)(x − 3), viii) y = (x − 1)(x − 2)(3 − x)

ix) y = (x − 1)(x − 2)²(x − 3)³, x) y = x²(x − 1)²(x + 1)⁴, xi) y = x(x − 1)³(x + 5)⁵

xii) y = −x²(x − 1)(x + 2)(x − 3)³. Esercizio 103. Il polinomio in figura ha grado 4.

➊ Determinare p(0).

➋ Trovare l’equazione di p(x).

➌ Trovare p(−3).

➍ Trovare p(2).

b b

b

Lezione 9

Esercizio 104. Grafico delle seguenti curve.

1. x 7→ (1 + x)^1/2 2. x 7→ (1 − x)^1/2

3. x 7→ 1 + (1 + x)^1/3 4. x 7→ 1 − (1 − x)^1/3

5. x 7→√ x +√

−x

Esercizio 105. Calcolare:

1. log_1/3 243

2. log₁₀ 0, 00001

3. log_0,001 100000

4. log₉ 1 3

(16)

5. log₁₀₂₄ 64 6. log₅^2/3 625 7. log₂^√₂ 32√⁵

2

8. log₂ 0, 0625 9. log_0,0625 2

10. log₃ ⁴ q

729p³

9⁻¹27^−4/3 Risposte:

(1) −5, (2) −5, (3) −⁵₃, (4) −¹₂, (5) ³₅, (6) 6, (7) ⁵²₁₅, (8) −4 , (9) −¹₄, (10) 1 Esercizio 106. Sia a > 0, a 6= 1. Calcolare:

1. log_a √⁴ a^8/5 2. log_a √³

a^−15/2 3. log_a 1

a^1/2

4. log_a³ a⁶ 5. log_a² a³ 6. log_a⁵^/6 a^7/25 Risposte: (1) ²₅, (2) −⁵₂, (3) −₂¹, (4) 2, (5) ³₂, (6) ₁₂₅⁴²

Esercizio 107. Risolvere le equazioni nella variabile x 1. log_x 3 = 4

2. log₃ x = 4 3. log₄ x = 3 4. log_x−2 9 = 2 5. log_|x| 16 = 4 6. 23^x− 2 = 0

7. (2^x− 3)(3^x− 2)(6^x− 1) = 0

8. 4^x− 9 · 2^x+ 14 = 0 9. 49^x− 2 · 7^x+ 1 = 0 10. 36^x− 2 · 6^x= 0 11. 36^x+ 6^x− 6 = 0 12. 5^x+ 12 · 5^−x= 7 13. log₂log₃x = 2 14. log3log5x = −1 Risposte: (1) √⁴

3, (2) 81, (3) 64 (4) 5, (5) ±2, (6) log232, (7) log₂3, log₃2, 0, (8) log₂7, 1, (9) 0, (10) log₆2, (11) log₆2, (12) log₅4, log₅3, (13) 81, (14)√³

5

Esercizio 108. Posto che log_ap = 2, log_am = 9, log_an = −1 calcolare 1. log_ap⁷

2. log_a⁷p

3. log_a⁴p²n³ 4. log_a⁶ m³n p⁶ Risposte: (1) 14, (2) ²₇, (3) ¹₄, (4) ⁷₃

Esercizio 109. Chi `e pi`u grande 3¹⁰⁰⁰o 5⁶⁰⁰? Risposta: 3¹⁰⁰⁰

Esercizio 110. Dimostrare che 1

log₂ 36+ 1

log₃ 36 = 1 2 Esercizio 111. Quante cifre ha 11²⁰⁰⁰?

Risposta: 2083

Esercizio 112. Dimostrare, senza calcolatrice, che log₃π + log_π3 > 2.

Esercizio 113. Risolvere l’equazione

4 · 9^x−1= 3√ 2^2x+1

(17)

5^x−1+ 5 (0, 2)^x−2= 26 Esercizio 115. Risolvere l’equazione

25^x− 12 · 2^x− (6, 25)(0, 16)^x= 0 Esercizio 116. Risolvere l’equazione

log₃(3^x− 8) = 2 − x Esercizio 117. Risolvere l’equazione

log₄(x²− 6x + 7) = log4(x − 3) Esercizio 118. Risolvere l’equazione

log₃(2 − x) − log3(2 + x) − log3x + 1 = 0 Esercizio 119. Risolvere l’equazione

2 log₄(2x) = log₄(x²+ 75) Esercizio 120. Risolvere l’equazione

log₂(2x) = 1

4log₂(x − 15)⁴ Esercizio 121. Risolvere l’equazione

log₂x

log₄2x = log₈4x log₁₆8x Esercizio 122. Risolvere l’equazione

log₃x = 1 + log_x9 Esercizio 123. Risolvere l’equazione

25^log²^x= 5 + 4x^log²⁵ Esercizio 124. Risolvere l’equazione

x^log¹⁰^2x= 5 Esercizio 125. Risolvere l’equazione

|x − 3|^(x²−8x+15)/(x−2)= 1 Esercizio 126. Risolvere l’equazione

log_2x−1 x⁴+ 2 2x + 1 = 1 Esercizio 127. Risolvere l’equazione

log_3xx = log_9xx

Lezione 10

Esercizio 128. Vero o falso?.

(18)

1. 10 ≡ 8 mod 2π.

2. −^9π7 ≡^5π7 mod 2π.

3. ¹_π ≡ ²π mod 2π.

4. ^7π₆ ≡^π₆ mod 2π.

5. ^−8π₄₁ ≡ −^500π41 mod 2π.

6. x ∈ [−1; 0[ quindi C (x) sta nel quadrante IV.

Risposte: F; V; F; F; V; V

Esercizio 129. Ridurre i seguenti numeri reali mod 2π e determinare il quadrante in cui la loro immagine mediante C cade.

1. 3π 5 ;

2. −3π 5 ;

3. 7π 5 ,;

4. 8π 57;

5. 57π 8 ;

6. 6π 79;

7. 790π 7 ; 8. 1;

9. 2;

10. 3;

11. 4;

12. 5;

13. 6;

14. 100;

15. −3, 14;

16. −3, 15 Risposte:

1. ^3π₅ , quadrante II ; 2. ^7π₅ , quadrante III ; 3. ^7π₅ , quadrante III;

4. 8π

57, quadrante I;

5. 9π

8 , quadrante III;

6. 6π

79, quadrante I;

7. 6π

7 , quadrante II;

8. 1, quadrante I;

9. 2, quadrante II;

10. 3, quadrante II;

11. 4, quadrante III;

12. 5, quadrante IV;

13. 6, quadrante IV;

14. 100 − 30π, quadrante IV;

15. 2π − 3.14, quadrante III;

16. 2π − 3.15, quadrante II Esercizio 130. Dire quali elementi dell’insieme {3π

4 +kπ

5 : k ∈ Z} appartengono all’intervallo

(i) [0; π[; (ii) [−π; 0[.

Risposte:

(i) 3π 20, 7π

20, 11π 20 , 3π

4 , 19π

20 ; (ii) −17π

20 , −13π 20 , −9π

20, −π 4, −π

20.

Esercizio 131. Provare che la congruenza modulo 2π `e riflessiva, cio`e, se a ∈ R, allora a ≡ a mod 2π.

Esercizio 132. Provare che la congruenza modulo 2π `e simmetrica, cio`e, se a, b ∈ R, e se a ≡ b mod 2π allora b ≡ a mod 2π.

Esercizio 133. Provare che la congruenza modulo 2π `e transitiva, cio`e, se a, b, c ∈ R, allora a ≡ b mod 2π e b ≡ c mod 2π implica a ≡ c mod 2π.

Lezione 11

Esercizio 134. Scrivere nella forma a sin x + b cos x, a, b ∈ R.

A(x) = sinπ 2 − x

+ cos(5π − x) + cos 3π 2 − x

+ sin 3π 2 + x

(19)

1. sin^7π₆ = 1/2.

2. cos(^π₂ + 99) = sin 99.

3. cos(−1993) = cos 1993.

4. sin(−1993) = − sin 1993.

5. If sin x = 1, then x = π/2.

6. cos(cos π) = cos(cos 0).

7. ∀x ∈ R, sin 2x = 2 sin x.

8. ∃x ∈ R such that cos x = 2.

9. ∃x ∈ R such that cos²x = cos x²

10. (sin x + cos x)²= 1, ∀x ∈ R.

11. cos x = sin(x +^π₂), ∀x ∈ R.

12. sin x = cos(x −^π2), ∀x ∈ R.

13. sin x = cos(x +^π₂), ∀x ∈ R.

14. −¹2 ≤ cos^x2 ≤¹2, ∀x ∈ R.

15. 1 ≤ −2 cos^x2 + 3 ≤ 5, ∀x ∈ R.

16. ∃A ∈ R tale che l’equazione cos x = A ha esattamente 7 soluzioni reali.

17. cos²x − sin²x = −1, ∀x ∈ R.

1. F;

2. F;

3. V;

4. V;

5. F;

6. V;

7. F;

8. F;

9. V;

10. F;

11. V;

12. V;

13. F;

14. F;

15. V;

16. F;

17. F.

Esercizio 136. Posto che sin t = −0.8 e C (t) sta nel quarto quadrante, trovare cos t.

Risposta: cos t = 0.6

Esercizio 137. Posto che cos u = −0.9 e C (u) sta nel secondo quadrante, trovare sin u.

Risposta:

sin u =√ .19

Esercizio 138. Posto che sin t =^√₅⁷ e C (t) sta nel primo quadrante, trovare cos t.

Risposta:

cos t = 3√ 2 5

Esercizio 139. Posto che cos u = ^√₄¹³ and C (u) sta nel terzo quadrante, trovare sin u.

Risposta: sin u = −

√3 4

Esercizio 140. Usando il fatto che ^5π₆ = π −^π₆, trovare cos^5π₆ e sin^5π₆ . Risposta: cos^5π₆ = −^√₂³, sin^5π₆ =¹₂

Esercizio 141. Usando il fatto che ^3π₄ = π −^π₄, trovare cos^3π₄ and sin^3π₄. Risposta: cos^3π₄ = −^√2² and sin^3π₄ =^√₂²

Esercizio 142. Trovare sin(31π

6 ) and cos(31π 6 ).

Risposta: sin(^31π₆ ) = −¹₂ e cos(^31π₆ ) = −^√₂³ Esercizio 143. Trovare sin(20π

3 ) e cos(20π 3 ).

Risposta: sin(^20π₃ ) = ^√₂³ e cos(^20π₃ ) = −¹2

4 ) e cos(17π 4 ).

Risposta: sin(^17π₄ ) = ^√₂² e cos(^17π₄ ) =^√₂² Esercizio 145. Find sin(−15π

4 ) and cos(−15π 4 ).

Risposta: sin(^−15π₄ ) =^√₂² and cos(^−15π₄ ) =^√₂²

(20)

3 ) e cos(202π 3 ).

Risposta: sin(^202π₃ ) = −^√₂³ e cos(^202π₃ ) = −¹₂ Esercizio 147. Trovare sin(171π

4 ) e cos(171π 4 ).

Risposta: sin(^171π₄ ) = ^√₂² e cos(^171π₄ ) = −^√2²

answer10

Esercizio 148. Se | sin ϑ| < 1 e | cos ϑ| > 0, provare che vale identicamente cos ϑ

1 − sin ϑ + cos ϑ

1 + sin ϑ = 2 cos ϑ Esercizio 149. Posto che

cos2π 5 =

√5 − 1 4 , torvare sin^2π₅, cos^3π₅ e sin^3π₅

Esercizio 150. Posto che cos α + sin α = A e sin α cos α = B, provare che A²− 2B = 1

Esercizio 151. Posto che cos α + sin α = A e sin α cos α = B, provare che sin³α + cos³α = A − AB.

Esercizio 152. Dimostrare che per ogni reale x, vale l’identit`a

(sin x + 4 cos x)²+ (4 sin x − cos x)²= 17 Esercizio 153. Provare che cos⁴x − sin⁴x = cos²x − sin²x `e una identit`a.

Esercizio 154. Dimostrare che

√1 + 2 sin x cos x = | sin x + cos x|, ∀x ∈ R.

Esercizio 155. Dimostrare che ∀x ∈ R,

sin⁴x + cos⁴x + 2(sin x cos x)²= 1.

Esercizio 156. Provare, che se n ∈ N

sin(x + nπ) = (−1)ⁿsin x, e

cos(x + nπ) = (−1)ⁿcos x.

Esercizio 157. Dimostrare che ∀x ∈ R,

sin⁶x + cos⁶x + 3(sin x cos x)²= 1.

Esercizio 158. Dimostrare che

sin x − cos x + 1

sin x + cos x − 1 =sin x + 1 cos x

∀x ∈ R tali che sin x + cos x 6= 1 e cos x 6= 0.

Esercizio 159. Se sin x + cos x = ¹₅ e x ∈]0; π[, trovare cos x e sin x.

Esercizio 160. Sapendo che 5 sin x + 12 cos x = 13 dimostrare che sin x = ₁₃⁵ e cos x = ¹²₁₃ Esercizio 161. Vero o Falso.

(21)

1. arcsin^π₂ = 1.

2. Se arccos x = −¹2, allora x = −^π3. 3. Se arcsin x ≥ 0 then x ∈ [0;^π2].

4. arccos cos(−^π3) =^π₃. 5. arccos cos(−^π6) = −^π6.

6. arcsin₂₀₀₀¹ + arccos₂₀₀₀¹ = ^π₂. 7. ∃x ∈ R tale che arcsin x > 1.

8. −1 ≤ arccos x ≤ 1, ∀x ∈ R.

9. sin arcsin x = x, ∀x ∈ R.

10. arccos(cos x) = x, ∀x ∈ [0; π].

Risposte: F; F; T; T; F; T; T; F; T; F

Esercizio 162. Trovare tutte le soluzioni reali di 2 sin x + 1 = 0 nell’intervallo [−π; π].

Risposta: {−^5π6, −^π6} Esercizio 163. Risolvere

sin 3x −π

4

= 0.

Risposta: {12^π +^nπ₃ , n ∈ Z}

Esercizio 164. Risolvere

−2 sin²x − cos x + 1 = 0.

Risposta: {±^2π3 + 2πn, 2πn, n ∈ Z}.

Esercizio 165. Dimonstrare che

arccos x + arccos(−x) = π, ∀x ∈ [−1; 1], arcsin x = − arcsin(−x), ∀x ∈ [−1; 1].

Esercizio 166. Dimonstrare che

arcsin x = arccosp

1 − x², ∀x ∈ [0; 1], arccos x = arcsinp

1 − x², ∀x ∈ [0; 1].

Lezione 12

Esercizio 167. Completare la tabella seguente.

x sin x cos x tan x cot x sec x csc x x sin x cos x tan x cot x sec x csc x

0 0 1 0 ∞ 1 ∞ ^π₆ 1/2 √

3/2 1/√

3 √

3 2/√

3 2

π 4

√2/2 √

2/2 1 1 √

2 √

2 ^π₃ √

3/2 1/2 √

3 1/√

3 2 2/√

3

π

2 1 0 ∞ 0 ∞ 1 ^2π₃

3π 4

5π 6

π ^7π₆

5π 4

4π 3π 3

2

5π 7π 3

4

11π 6

2π

Esercizio 168. Vero o Falso.

(22)

1. tan x = cot¹_x, ∀x ∈ R \ {0}.

2. ∃x ∈ R such that sec x = ¹2.

3. arctan 1 = ^{arcsin 1}_{arccos 1}. 4. x 7→ tan 2x ha periodo π.

Risposte: F; F; F; F

Esercizio 169. Sapendo che csc x = −1.5 e C (x) sta nel quarto quadrante, calcolare sin x, cos x and tan x.

Risposte: sin x = −²₃, cos x = ^√₃⁵, tan x = −⁻²₅^√⁵.

Esercizio 170. Sapendo che tan x = 2 e C (x) sta nel terzo quadrante, calcolare sin x and cos x.

Risposte: sin x = −²^√₅⁵, cos x = −^√₅⁵

Esercizio 171. Sapendo che sin x = t²e C (x) sta nel secondo quadrante, calcolare cos x e tan x.

Risposte: cos x = −√

1 − t⁴, tan x = −^√_1−t^t² ⁴

Esercizio 172. Sia x < −1. Calcolare sin arcsec x in funzione di x.

Risposta: sin arcsec x = −q 1 − _x¹² Esercizio 173. Calcolare cos arctan(−¹₃).

Risposta: ³^√₁₀¹⁰

Esercizio 174. Calcolare arctan(tan(−6)), arccot (cot(−10)).

Risposte: 2π − 6; 4π − 10

Esercizio 175. Risolvere le seguenti equazioni.

1. sec²x − sec x − 2 = 0 2. tan x + cot x = 2 3. tan 4x = 1

4. 2 sec²x + tan²x − 3 = 0

5. 2 cos x − sin x = 0 6. tan(x + ^π₃) = 1

7. 3 cot²x + 5 csc x + 1 = 0 8. 2 sec²x = 5 tan x

9. tan²x + sec²x = 17 10. 6 cos²x + sin x − 5 = 0

Esercizio 176. Dimostrare che se x ∈ R allora arctan x + arccot 1

x= π 2sgn(x), dove sgn(x) = −1 se x < 0, sgn(x) = 1 se x > 0, e sgn(0) = 0.

Esercizio 177. Spiegare perch´e il grafico di x 7→ (arctan ◦ tan)(x) `e quello proposto a lezione Esercizio 178. Sia x ∈]0; 1[. Provare che

arcsin x = arccot

√1 − x²

x .

Esercizio 179. Sia x ∈]0; 1[. Provare che arccos x = arctan

√1 − x²

x = arccot x

√1 − x². Esercizio 180. Sia x > 0. Provare che

arctan x = arcsin x

√1 + x² = arccos 1

√1 + x². Esercizio 181. Sia x > 0.Provare che

arccot x = arcsin 1

√1 + x² = arccos x

√1 + x².

Esercizio 182. Provare le seguenti identit`a, assumendo, quando necessario, che le espressioni date siano

(23)

i) sin x tan x = sec x − cos x

ii) tan³x + 1 = (tan x + 1)(sec²x − tan x)

iii) 1 + tan²x = 1

2 − 2 sin x+ 1 2 + 2 sin x

iv) sec α sin α

tan α + cot α = sin²α

v) 1 − sin α

cos α = cos α 1 + sin α

vi) 7 sec²x − 6 tan²x + 9 cos²x = (1 + 3 cos²x)² cos²x vii) 1 − tan²t

1 + tan²t = cos²t − sin²t viii) 1 + tan B + sec B

1 + tan B − sec B = (1 + sec B)(1 + csc B) Esercizio 183. Risolvere l’equazione

arccos x = arcsin1

3 + arccos1 4 Risposta: x = ^√₆²−^√₁₂¹⁵

Esercizio 184. Dimostrare l’identit`a

sin(a + b) sin(a − b) = sin²a − sin²b = cos²b − cos²a Esercizio 185. Scrivere usando una sola arcotangente

arctan1

3 − arctan1 4 Risposta: arctan₁₃¹

Esercizio 186. Risolvere l’equazione cos x + cos 3x = 0.

Risposta: x = ±^π4 + nπ, x = ±^π2 + 2nπ, n ∈ Z Esercizio 187. Risolvere l’equazione

arctan x + arctan 2x = π 4. Risposta: x = ^√¹⁷⁻³₄

Esercizio 188. Determinare le costanti reali a, b, c In modo che sin 3x −√

3 cos 3x = a sin(bx + c).

Usare poi questo per risolvere l’equazione sin 3x −√

3 cos 3x = −√ 2.

sin 2x + cos 2x = −1 Esercizio 190. Risolvere l’equazione

cos x − sin x = 1.

Lezioni 13 e 14

Esercizio 191. Siano f, g continue da [0; 1] to [0; 1] tali che

∀x ∈ [0; 1] f (g(x)) = g(f (x)).

Dimostrare che f e g hanno un punto fisso comune in [0; 1].

(24)

Esercizio 192. Se una funzione continua f : R → R `e tale che

∀x ∈ R f (x + f (x)) = f (x), dimostrare che f `e costante.

Esercizio 193. Sia I un intervallo chiuso e limitato e sia f continua in I. Supponiamo che per ogni x ∈ I, esiste y ∈ I tale che

|f(y)| ≤ 1 2|f(x)|.

Provare l’esistenza di un elemento t ∈ I tale che f(t) = 0.

Esercizio 194. Determinare i valori di x per cui ognuna delle seguenti funzioni `e continua:

1. f (x) = x⁵+ 4x²

2. f (x) = x 1 − x

3. f (x) = 1

√2 − x

4. f (x) = x x²+ 1

5. f (x) = x⁴− 8x²+ 16 x²+ 2x − 2 6. f (x) =r x + 1

x − 1 Esercizio 195. Per quali valori di a `e f continua per ogni x?

1. f (x) =

(ax − 1 per x ≤ 1

3x²+ 1 per x > 1 2. f (x) =

(ax³+ 5x − 1 per x ≤ 1

−x + 2 per x > 1

Esercizio 196. Dimostrare che ognuna delle seguenti equazioni ha almeno una radice nell’intervallo indicato:

1. x³+ 3x − 8 = 0 in ]−2, 3[

2. x⁶+ 3x²− 2x − 1 = 0 in ]0, 1[

3. x⁷− 5x⁵+ x³− 1 = 0 in ]−1, 1[

4. √

x²+ 1 = 3x in ]0, 1[

5. √

x²+ 2 = 4x in [0, 1].

Esercizio 197. Spiegare perch´e la funzione f definita per ogni x ∈ [0, 5] da:

f (x) =x⁴− 8x²+ 16 x²+ 2

`e dotata di massimo e di minimo. (Non tentare di calcolare questi valori) Esercizio 198. Sia f : [−1, 1] → R:

f (x) =

(x per − 1 < x < 1 0 per x = ±1

1. Disegnare il diagramma di f (x). f (x) assume massimo e minimo valore in [−1, 1]?

2. f (x) `e continua in [−1, 1]?

Esercizio 199. Sia f : ]0, ∞[ → R:

f (x) =

(x + 1 per 0 < x ≤ 1 1 per x > 1

1. Disegnare il diagramma di f (x)

2. Dimostrare che f (x) raggiunge il massimo e il minimo valore in ]0, ∞[.

Esercizio 200. Per ciascuna delle funzioni f (x) seguenti riportate dimostrare che esiste l’inversa f⁻¹(y) , e trovare una formola per f⁻¹(y). Studiare la continuit`a di f⁻¹(y).

(25)

1. f (x) = x + 1 2. f (x) =√⁵

x + 1

3. f (x) = x³ 4. f (x) =3x − 1

x + 4

5. f (x) = 2e^x e^x− 1

Esercizio 201. Sia f : [0, 1] → R definita da f(x) = 2x²− x⁴. Dimostrare che esiste l’inversa f⁻¹, trovare una formola per f⁻¹(y) e dire se tale funzione sia, o meno, continua.

Lezione 15

Esercizio 202. Usando la definizione dimostrare che la derivata della funzione f (x) = √

x, x > 0 `e f^′(x) = 1

2√

x. Provare poi che per tutti i valori della variabile x per cui polinomio di secondo grado ax²+ bx + c `e positivo la derivata della funzione g(x) =√

ax²+ bx + c vale g^′(x) = 2ax + b 2√

ax²+ bx + c Esercizio 203. Calcolare la derivata prima delle funzioni seguenti:

1. f (x) = x + 2

2. f (x) = x³+ 3x²+ x + 7 3. f (x) = 2

√x+√³ x 4. f (x) = e^x+ ln x 5. f (x) = 2x + 1

x²³ −3 x 6. f (x) = x ln x 7. f (x) = e^xln x 8. f (x) = 8x²+ 1

x³− 8

9. f (x) = x + cos x x + sin x 10. f (x) = −2

ln x 11. f (x) = e^x

x³ 12. f (x) =

√x − 1 x − 1 13. f (x) =√

x²+ 4x + 1 14. f (x) = xe^x

15. f (x) = e^5x

16. f (x) = e^−x 17. f (x) = e^−2x 18. f (x) = cos x sin x 19. f (x) = e^−2x− 1

e^3x− 1 20. f (x) =

√x²− x + 5 x + 2 21. f (x) = e^x− x

e^x+ x 22. f (x) = x²− x + 1

x²+ x + 1

Esercizio 204. Per ognuna delle seguenti funzioni stabilire se f (x) `e continua e differenziabile in x = 0:

1. f (x) =

(1 − x se x ≥ 0 2x²− x − 2 se x < 0

2. f (x) =

(3x²+ 2x se x ≤ 0 ln√

1 + 4x se x > 0

3. f (x) =







ln (x + 3) se x ≥ 0 x²+ 6x + 9

18 se x < 0

Esercizio 205. Calcolare la derivata prima delle funzioni seguenti:

1. f (x) =√³ xe^x 2. f (x) =pe³ ^xln |x|

3. f (x) = x√ 1 − x² 4. f (x) = xe^x¹ 5. f (x) =√

e^2x+ 1

6. f (x) = x√ e^2x+ 1

7. f (x) = ln²(2x + 1) x³ 8. f (x) = x²ln(1 + x²) 9. f (x) = lnax + b

cx + d

10. f (x) =r ax + b cx + d 11. f (x) = sin(ax)

sin(bx) 12. f (x) = sin ln cos x 13. f (x) = ln sin√

x

(26)

Lezione 16

Esercizio 206. Calcolare la derivata prima f⁻¹(y0) = f⁻¹(f (x0)) se f (x) = ln(1 + x²)

√x , x0= 1 Esercizio 207. Sia f (x) = x + x³+ x⁷e sia a > 0. Allora g^′(ya) dove g : R → R `e la funzione inversa di f e ya = a^7/2+ a^3/2+√

a vale:

1. 1

3a³+ 7a + 1

2. 1

7a³+ a + 1

3. 1

7a³+ 3a + 1

4. 1

7a³− 3a + 1

Lezione 17

Esercizio 208. Per ognuna delle seguenti funzioni trovare i punti stazionari e determinare per quali valori di x essa `e crescente o decrescente:

1. f (x) = 1

3x³− 2x²+ 3x + 1 2. f (x) = 2

3x³−1

2x²− x − 1

3. f (x) = x − e^x

4. f (x) = x + ln x.

Esercizio 209. Trovare imassimi e minimi per ognuna delle seguenti funzioni di x nell’ intervallo specificato:

1. f (x) = x³− 3x + 8, [−1, 2].

2. f (x) = x²− 27 x − 6 , [0, 5]

3. f (x) = x³

x⁴+ 27, [−4, 4]

4. f (x) = (x − 1)³, [−1, 3]

5. f (x) = 3x⁴− 4x³− 12x², [−1, 3]

6. f (x) = 2x²

x⁴+ 1, ]−∞, ∞[

Esercizio 210. Dimostrare, usando il Teorema di Rolle, che l’equazione 3x²− 2x + 1 = 0 ha una radice in [0; 1].

Esercizio 211. `E data la funzione f (x) = x²(x − 1)³, x ∈ [0, 1] . Mostrare che esiste un unico punto p ∈ ]0, 1[ in cui f^′(p) = 0 e che questo punto divide l’intervallo [0, 1] in due segmenti, tali che il rapporto fra le loro lunghezze sia 2/3

Esercizio 212. Trovare i valori dei parametri a, b ∈ R in modo che la funzione f(x) = 2x²− ax + b soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo [0, 1] indicando in quale punto dell’intervallo si annulli f^′(x)

Esercizio 213. Determinare i punti di massimo e minimo relativi delle seguenti funzioni:

1. f1(x) = ln 1 + x² 1 + x² 2. f2(x) = x√

4 − x² 3. f3(x) = ln x²+ 2 − x

4. f4(x) = x −3 5

√1 + x²

5. f5(x) = 2x³− 3x²− 12x + 5 6. f6(x) = (1 − 2x) (ln(1 − 2x))² Esercizio 214. Sia f (x) = x(x − 1)

1 + x² , x ∈ [0, 1] . Dire quanti e quali sono i punti in cui f(x) verifica la tesi del Teorema di Rolle

(27)

Esercizio 215. Sia f : [0; 1] → R derivabile con f(0) = 0 e f(x) > 0 per ogni x ∈ [0; 1]. Provare che esiste c ∈ [0; 1] tale che

2f^′(c)

f (c) =f^′(1 − c) f (1 − c)

Esercizio 216. Sia n ∈ N e sia f : [0; 1] → R derivabile e tale che f(0) = 0, f(1) = 1. Dimostrare che esistono n punti distinti 0 < a0< a2< · · · < an−1< 1 tali che

n−1X

k=0

f^′(ak) = n.

Esercizio 217. Sia n ∈ N e sia f : [0; 1] → R derivabile e tale che f(0) = 0, f(1) = 1. Dimostrare che esistono n punti distinti 0 < a0< a2< · · · < an−1< 1 tali che

n−1X

k=0

1

f^′(ak) = n.

Lezioni 18 e 19

Esercizio 218. Data la funzione f (x) = x 12x + 1e^−x: 1. determinare i suoi punti di massimi e minimo relativo 2. dimostrare che essa ha un solo punto di flesso xϕ

Esercizio 219.Dire se esistono valori del parametro reale a ∈ R per cui la funzione f(x) = 2 a + (a − 2) x + x² e^−x

`e sia strettamente convessa che strettamente decrescente.

Esercizio 220. Determinare il valore del parametro a ∈ R in modo che la funzione f(x) = x²+a x abbia un flesso in x = 1

Esercizio 221. Determinare i valori di a, b, c ∈ R per cui la funzione f(x) = x³+ ax²+ bx + c abbia un punto stazionario in (1; 5) e un flesso in (2; 3)

Esercizio 222. Determinare gli intervalli di convessit`a della funzione f (x) = 2x⁶+ 9x⁵+ 10x⁴− 13x − 5 Esercizio 223. Per quali valori di a ∈ R la funzione f(x) = ln(1 + x²) −a

2x²`e convessa in R?

Esercizio 224. Studiare la convessit`a della funzione f (x) = ln√

1 + x²+ 7 arctan x − x

Lezione 20

Esercizio 225. Tramite l’opportuno teorema di De L’Hospital calcolare i limiti delle seguenti forme indeterminate

1. lim

x→0

1 −√ 1 − x x

2. lim

x→0

√3

1 + x − 1 x

3. lim

x→0

e^2x− 1 x

4. lim

x→0

e^x²− 1 4x

5. lim

x→0

e^x²− 1 x²

6. lim

x→1

x³+ 2x²− 2x − 1 x³− x²+ 5x − 5

7. lim

x→0

e^x− 1 − x x²

8. lim

x→0

(1 + x)^m− 1 x

9. lim

x→0

(1 + x)^m− 1 − mx x²

10. lim

x→0

ln(1 + x) − x x²

11. lim

h→0

√x + h −√ x h

12. lim

x→4

√1 + 2x − 3

√x − 2