Geometria I Gianluca Ferrari Geometria Analitica
Tema d’Esame del 9 luglio 2018 – Geometria I
i. Per determinare la posizione reciproca tra 𝑟 e 𝛼, risolviamo il sistema lineare di equazioni
{
3𝑥 + 𝑧 − 1 = 0 𝑦 = 0
3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
È facile notare che la terza equazione (nonché l’equazione del piano) è combinazione lineare delle prime due. Ciò sta a significare che la retta giace interamente sul piano. Diversamente, per giustificare questo, è possibile esprimere l’equazione della retta in forma parametrica e verificare che esistono infiniti valori del parametro 𝑡 per i quali la retta e il piano si intersecano.
𝑟 ∶ { 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 0
𝑧 = 1 − 3𝑡∩ 𝛼 ∶ 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 3𝑡 − 3(0) + 1 − 3𝑡 − 1 = 0 ⟹ 0 = 0 In definitiva, la retta 𝑟 appartiene al piano 𝛼.
ii. Dimostriamo che le rette 𝑟 e 𝑠 sono incidenti, considerando i ranghi delle matrici 𝐴 e (𝐴|𝑏⃗ ), dove
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(𝐴|𝑏⃗ ) = (
3 0 1 1
0 1 0 0
1 −2 0 0
0 1 −1 −1
)
Siccome il seguente determinante è diverso da 0, allora la matrice 𝐴 ha rango 3.
det (3 0 1
0 1 0
1 −2 0) = −1 ≠ 0 ⟹ rg 𝐴 = 3 Sfruttando il Teorema di Laplace, calcoliamo
rg(𝐴|𝑏⃗ ) = (
3 0 1 1
0 1 0 0
1 −2 0 0
0 1 −1 −1
)
= − det (0 1 0
1 −2 0
0 1 −1
) − det (3 0 1
0 1 0
1 −2 0
) = −1 − (−1)
= 0
Siccome il determinante di (𝐴|𝑏⃗ ) è nullo, allora anche la matrice in questione avrà rango 3. Ora, abbiamo così dimostrato che il sistema lineare formato dalle equazioni dei piani costituenti le rette ammette, per il Teorema di Rouché-Capelli, ∞0 soluzioni, cioè una e una sola soluzione. In altre parole, le due rette si intersecano in un unico punto, dunque sono incidenti.
Determiniamo ora i coseni degli angoli formati dalle due rette. Ricordiamo che la formula per determinare cos 𝑟𝑠̂ è
cos 𝑟𝑠̂ = ± 𝑣⃗⃗⃗ ⋅ 𝑣𝑟 ⃗⃗⃗ 𝑠
||𝑣⃗⃗⃗ ||||𝑣𝑟 ⃗⃗⃗ ||𝑠
dove 𝑣⃗⃗⃗ e 𝑣𝑟 ⃗⃗⃗ sono i vettori direzionali delle due rette, mentre il simbolo ||⋅|| 𝑠 indica la norma euclidea dei vettori a cui è applicato.
Esprimendo le rette in forma parametrica si ha 𝑟 ∶ { 𝑥 = 𝑡
𝑦 = 0
𝑧 = 1 − 3𝑡 𝑠 ∶ { 𝑥 = 2𝑘 𝑦 = 𝑘 𝑧 = 1 + 𝑘 da cui 𝑣⃗⃗⃗ = (1; 0; −3) e 𝑣𝑟 ⃗⃗⃗ = (2; 1; 1). 𝑠
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Dunque avremo che
cos 𝑟𝑠̂ = ±(1; 0; −3) ⋅ (2; 1; 1)
√1 + 9√4 + 1 + 1 = ± 2 − 3
√10√6 = ± 1
2√15 = ±√15 30
iii. Determiniamo ora il punto 𝑃 di intersezione tra le due rette risolvendo il sistema lineare
{
3𝑥 + 𝑧 = 1 𝑦 = 0
𝑥 − 2𝑦 = 0 ⟹ {𝑧 = 1 𝑦 = 0 𝑥 = 0
⟹ 𝑃(0; 0; 1)
Determiniamo inoltre il piano 𝛽 passante per 𝑃 ed ortogonale a 𝑠. Ricordiamo che la condizione di ortogonalità tra retta e piano è che il vettore normale del piano dev’essere parallelo al vettore direzionale della retta. Detto 𝑛⃗ = (2; 1; 1) il vettore normale di 𝛽, determiniamo quest’ultimo imponendo il passaggio del fascio di piani aventi tale vettore normale per il punto 𝑃(0; 0; 1)
𝛽 ∶ 2(𝑥 − 0) + (𝑦 − 0) + (𝑧 − 1) = 0 𝛽 ∶ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
iv. Stabiliamo infine se esistono piani contenenti 𝑠 ed ortogonali ad 𝑟.
Chiaramente se il piano considerato deve contenere la retta 𝑠, allora deve contenere anche il punto 𝑃(0; 0; 1) ∈ 𝑠. Inoltre, se dev’essere ortogonale a 𝑟, questo deve avere vettore normale 𝑛⃗⃗⃗ parallelo a 𝑣′ ⃗⃗⃗ = (1; 0; −3). Il piano 𝑟 ricercato sarà dato da
𝛾 ∶ (𝑥 − 0) + 0(𝑦 − 0) − 3(𝑧 − 1) = 0 𝛾 ∶ 𝑥 − 3𝑧 + 3 = 0
