Data la curva di equazione parametrica φ(t

ESERCIZI SULLE CURVE

1. Calcolare la lunghezza dell’arco in IR² congiungente i punti P (1, −1) e Q(1, 1) lungo la curva di equazione implicita y² = x³.

2. Data la curva di equazione parametrica φ(t) = (e^t−1+ 1, log(t) + t), t ∈ [1/2, 2], determinare il versore tangente e quello normale a φ nel punto P (2, 1). Scrivere l’equazione della retta tangente in P in forma implicita e parametrica.

3. Determinare per quali α > 0 la retta tangente alla curva γ data da {(x, y) | x = arctan [(y + 1)^α] , y ∈ [−1, 1]} in P (^π₄, 0) ´e parallela alla reta y = x.

4. Determinare il versore tangente alla curva

γ(t) =







x(t) = cos(3t) y(t) = sin(3t) z(t) = log(2 sin(3t))

per t ∈ [₁₂^π,^π₄], in P (0, 1, log 2) e l’equazione della retta tangente.

5. Calcolare ^R_γf ds, dove f (x, y) = (x²+ y²)² e γ `e la curva di equazione polare ρ = e^2θ con θ ∈ (−∞, 0].

6. Calcolare ^R_γf ds, dove f (x, y, z) = xyz e γ `e la curva di equazione parametrica γ(t) = (R sin t, R cos t, ht) (R > 0, h > 0), 0 < t < 2.

7. Data f (x, y, z) = √ ^z

(1+x²+y²), calcolare^R_γf ds, dove γ giace in {z ≥ 0}, {(x, y, z) | x = y, z = 1 − y²}.

8. Calcolare^R_γ^y^q(1 + 3y² + x)^ds dove γ `e la curva data da x = y² con 0 ≤ y ≤ 1.

9. Determinare il baricentro di una semicirconferenza di raggio R > 0.

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