FISICA GENERALE
MODULO A
CORSO H – BARI
Dinamica dei sistemi di punti materiali
Dott. Giannuzzi Giuseppe
Argomenti della lezione
Dinamica dei sistemi di punti materiali:
- Forze esterne ed interne - Centro di massa
- Equazioni cardinali del moto
- Conservazione della quantità di moto e del momento angolare - Condizioni di equilibrio
- Proprietà del centro di massa - Sistema CM
Sistemi di punti materiali
Il punto materiale è un’astrazione alla quale pochi casi si possono assimilare.
La maggior parte degli oggetti reali sono invece costituiti da un insieme di punti materiali o da un continuo di punti materiali.
Nonostante questa sia in genere una notevole complicazione, vedremo come un sistema di punti materiali (almeno nei moti di traslazione) si muove come se tutta la sua massa fosse concentrata in un solo punto particolare detto centro di massa.
Questa proprietà permetterà di ricondurre la descrizione del moto di un sistema di punti al moto di un punto materiale.
Sistemi punti, forze interne ed esterne
Consideriamo 𝑛 punti materiali interagendo tra loro e con il resto dell’universo.
Se 𝐹𝑖 è la risultante delle forze agenti sull’i-simo punto, possiamo distinguere per ognuno dei punti il contributo delle forze esterne ed interne (esercitate dagli altri 𝑛 − 1 punti) al sistema:
𝐹𝑖 = 𝐹𝑖 𝐸 + 𝐹𝑖𝐼
Ma per quanto riguarda le forze interne si può applicare il principio di azione e reazione (III legge di Newton) che stabilisce che le forze interne sono dirette lungo la congiungente i punti (attrattive o repulsive) e sono (a 2 a 2) uguali e opposte.
Per cui la risultante di tutte le forze interne agenti sull’intero sistema è nulla:
𝑅𝑖𝑛𝑡 =
𝑖
𝐹𝑖 𝐼 = 0
Sistemi punti, forze interne ed esterne
Per il sistema di punti allora definiamo le grandezze meccaniche totali del sistema:
( 𝑚𝑖 è la massa dell’iesimo punto materiale 𝑃𝑖) (consideriamo un sistema di riferimento inerziale)
Quantità si moto totale 𝑃 =
𝑖
𝑝𝑖 =
𝑖
𝑚𝑖 𝑣𝑖
Momento angolare totale (rispetto al polo O) 𝐿 =
𝑖
𝐿𝑖 =
𝑖
𝑟𝑖 × 𝑚𝑖 𝑣𝑖 Energia cinetica totale
𝐸𝑘 =
𝑖
𝐸𝑘,𝑖 =
𝑖
1
2 𝑚𝑖 𝑣𝑖2
Centro di Massa di un sistema di punti
Definiamo il Centro di Massa (CM) di un sistema di punti quel punto geometrico la cui posizione è definita da una media pesata delle posizioni di ciascun punto materiale del sistema; ad esempio nel caso di N punti materiali definiamo il raggio vettore del C.M. rispetto al riferimento considerato come
𝑟𝐶𝑀 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = 𝑚1𝑟1 + 𝑚2𝑟2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑟𝑁 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁 Che proiettando sugli assi diventano le coordinate del CM:
𝑥𝐶𝑀 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑥𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖
𝑦𝐶𝑀 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑦𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖
𝑧𝐶𝑀 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑧𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖
La posizione del CM non dipende dal sistema di riferimento, tuttavia le sue coordinate ne dipendono.
Centro di Massa di un sistema di punti
Come si interpreta il C.M.?
Supponiamo di avere solo 2 masse e scegliamo un riferimento coincidente con una delle due masse (ad es. 𝑚1 ⇒ 𝑥1 = 0).
In questo caso 𝑥𝐶𝑀 = 𝑚2
𝑚1+𝑚2 𝑥2 ⟹ 0 ≤ 𝑥𝐶𝑀 ≤ 𝑥2 Pertanto si possono avere i seguenti casi:
se 𝑚1 ≫ 𝑚2 ⇒ ( oppure 𝑚1 ⟶ ∞) ⇒ 𝑥𝐶𝑀 ⟶ 𝑥1 = 0 se 𝑚1 ≪ 𝑚2 ⇒ ( oppure 𝑚2 → 0 ) ⇒ 𝑥𝐶𝑀 ⟶ 𝑥2
se 𝑚1 = 𝑚2 ⇒ 𝑥𝐶𝑀 ⟶ 𝑥2
2
In definitiva il centro di massa tende a disporsi dove vi è più concentrazione di massa nel sistema di punti materiali.
Velocita ed accelerazione per i sistemi di punti materiali
Se i punti del sistema sono in movimento possiamo verificare qual è la velocità del CM (varia nel tempo in generale):
𝑣𝐶𝑀 = 𝑑𝑟𝐶𝑀
𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡
σ𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = σ𝑖 𝑚𝑖 𝑑𝑟𝑖 𝑑𝑡
σ𝑖 𝑚𝑖 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑣𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = σ𝑖𝑝𝑖
σ𝑖𝑚𝑖 = 𝑃 𝑀 con M la massa totale del sistema di punti materiali.
Quindi, la quantità di moto totale del sistema è data dalla quantità di moto del CM (equivalente ad un punto materiale di massa M, velocità 𝑣𝐶𝑀 e posizione 𝑟𝐶𝑀)
𝑃 = 𝑀 𝑣𝐶𝑀 Analogamente per l’accelerazione del CM, si ha:
𝑎𝐶𝑀 = 𝑑𝑣𝐶𝑀
𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡
σ𝑖 𝑚𝑖𝑣𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = σ𝑖 𝑚𝑖 𝑑𝑣𝑖 𝑑𝑡
σ𝑖 𝑚𝑖 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑎𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑎𝑖 𝑀 𝑀 𝑎𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖𝑎𝑖
Per cui nel caso di sistemi di riferimento inerziali (vale la II legge della dinamica):
𝑚𝑖𝑎𝑖 = 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖 𝐸 + 𝐹𝑖𝐼
Seconda legge della dinamica per i sistemi di punti materiali:
Teorema del moto del centro di massa
Sostituendo 𝑚𝑖𝑎𝑖 si ottiene:
Seconda Legge di Newton per i sistemi di punti materiali (teorema del moto del centro di massa)
𝑀 𝑎𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖𝑎𝑖 =
𝑖
𝐹𝑖𝐸 + 𝐹𝑖 𝐼 =
𝑖
𝐹𝑖𝐸 +
𝑖
𝐹𝑖𝐼 = 𝑅 𝐸 + 𝑅 𝐼
e dal momento che la risultante delle forze interne è nulla 𝑅 𝐼 = 0, si ottiene 𝑅 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀
ossia il teorema del moto del centro di massa.
In definitiva si ha che il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e vi sia applicata la risultante delle forze esterne al sistema.
Prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti
Dalle equazioni precedentemente dimostrate
𝑅 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 𝑀 𝑣𝐶𝑀 = 𝑃 si ottiene
𝑅 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 = 𝑀 𝑑𝑣𝐶𝑀
𝑑𝑡 = 𝑑 𝑀 𝑣𝐶𝑀
𝑑𝑡 = 𝑑𝑃
𝑑𝑡 la prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti
𝑅 𝐸 = 𝑑𝑃 𝑑𝑡
La risultante delle forze esterne è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema.
Conservazione della quantità di moto
Come caso particolare, se la risultante delle forze esterne 𝑅 𝐸 è nulla, allora si ha:
𝑅 𝐸 = 0 ⟹ 𝑑𝑃
𝑑𝑡 = 0 ⟹ 𝑃 = 𝑐𝑜𝑠𝑡
Quindi se un sistema è chiuso (le particelle non possono uscire o entrare dal sistema) ed isolato (non soggetto a forze esterne) oppure la risulte 𝑅 𝐸 = 0, allora la quantità di moto totale del sistema si conserva, in altre parole la quantità di moto iniziale e finale sono le stesse 𝑃𝑖 = 𝑃𝑓 e di conseguenza il CM si muove di moto rettilineo ed uniforme.
Principio della conservazione della quantità di moto per un sistema di punti materiali: quando 𝑅 𝐸 è nulla, la quantità di moto totale 𝑃 del sistema rimane costante nel tempo ed il CM si muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.
Scalarmente, la quantità di moto si conserva lungo ciascun asse.
Problema 1
Tre particelle sono collegate ai vertici di un triangolo equilatero ed hanno masse 𝑚1=1.2Kg, 𝑚2=2.5Kg e 𝑚3=3.4Kg. Se il lato del triangolo è 𝑎 = 1.4 𝑚 dove si trova il C.M.?
Usando un sist. di rif. centrato sulla particella in basso a sinistra (𝑚1) abbiamo che le
coordinate dei punti sono:
𝑚1 (0,0) 𝑚2 (𝑎
2,𝑎 3 2 ) 𝑚3 (𝑎, 0) Per cui
𝑥𝐶𝑀 = 0 + 𝑚2 ∙ 𝑎
2 + 𝑚3 ∙ 𝑎
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 2.5 ∙ 0.7 + 3.4 ∙ 1.4 𝑁
1.2 + 2.5 + 3.4 𝑘𝑔 = 0.92 𝑚 𝑦𝐶𝑀 = 0 + 𝑚2 ∙ 𝑎 3
2 + 0
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 2.5 ∙ 1.4 3
2 𝑁
1.2 + 2.5 + 3.4 𝑘𝑔 = 0.43 𝑚
Problema 2
Una scatola di massa M=6 Kg scivola lungo un pavimento orizzontale e privo di attrito alla velocità v =4m/s lungo il verso positivo dell’asse x.
Improvvisamente la scatola si rompe in 2 pezzi, uno dei due di massa 𝑚1 = 2 Kg si muove lungo x e nel verso positivo, con velocità 𝑣1 =8m/s.
Qual è la velocità del secondo frammento?
Il sistema è isolato (intervengono solo forze interne) per cui si conserva la quantità di moto del CM. In questo caso il moto (finale-iniziale) si svolge sull’asse x per cui 𝑃𝑖 = 𝑃𝑓 diventa
𝑀 · 𝑣 = 𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 da cui
𝑣2 = 𝑀𝑣 − 𝑚1𝑣1
𝑀 − 𝑚1 = 2𝑚 𝑠 (in generale una equazione per ogni componente)
Problema 3
Un fuoco artificiale di massa M e posto sul pavimento liscio, si spacca in 3 pezzi A,B,C. Sapendo che 𝑚𝑐=0.3M ha 𝑣𝑐 =5m/s, qual è la velocità del frammento B, di massa 𝑚𝑏 =0.2M ? (L’angolo tra il framm A e C è 100°, l’angolo tra C e B è 130°).
Nella scelta del sist. di riferimento (arbitrario) conviene far coincidere una delle velocità dei frammenti con un asse. Scegliamo ad esempio l’asse x nella direzione di A. Avremo allora che 𝑣𝐴 = −𝑣𝐴 𝑖 mentre la velocità di B è 50° sotto l’asse x e la direzione di C è con angolo 80° sopra l’asse x. Il sistema è isolato quindi la quantità di moto si conserva (lungo ciascun asse) e avremo:
A
B C M
Teorema del momento angolare
Ricaviamo il teorema del momento angolare totale per un sistema di punti materiali. Consideriamo il momento angolare totale rispetto ad un polo O
𝐿 = σ𝑖 𝐿𝑖 = σ𝑖 𝑟𝑖 × 𝑚𝑖 𝑣𝑖
Il polo del calcolo può non essere fisso e non coincide con l’origine.
Per cui derivando rispetto al tempo 𝑑𝐿
𝑑𝑡 =
𝑖
𝑑𝐿𝑖
𝑑𝑡 =
𝑖
𝑑𝑟𝑖
𝑑𝑡 × 𝑚𝑖 𝑣𝑖 +
𝑖
𝑟𝑖 × 𝑚𝑖 𝑑𝑣𝑖 𝑑𝑡 Il primo termine è quello che abbiamo trattato nei moti relativi ed è 𝑑𝑟𝑖
𝑑𝑡 = 𝑣𝑖 − 𝑣0 con 𝑣0 la velocità di O nel sistema di riferimento inerziale, mentre
𝑚𝑖 𝑑𝑣𝑖
𝑑𝑡 = 𝑚𝑖𝑎𝑖 = 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝐸 + 𝐹𝑖 𝐼
Teorema del momento angolare
𝑑𝐿
𝑑𝑡 =
𝑖
𝑑𝐿𝑖
𝑑𝑡 =
𝑖
𝑑𝑟𝑖
𝑑𝑡 × 𝑚𝑖 𝑣𝑖 +
𝑖
𝑟𝑖 × 𝑚𝑖 𝑑𝑣𝑖 𝑑𝑡
𝑑𝑟𝑖
𝑑𝑡 = 𝑣𝑖 − 𝑣0, 𝑑𝑣𝑖
𝑑𝑡 = 𝑚𝑖𝑎𝑖 = 𝐹𝑖𝐸 + 𝐹𝑖 𝐼 ne segue che:
con 𝑀 𝐸 = σ𝑖 𝑟𝑖 × Ԧ𝐹𝑖𝐸 , 𝑀 𝐼 = σ𝑖 𝑟𝑖 × Ԧ𝐹𝑖𝐼 ovvero il momento delle forze esterne ed interne rispetto al polo O.
Teorema del momento angolare
Guardiamo cosa succede al momento delle forze interne andando ad esaminare le forze su due generici punti i e j:
Le forze interne sono di azione-reazione e dirette lungo la congiungente, inoltre 𝑀𝑖,𝑗 = 𝑟𝑖 × 𝐹 𝑖,𝑗 + 𝑟𝑗 × 𝐹𝑗,𝑖
con 𝐹 𝑗,𝑖 = −𝐹 𝑖,𝑗 per cui
𝑀𝑖,𝑗 = 𝑟𝑖 × 𝐹 𝑖,𝑗 − 𝑟𝑗 × 𝐹 𝑖,𝑗
𝑀𝑖,𝑗 = 𝑟𝑖 − 𝑟𝑗 × 𝐹 𝑖,𝑗 = 𝑟𝑖,𝑗 × 𝐹 𝑖,𝑗
ma dalla regola del parallelogramma 𝑟𝑖,𝑗 è anch’esso lungo la congiungente, quindi il prodotto vettoriale con la forza interna 𝐹 𝑖,𝑗 è nullo, per cui si ottiene che ogni momento delle forze interne è a coppie di punti nullo. Pertanto per qualunque polo:
𝑀 𝐼 = σ𝑖,𝑗 𝑀𝑖,𝑗 = 0
Teorema del momento angolare
Di conseguenza
𝑑𝐿
𝑑𝑡 = 𝑀 𝐸 − 𝑣0 × 𝑀 𝑣𝐶𝑀
Se il termine 𝑣0 × 𝑀 𝑣𝐶𝑀 = 0 allora si ottiene la seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi, che costituisce il Teorema del Momento angolare
𝑀
𝐸= 𝑑𝐿
Il termine 𝑣0 × 𝑀 𝑣𝐶𝑀 = 0 quando:
𝑑𝑡
• il polo è fisso nel sistema di riferimento inerziale, 𝑣0 = 0
• il CM è in quiete nel sistema di riferimento inerziale, 𝑣𝐶𝑀 = 0
• Il polo coincide con il centro di massa, 𝑂 ≡ 𝐶𝑀 (𝑣𝐶𝑀 = 𝑣0, quindi paralleli)
• 𝑣𝐶𝑀 parallelo a 𝑣0
Per cui possiamo dire che se il polo O è fisso nel sistema di riferimento inerziale, oppure coincide con il CM, anche se quest’ultimo è in generale un punto mobile e accelerato, il cambiamento del momento angolare nel tempo dipende solo dal momento delle forze esterne rispetto al polo O (le forze interne non influenzano L)
Principio di conservazione del momento angolare
Se ci troviamo nella situazione in cui vale il T. del momento angolare 𝑑𝐿
𝑑𝑡 = 𝑀 𝐸 (𝑣0 × 𝑀 𝑣𝐶𝑀 = 0), allora nel caso in cui
𝑀 𝐸 = 0 ⇒ 𝑑𝐿
𝑑𝑡 = 0 ⇒ 𝐿 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
che costituisce il Principio di conservazione del momento angolare:
Se è nullo il momento delle forze esterne che agiscono sul sistema di punti, allora il momento angolare totale si conserva.
La condizione 𝑀 𝐸 = 0 si verifica:
• quando il sistema è isolato (risultante delle forze esterne e momenti delle forze nulli); in questo caso qualunque polo si scelga si ha 𝑅 𝐸 = 0 ⇒ 𝑃𝐶𝑀 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 e 𝐿𝐶𝑀 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 (conservazione della quantità di moto e del momento angolare)
• oppure quando il momento è nullo rispetto ad un determinato polo O (non rispetto ad un altro polo); la conservazione del momento angolare in tal caso vale solo rispetto al polo considerato
Sistema di riferimento del CM
Il sistema di riferimento connesso al CM pur essendo mobile e quindi non inerziale in generale (traslatorio ma non necessariamente rettilineo ed uniforme), in base alle relazioni che abbiamo trovato, risulta godere di proprietà particolari come se fosse inerziale.
Se scegliamo un sistema di riferimento con origine nel CM, con gli assi paralleli a quelli di un sistema inerziale, otteniamo le relazioni (apice per il CM) per il punto –iesimo del sistema:
𝑟𝑖 = 𝑟′𝑖 + 𝑟𝐶𝑀 (Th. velocità relative con 𝜔 = 0) 𝑣𝑖 = 𝑣′𝑖 + 𝑣𝐶𝑀 Ma essendo il sistema mobile centrato sul CM ⇒
𝑟′𝐶𝑀 = 0, 𝑣′𝐶𝑀 = 0, 𝑎′𝐶𝑀 = 0 segue dalle definizioni σ𝑖 𝑚𝑖𝑟′𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = 0, σ𝑖 𝑚𝑖𝑣′𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = 0 ⇒ σ𝑖 𝑚𝑖 𝑟′𝑖 = 0 e σ𝑖 𝑚𝑖 𝑣′𝑖 = 0
Pertanto la quantità di moto totale del sistema calcolata nel sistema di riferimento del CM è nulla
𝑃′ =
𝑖
𝑚𝑖 𝑣′𝑖 = 0
Sistema di riferimento del CM
Tuttavia per descrivere la dinamica relativa al CM, dobbiamo tener conto che il sistema è comunque non inerziale perché accelerato, quindi dobbiamo aggiungere le forze apparenti di trascinamento, ovvero quella del CM: −𝑚𝑖 𝑎𝑡 = −𝑚𝑖 𝑎𝐶𝑀
Quindi per ognuno dei punti del sistema avremo che:
𝐹𝑖𝐸 + 𝐹𝑖 𝐼 − 𝑚𝑖 𝑎𝐶𝑀 = 𝑚𝑖 𝑎′𝑖 Quindi sommando su tutti i punti si ha (𝑅 𝐼 = 0):
𝑅 𝐸 −
𝑖
𝑚𝑖 𝑎𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖 𝑎′𝑖
ma abbiamo anche visto che 𝑅 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 per cui nel suo sistema
𝑖
𝑚𝑖 𝑎′𝑖 = 0
Infine si dimostra anche che 𝑀′ 𝐸 = σ𝑖 𝑟′𝑖 × 𝐹𝑖𝐸 − 𝑚𝑖 𝑎𝐶𝑀 = σ𝑖 𝑟′𝑖 × 𝐹𝑖 𝐸 senza contributi di forze apparenti. Inoltre se definiamo il momento angolare rispetto al CM: 𝐿′ = σ𝑖 𝑟′𝑖 × 𝑚𝑖 𝑣′𝑖 si ottiene: 𝑑𝐿′
𝑑𝑡 = 𝑀′ 𝐸
Quindi il teorema del momento angolare vale anche nel caso in cui si scelga come polo il CM.
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