Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Esami di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2007-08 16 giugno 2008

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Esami di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2007-08 16 giugno 2008

1. Determinare la decomposizione in fattori lineari e quadratici reali del polinomio p(x) = x ⁷ + x.

2. Stabilire se l’applicazione lineare

f : R ³ −→ R ³ , (x, y, z) 7→ (x + y + z, x + y − z, x − y − z)

`

e invertibile, ed in caso affermativo determinarne l’inversa.

3. Stabilire se la funzione

f (x, y) =



 

 

ln  1+

√

x

+y

 sin(xy)

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

`

e differenziabile in (0, 0).

4. Tra i punti dell’insieme A = {(x, y, z) ∈ R ³ : 2x + 3y − z = 5} si determini, se esiste, quello che ha distanza minima da (0, 0, 0).

5. Calcolare il volume della regione di spazio delimitata dall’insieme C = {(x, y, 0) ∈ R ³ : 1 < (x − 1) ² + y ² ≤ 2, x ≥ 1, y ≥ 0}

e dalla superficie di equazione z = (x ² + y ² − 1) ln((x − 1) ² + y ² ).

6. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy



 

 



 

 



y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 4y = e ^2x sin x y(0) = 0

y ⁰ (0) = 0.