Esercizio1.
-
f 0
(x)= e x
(3x 2
2x 8); f
0
(x)=0 perx= 4=3;2;
f 0
(x)>0 per 4=3<x<2; f 0
(x)<0 per 2<x< 4=3e2<x<3:
Pertanto,x= 4=3;3sonopuntidiminimorelativo,mentre x= 2;2sonopuntidimassimorelativo,
per la funzione f nell'intervallo considerato. Poicheg(x) = jf(x)j e f(x) < 0 per x 2 ( 2;2=3), si
ottiene che x = 4=3;2sono punti di massimo relativo,mentre x = 2;2=3;3sono punti di minimo
relativo,perlafunzioneg nell'intervalloconsiderato.
- Lafunzionepropostaede nitasututtol'assereale,pertantoC :E:=IR ,inoltref 2C 1
(IR ).
f(x)>0 perx< 2; x>2=3; f(x)<0 per 2<x<2=3; f(x)=0 perx= 2;2=3;
lim
x!+1
f(x)= lim
x!+1 3x
2
e x
=0 y=0 easinototoorizzontaleperx!+1;
lim
x! 1
f(x)= lim
x! 1 3x
2
e x
=+1 noncisonoasinototiorizzontalioobliqui perx! 1;
f 0
(x)= e x
(3x 2
2x 8); f
0
(x)=0 perx= 4=3;2;
f 0
(x)>0 per 4=3<x<2; f ecrescente;
f 0
(x)<0 per x< 4=3; x>2; f edecrescente;
x= 4=3 epunto diminimoassoluto; x=2 epuntodi massimorelativo;
f 00
(x)=e x
(3x 2
8x 6); f
00
(x)=0 perx= 4
p
34
3
;
f 00
(x)<0 per 4
p
34
3
<x<
4+ p
34
3
; f econcava;
f 00
(x)>0 per x<
4 p
34
3
; x>
4+ p
34
3
; f econvessa;
x= 4
p
34
3
sonopuntidi esso:
Osservandoche
g(x)=jf(x)j=
f(x) sef(x)0,ovveroper x 2; x2=3,
f(x) sef(x)<0,ovveroper 2<x<2=3,
ilgra codig siottienedaquellodi f,semplicementeribaltando quest'ultimonell'intervallo( 2;2=3),
cioedovef enegativa. Pertanto,x= 2;2=3risulterannoesserepuntiangolosidiminimoassolutoperg,
mentrex= 4=3;2sarannopuntidimassimorelativo.Percompletezza,osserviamocheg( 4=3)=4e 4=3
edg(2)=16e 2
;pertantog( 4=3)>g(2). In ne,x= 4
p
34
sonopuntidi esso. Ilgra coe
- La funzione propostaecontinuasu tutto IR 2
, in quanto composizionedi funzioni continuein tutto il
piano. Dalleregoledi derivazione,siottiene
@f
@x
(2;1)= 1
5 x
4=5
y 3=5
(x;y)=(2;1)
= 1
5 2
4=5
;
@f
@y
(2;1)= 3
5 x
1=5
y 2=5
(x;y)=(2;1)
= 3
5 2
1=5
:
- Per stabilire se f e di erenziabile nell'origine, bisogna innanzitutto calcolarne le derivate parziali in
(0;0). Osservandoche la funzione propostae identicamente nulla lungo gli assicoordinati, si ottiene
che
@f
@x
(0;0)=0=
@f
@y (0;0):
D'altraparte,f nonrisultaesseredi erenziabile,in quanto, e ettuandouncambiamentoincoordinate
polaricentratenell'origine,siottiene
lim
(h;k )!(0;0) 5 p
hk 3
p
h 2
+k 2
= lim
!0 +
5 p
4
cossin 3
= lim
!0 +
5 p
cossin 3
1=5
6=0:
In ne,poichef edi erenziabilein ognipuntononappartenenteagliassicoordinati,inquantocompo-
sizionedi funzionidi erenziabili,daunnototeorema,ricaviamo
@f
@ ~v
(2;1)=rf(2;1)~v=
@f
@x (2;1)v
1 +
@f
@y (2;1)v
2
= 1
5 2
4=5
v
1 +
3
5 2
1=5
v
2
;
ovesieposto~v=(v
1
;v
2 ).
Esercizio3.
Ponendoz = e i
, ed osservandoche z = e i
e i = e i=2
, l'equazione propostasi riscrivenella
forma
3
e i
e i
=e i=2
dacui 2
e 2i
=e i=2
:
Eguagliando i moduli e gliargomenti, ameno di multipli di 2, nella precedente espressione, si ottiene il
sistema
(
2
=1;
2= =2+2k k2Z;
ovvero (
=1;
= =4+k k2Z:
Riscrivendolesoluzionitrovateinformaalgebrica,siricavanoleduesoluzioni
z
1
= p
2
2 i
p
2
2 z
2
= p
2
2 +i
p
2
2 :
Esercizio4.
L'equazionedi erenzialepropostaeun'equazionelineareomogeneadelsecondoordine,lacuiequazione
caratteristicaassociatae 2
+4
2
=0,chehacome soluzioni=2i. Pertanto,l'integralegeneralesara
y(x)=C
1
cos(2x)+C
2
sin(2x):
Imponendolecondizioniy(0)=y(2)=0,siricavaC
1
=0eC
2
2IR ,dacuisiottengonolein nitesoluzioni
y(x)=C
2
sin(2x).
- Siaf :[a;b]!IRunafunzioneassegnataesiax
0
unpuntodell'intervallo[a;b]. Sef ederivabilein x
0 ,
alloraf eanchecontinuain x
0 .
Osserviamochenonvale ilviceversa,cioelacontinuitainunpunto nonimplica,in generale,laderiva-
bilitaintalepunto.
- Perladimostrazionedellaprecedenteproprieta,vederelibroditesto.
Considerando, ad esempio, la funzione f : [ 1;1] !IR , de nita da f(x) = jxj, si osservache essa e
continuainx
0
=0,manonderivabile,in quantotalefunzionepresentainx
0
=0unpuntoangoloso.
Domanda2.
- Siaf :[a;b]!IR un'assegnatafunzione continuaesiac2[a;b]. Allora,lafunzioneintegralede nita
da
F(x)= Z
x
c
f(t)dt 8x2[a;b]
ederivabilein [a;b]evale larelazioneF 0
(x)=f(x),perognix2[a;b].
- Perladimostrazionedelprecedente teorema,vederelibroditesto.
Esercizio1.
-
f 0
(x)=e x
(3x 2
+2x 8); f 0
(x)=0 perx= 2;4=3;
f 0
(x)<0 per 2<x<4=3; f 0
(x)>0 per 3<x< 2e4=3<x<2:
Pertanto,x= 3;4=3sonopuntidiminimorelativo,mentre x= 2;2sonopuntidimassimorelativo,
perlafunzionef nell'intervalloconsiderato. Poicheg(x)= jf(x)jef(x)>0perx< 2=3ex>2,si
ottieneche x= 3; 2=3;2sono punti dimassimo relativo,mentre x= 2;4=3sonopuntidi minimo
relativo,perlafunzioneg nell'intervalloconsiderato.
- Lafunzionepropostaede nitasututtol'assereale,pertantoC :E:=IR ,inoltref 2C 1
(IR ).
f(x)>0 perx< 2=3; x>2; f(x)<0 per 2=3<x<2; f(x)=0 perx= 2=3;2;
lim
x! 1
f(x)= lim
x! 1 3x
2
e x
=0 y=0 easinototoorizzontaleperx! 1;
lim
x!+1
f(x)= lim
x!+1 3x
2
e x
=+1 noncisonoasinototiorizzontalioobliquiperx!+1;
f 0
(x)=e x
(3x 2
+2x 8) ; f 0
(x)=0 perx= 2;4=3;
f 0
(x)>0 per x< 2; x>4=3; f ecrescente;
f 0
(x)<0 per 2<x<4=3; f edecrescente;
x=4=3 epuntodiminimoassoluto; x= 2 epuntodi massimorelativo;
f 00
(x)=e x
(3x 2
+8x 6); f 00
(x)=0 perx= 4
p
34
3
;
f 00
(x)<0 per 4
p
34
3
<x<
4+ p
34
3
; f econcava;
f 00
(x)>0 per x<
4 p
34
3
; x>
4+ p
34
3
; f econvessa;
x= 4
p
34
3
sonopuntidi esso:
Osservandoche
g(x)= jf(x)j=
f(x) sef(x)>0,ovveroper x> 2=3; x<2,
f(x) sef(x)<0,ovveroper 2=3x2,
ilgra codigsiottienedaquellodif,semplicementeribaltandoquest'ultimonegliintervalli( 1; 2=3)
e(2;+1),cioedovef epositiva. Pertanto, x= 2=3;2risulteranno esserepuntiangolosidimassimo
g(4=3)= 4e 4=3
edg( 2)= 16e 2
;pertantog(4=3)<g( 2). In ne,x=
4 34
3
sonopuntidi esso.
Ilgra coe
Esercizio2.
- La funzione propostaecontinuasu tutto IR 2
, in quanto composizionedi funzioni continuein tutto il
piano. Dalleregoledi derivazione,siottiene
@f
@x
(1;2)= 2
3 x
1=3
y 1=3
(x;y)=(1;2)
= 2
3 2
1=3
;
@f
@y
(1;2)= 1
3 x
2=3
y 2=3
(x;y)=(1;2)
= 1
3 2
2=3
:
- Per stabilire se f e di erenziabile nell'origine, bisogna innanzitutto calcolarne le derivate parziali in
(0;0). Osservandoche la funzione propostae identicamente nulla lungo gli assicoordinati, si ottiene
che
@f
@x
(0;0)=0=
@f
@y (0;0):
D'altraparte,f nonrisultaesseredi erenziabile,in quanto, e ettuandouncambiamentoincoordinate
polaricentratenell'origine,siottiene
lim
(h;k )!(0;0) 3 p
h 2
k
p
h 2
+k 2
= lim
!0 +
3 p
3
cos 2
sin
= lim
!0 +
3 p
cos 2
sin6=0:
In ne,poichef edi erenziabilein ognipuntononappartenenteagliassicoordinati,inquantocompo-
sizionedi funzionidi erenziabili,daunnototeorema,ricaviamo
@f
@ ~v
(1;2)=rf(1;2)~v=
@f
@x (1;2)v
1 +
@f
@y (1;2)v
2
= 2
3 2
1=3
v
1 +
1
3 2
2=3
v
2
;
ovesieposto~v=(v
1
;v
2 ).
Esercizio3.
Ponendoz=e i
,edosservandochez=e i
e1=e i0
, l'equazionepropostasiriscrivenellaforma
3
e i
e i
=e i0
dacui 2
e 2i
=e i0
:
Eguagliando i moduli e gliargomenti, ameno di multipli di 2, nella precedente espressione, si ottiene il
sistema
(
2
=1;
2=0+2k k2Z;
ovvero (
=1;
=k k2Z:
Riscrivendolesoluzionitrovateinformaalgebrica,siricavanoleduesoluzioniz=1.
L'equazionedi erenzialepropostaeun'equazionelineareomogeneadelsecondoordine,lacuiequazione
caratteristicaassociatae 2
+
2
16
=0,chehacomesoluzioni=i=4. Pertanto, l'integralegeneralesara
y(x)=C
1 cos
4 x
+C
2 sin
4 x
:
Imponendolecondizioniy(2)=y(6)=0,siricavaC
2
=0eC
1
2IR ,dacuisiottengonolein nitesoluzioni
y(x)=C
1 cos
4 x
.
Domanda1.
- Siaf :[a;b]!IRunafunzioneassegnataesiax
0
unpuntodell'intervallo[a;b]. Sef ederivabilein x
0 ,
alloraf eanchecontinuain x
0 .
Osserviamochenonvale ilviceversa,cioelacontinuitainunpunto nonimplica,in generale,laderiva-
bilitaintalepunto.
- Perladimostrazionedellaprecedenteproprieta,vederelibroditesto.
Considerando, ad esempio, la funzione f : [ 1;1] !IR , de nita da f(x) = jxj, si osservache essa e
continuainx
0
=0,manonderivabile,in quantotalefunzionepresentainx
0
=0unpuntoangoloso.
Domanda2.
- Siaf :[a;b]!IR un'assegnatafunzionecontinua. Allora,esisteunpunto c2(a;b),taleche
1
b a Z
b
a
f(x)dx=f(c):
- Perladimostrazionedelprecedente teorema,vederelibroditesto.
Esercizio1.
-
f 0
(x)=e x
(3x 2
+14x+8) ; f 0
(x)=0 perx= 4; 2=3;
f 0
(x)<0 per 4<x< 2=3; f 0
(x)>0 per 6<x< 4e 2=3<x<1:
Pertanto,x= 6; 2=3sonopuntidiminimorelativo,mentrex= 4;1sonopuntidimassimorelativo,
perlafunzione f nell'intervallo considerato. Poicheg(x)= jf(x)j ef(x)>0perx< 8=3ex>0,
si ottiene che x = 6; 8=3;0sono punti di massimo relativo, mentre x = 4; 2=3;1sono punti di
minimorelativo,perlafunzioneg nell'intervalloconsiderato.
- Lafunzionepropostaede nitasututtol'assereale,pertantoC :E:=IR ,inoltref 2C 1
(IR ).
f(x)>0 perx< 8=3; x>0; f(x)<0 per 8=3<x<0; f(x)=0 perx= 8=3;0;
lim
x! 1
f(x)= lim
x! 1 3x
2
e x
=0 y=0 easinototoorizzontaleperx! 1;
lim
x!+1
f(x)= lim
x!+1 3x
2
e x
=+1 noncisonoasinototiorizzontalioobliquiperx!+1;
f 0
(x)=e x
(3x 2
+14x+8); f 0
(x)=0 perx= 4; 2=3;
f 0
(x)>0 per x< 4; x> 2=3; f ecrescente;
f 0
(x)<0 per 4<x< 2=3; f edecrescente ;
x= 2=3 epunto diminimoassoluto; x= 4 epuntodimassimorelativo;
f 00
(x)=e x
(3x 2
+20x+22); f 00
(x)=0 perx= 10
p
34
3
;
f 00
(x)<0 per 10
p
34
3
<x<
10+ p
34
3
; f econcava;
f 00
(x)>0 per x<
10 p
34
3
; x>
10+ p
34
3
; f econvessa;
x= 10
p
34
3
sonopuntidi esso:
Osservandoche
g(x)= jf(x)j=
f(x) sef(x)>0,ovveroper x< 8=3; x>0,
f(x) sef(x)<0,ovveroper 8=3x0,
ilgra codigsiottienedaquellodif,semplicementeribaltandoquest'ultimonegliintervalli( 1; 8=3)
e(0;+1),cioedovef epositiva. Pertanto, x= 8=3;0risulteranno esserepuntiangolosidimassimo
che g( 2=3) = 4e 2=3
ed g( 4) = 16e 4
; pertanto g( 2=3) < g( 4). In ne, x =
10 34
3
sono
puntidi esso. Ilgra coe
Esercizio2.
- La funzione propostaecontinuasu tutto IR 2
, in quanto composizionedi funzioni continuein tutto il
piano. Dalleregoledi derivazione,siottiene
@f
@x
(1;1)= 1
3 x
2=3
y 2=3
(x;y)=(1;1)
= 1
3
;
@f
@y
(1;1)= 2
3 x
1=3
y 1=3
(x;y)=(1;1)
= 2
3 :
- Per stabilire se f e di erenziabile nell'origine, bisogna innanzitutto calcolarne le derivate parziali in
(0;0). Osservandoche la funzione propostae identicamente nulla lungo gli assicoordinati, si ottiene
che
@f
@x
(0;0)=0=
@f
@y (0;0):
D'altraparte,f nonrisultaesseredi erenziabile,in quanto, e ettuandouncambiamentoincoordinate
polaricentratenell'origine,siottiene
lim
(h;k )!(0;0) 3 p
hk 2
p
h 2
+k 2
= lim
!0 +
3 p
3
cossin 2
= lim
!0 +
3 p
cossin 2
6=0:
In ne,poichef edi erenziabilein ognipuntononappartenenteagliassicoordinati,inquantocompo-
sizionedi funzionidi erenziabili,daunnototeorema,ricaviamo
@f
@ ~v
(1;1)=rf(1;1)~v=
@f
@x (1;1)v
1 +
@f
@y (1;1)v
2
= 1
3 v
1 +
2
3 v
2
;
ovesieposto~v=(v
1
;v
2 ).
Esercizio3.
Ponendoz=e i
,edosservandochez=e i
e 1=e i
,l'equazionepropostasiriscrivenellaforma
3
e i
e i
=e i
dacui 2
e 2i
=e i
:
Eguagliando i moduli e gliargomenti, ameno di multipli di 2, nella precedente espressione, si ottiene il
sistema
(
2
=1;
2=+2k k2Z;
ovvero (
=1;
==2+k k2Z:
Riscrivendolesoluzionitrovateinformaalgebrica,siricavanoleduesoluzioniz=i.
L'equazionedi erenzialepropostaeun'equazionelineareomogeneadelsecondoordine,lacuiequazione
caratteristica associatae 2
+ 2
=4 =0, cheha come soluzioni =i=2. Pertanto, l'integrale generale
sara
y(x)=C
1 cos
2 x
+C
2 sin
2 x
:
Imponendolecondizioniy(1)=y(3)=0,siricavaC
2
=0eC
1
2IR ,dacuisiottengonolein nitesoluzioni
y(x)=C
1 cos
2 x
.
Domanda1.
- Siaf :[a;b]!IRunafunzioneassegnataesiax
0
unpuntodell'intervallo[a;b]. Sef ederivabilein x
0 ,
alloraf eanchecontinuain x
0 .
Osserviamochenonvale ilviceversa,cioelacontinuitainunpunto nonimplica,in generale,laderiva-
bilitaintalepunto.
- Perladimostrazionedellaprecedenteproprieta,vederelibroditesto.
Considerando, ad esempio, la funzione f : [ 1;1] !IR , de nita da f(x) = jxj, si osservache essa e
continuainx
0
=0,manonderivabile,in quantotalefunzionepresentainx
0
=0unpuntoangoloso.
Domanda2.
- Siaf :[a;b]!IR un'assegnatafunzione continuaesiac2[a;b]. Allora,lafunzioneintegralede nita
da
F(x)= Z
x
c
f(t)dt 8x2[a;b]
ederivabilein [a;b]evale larelazioneF 0
(x)=f(x),perognix2[a;b].
- Perladimostrazionedelprecedente teorema,vederelibroditesto.
Esercizio1.
-
f 0
(x)= e x
(3x 2
14x+8) ; f 0
(x)=0 perx=2=3;4;
f 0
(x)>0 per2=3<x<4; f 0
(x)<0 per 1<x<2=3e4<x<6:
Pertanto,x =2=3;6sono punti di minimorelativo,mentre x= 1;4sono punti di massimorelativo,
perlafunzionef nell'intervalloconsiderato. Poicheg(x)=jf(x)jef(x)<0perx2(0;4=3),siottiene
che x= 1;2=3;4sonopuntidi massimorelativo,mentre x=0;8=3;6sono punti di minimorelativo,
perlafunzioneg nell'intervalloconsiderato.
- Lafunzionepropostaede nitasututtol'assereale,pertantoC :E:=IR ,inoltref 2C 1
(IR ).
f(x)>0 perx<0; x>8=3; f(x)<0 per0<x<8=3; f(x)=0 perx=0;8=3;
lim
x!+1
f(x)= lim
x!+1 3x
2
e x
=0 y=0 easinototoorizzontaleperx!+1;
lim
x! 1
f(x)= lim
x! 1 3x
2
e x
=+1 noncisonoasinototiorizzontalioobliquiperx! 1;
f 0
(x)= e x
(3x 2
14x+8); f 0
(x)=0 perx=2=3;4;
f 0
(x)>0 per 2=3<x<4; f ecrescente;
f 0
(x)<0 per x<2=3; x>4; f edecrescente;
x=2=3 epuntodi minimoassoluto; x=4 epuntodimassimorelativo;
f 00
(x)=e x
(3x 2
20x+22); f 00
(x)=0 perx= 10
p
34
3
;
f 00
(x)<0 per 10
p
34
3
<x<
10+ p
34
3
; f econcava;
f 00
(x)>0 per x<
10 p
34
3
; x>
10+ p
34
3
; f econvessa;
x= 10
p
34
3
sonopuntidi esso:
Osservandoche
g(x)=jf(x)j=
f(x) sef(x)>0,ovveroper x0; x8=3,
f(x) sef(x)<0,ovveroper 0<x<8=3,
il gra codi g si ottiene daquello di f, semplicemente ribaltando quest'ultimo nell'intervallo (0;8=3),
mentrex=2=3;4sarannopuntidimassimorelativo. Percompletezza,osserviamocheg(2=3)=4e
edg(4)=16e 4
;pertantog(2=3)>g(4). In ne,x= 10
p
34
3
sonopuntidi esso. Ilgra coe
Esercizio2.
- La funzione propostaecontinuasu tutto IR 2
, in quanto composizionedi funzioni continuein tutto il
piano. Dalleregoledi derivazione,siottiene
@f
@x
(2;2)= 2
5 x
3=5
y 1=5
(x;y)=(2;2)
= 2
5 2
2=5
;
@f
@y
(2;2)= 1
5 x
2=5
y 4=5
(x;y)=(2;2)
= 1
5 2
2=5
:
- Per stabilire se f e di erenziabile nell'origine, bisogna innanzitutto calcolarne le derivate parziali in
(0;0). Osservandoche la funzione propostae identicamente nulla lungo gli assicoordinati, si ottiene
che
@f
@x
(0;0)=0=
@f
@y (0;0):
D'altraparte,f nonrisultaesseredi erenziabile,in quanto, e ettuandouncambiamentoincoordinate
polaricentratenell'origine,siottiene
lim
(h;k )!(0;0) 5 p
h 2
k
p
h 2
+k 2
= lim
!0 +
5 p
3
cos 2
sin
= lim
!0 +
5 p
cos 2
sin
2=5
6=0:
In ne,poichef edi erenziabilein ognipuntononappartenenteagliassicoordinati,inquantocompo-
sizionedi funzionidi erenziabili,daunnototeorema,ricaviamo
@f
@ ~v
(2;2)=rf(2;2)~v=
@f
@x (2;2)v
1 +
@f
@y (2;2)v
2
= 2
5 2
2=5
v
1 +
1
5 2
2=5
v
2
;
ovesieposto~v=(v
1
;v
2 ).
Esercizio3.
Ponendoz=e i
,edosservandochez=e i
ei=e i=2
,l'equazionepropostasiriscrivenellaforma
3
e i
e i
=e i=2
dacui 2
e 2i
=e i=2
:
Eguagliando i moduli e gliargomenti, ameno di multipli di 2, nella precedente espressione, si ottiene il
sistema
(
2
=1;
2==2+2k k2Z;
ovvero (
=1;
==4+k k2Z:
Riscrivendolesoluzionitrovateinformaalgebrica,siricavanoleduesoluzioni
z
1
= p
2
2 +i
p
2
2 z
2
= p
2
2 i
p
2
2 :
L'equazionedi erenzialepropostaeun'equazionelineareomogeneadelsecondoordine,lacuiequazione
caratteristicaassociatae 2
+ 2
=0,chehacomesoluzioni=i. Pertanto,l'integralegeneralesara
y(x)=C
1
cos(x)+C
2
sin(x) :
Imponendolecondizioniy(0)=y(2)=0,siricavaC
1
=0eC
2
2IR ,dacuisiottengonolein nitesoluzioni
y(x)=C
2
sin(x).
Domanda1.
- Siaf :[a;b]!IRunafunzioneassegnataesiax
0
unpuntodell'intervallo[a;b]. Sef ederivabilein x
0 ,
alloraf eanchecontinuain x
0 .
Osserviamochenonvale ilviceversa,cioelacontinuitainunpunto nonimplica,in generale,laderiva-
bilitaintalepunto.
- Perladimostrazionedellaprecedenteproprieta,vederelibroditesto.
Considerando, ad esempio, la funzione f : [ 1;1] !IR , de nita da f(x) = jxj, si osservache essa e
continuainx
0
=0,manonderivabile,in quantotalefunzionepresentainx
0
=0unpuntoangoloso.
Domanda2.
- Siaf :[a;b]!IR un'assegnatafunzionecontinua. Allora,esisteunpunto c2(a;b),taleche
1
b a Z
b
a
f(x)dx=f(c):
- Perladimostrazionedelprecedente teorema,vederelibroditesto.
