Vibrations des systèmes mécaniques

Examen ENSA : Vibrations des systèmes mécaniques page1/4

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Examen du 28 Juin 2011

Vibrations des systèmes mécaniques

Cursus double diplôme

Durée 2 heures, documents autorisés

Réponse dynamique d’un pylône en béton

On veut étudier la réponse dynamique du pylône représenté sur la figure ci-contre. Le pylône de hauteurA=6a, de masse 6mest encastré à sa base sur une fondation de masse

M

. Nous modéliserons le premier terme d'une onde sismique de cisaillement par un déplacement imposé de la fondation

u G

( )t

= U cos ω t x G

_o

. A l’équilibre le pylône est vertical. Le poids n'est pas pris en compte dans notre modèle.

On note :

ρ S = m a /

La masse linéique du pylône, et

EI

Sa raideur en flexion.

Les caractéristiques du pylône sont :

Sa hauteur

A = 12

mètres, sa masse 6m=6Tonnes

y G

o

x G

_o

M u

^Gt

A

Son moment quadratique

I = 12 10

⁻⁴

m

⁴ il est en béton

E = 36 36 GPa = 10

⁹

Pa

I : Modèle à un degré de liberté du pylône

Le pylône est modélisé par deux tiges rigides identiques

(3 ,3 ) a m

, reliées entre elles par un pivot et un ressort de raideur

K

, on note

α

la rotation, supposée petite, de la partie supérieure.

Calculs: Calculez l'énergie potentielle associée au ressort

K

. Calculez la vitesse du centre de masse de la tige supérieure.

Exprimez l'énergie cinétique du système en fonction des vitesses

u  , α 

et vérifiez que pour

α

petit vous obtenez

2 Ec = ( M + 6 ) m u 

²

+ 9 mau  α  + 9 ma

²

α 

²

En déduire l'équation du mouvement en

α

: ²

9 9 ma α  + K α = − 2 mau 

y G

o

x G

_o

M

u

^Gt

α

3a

3a

Donner l'expression de la première pulsation de résonnance que vous noterez

ω

_o

Exprimer la réponse forcée du système (solution particulière de l’équation du mouvement) Tracer l’allure du diagramme de Bode avec l’échelle bi logarithmique

Exprimer la réponse complète du système pour des conditions initiales nulles.

2 : Identification de la raideur du ressort

Le pylône est modélisé par une poutre élastique, les notations sont indiquées sur la figure ci-contre.

Montrez que l'équation du mouvement est de la forme

] [

^0, _,y⁴

y

ρ

S v EI v

ρ

S u

∀ ∈ A + = − 

Exprimer les conditions aux limites du problème.

A partir de la solution analytique du problème homogène fournie en annexe, calculez la valeur de la raideur

K

du ressort pour que la fréquence de résonance du mode fondamental des deux modèles coïncide.

Calculer les deux premières fréquences de ce modèle poutre.

y G

o

x G

_o

t

M

uG

( , )y t v

6a

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3 : Modèle à deux degrés de liberté

Le pylône est maintenant modélisé par trois tiges rigides identiques

(2 , 2 ) a m

, reliées entre elles par deux pivots et deux ressorts de raideur

K

, on note

( , ) α β

les rotations absolues, supposées petites, de chacune des deux tiges mobiles.

Calculs :

Calculez la vitesse des centres de masse

G

₁et

G

₂ des tiges supérieures.

Exprimez l'énergie cinétique du système en fonction des vitesses

u  , , α β  ^

Simplifiez cette expression pour

α β ,

petits

Calculez l'énergie potentielle associée aux ressorts de raideur

K

, en déduire l'expression de la matrice raideur.

G1 ¹

xG

y G

1

y G

o

x G

_o

M

u G

t

α

G2

2a

xG2

y2

β

G

A partir de l'énergie cinétique

Identifier la matrice masse :

[ ] ⁴

²

^{8 3}

3 2 3

M ma ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

et le vecteur excitation

{ } ⁶

F mau ⎧ ⎫ 2

= − ⎨ ⎬

 ⎩ ⎭

. Écrivez les 2 équations de Lagrange de ce problème.

A partir de la solution du problème aux valeurs propres donnée en annexe Calculez les deux premières fréquences de résonance de ce modèle Tracez l'allure des modes correspondants

Comparez ces valeurs à celles obtenues par le modèle poutre, expliquez intuitivement cette différence.

4 : Amélioration du modèle à deux ddL.

Nous allons utiliser la réponse statique pour corriger la valeur de la raideur du modèle à 2 degrés de liberté.

Une force horizontale F est appliquée en haut du pylône.

Calculer le déplacement horizontal du haut du pylône pour le modèle à 1 DDL Pour le modèle à 2 DDL :

Exprimer le travail virtuel de la force, puis calculer la réponse statique.

En déduire le déplacement horizontal du haut, et la nouvelle valeur de la raideur Calculez les nouvelles fréquences de résonance du modèle à 2 DDL, vos conclusions.

Annexe 1 : solution analytique d'une poutre encastrée libre

Encastré – Libre

Avec

( )

² 4

i i

EI ω λ S

= A ρ

A

Équation caractéristique : cos

λ

Acosh

λ

A+ =1 0

cosλA

1/ chλ

− A

λA

λ A1 λ A2

π/ 2 3 / 2π 5 / 2π

λ A3 λ A4

Î

λ

₁

A = 1,87510

;

λ

₂

A = 4, 69409

;

λ

₃

A = 7,85473

Puis

3 (2 1)

i

2

i > λ A ≅ i − π

( )

cos ch

( ) cos ch sin sh

sin sh

i i

i i i i i

i i

V x λ x λ x λ λ λ x λ x

λ λ

= − − + −

+

A A

A A

Annexe 2 : Calcul des valeurs et vecteur propres

Les solutions du système

2 1 8 3 1 ⁻ 1 λ 3 2 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− =

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Sont ¹

2

0.0568 2.5146

λ

λ

⎧ =

⎨ =⎩ et les vecteurs propres associés ₁

0.2270 0.2997 Z ⎧

= ⎨ ⎩

^{et 2}

0.4839 1.0262 Z ⎧ −

= ⎨ ⎩