Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL

(1)

Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL

21 Exercice IV-7: Plaque sur ressorts

Objectif : Exercice complet : oscillations libres et solution particulière forcée.

Une plaque rectangulaire (2b, 2a) rigide de masse négligeable repose sur trois ressorts verticaux identiques de raideur k. A chaque sommet de la plaque est fixée une charge de masse m/4.

Un système de guidage parfait n’autorise que 3 mouvements : une translation verticale z , et deux rotations notées α et β .

On pose { } ^X

^T

^=< ^z ^a ^α ^b ^β ^> ^.

A l’équilibre dans le champ de pesanteur la plaque est horizontale.

g G

k k k

F G

x G

_o

α

y G

_o

z G

_o

2a

z β

2b

Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, et calculez les précontraintes dans les ressorts à l’équilibre.

Oscillations libres : On posera ω

_o²

= k m / et V

_o

= 6 h ω

_o

Calculez les pulsations et les modes propres du système.

Vous construirez une base normalisée telle que [ ] [ ][ ] ^Z

^T

^M ^Z ⁼ ^m [ ] ¹ ^{, avec} [ ] ¹ matrice unité.

À l’instant initial la plaque passe par sa position d’équilibre, tous ses points ayant la même vitesse verticale dirigée vers le haut V

_o

. Déterminez les oscillations libres de la plaque.

Réponse forcée :

Utilisez la base modale pour déterminer la solution particulière forcée de la plaque soumise à une force verticale d’intensité constante F, appliquée en un point P de la plaque qui décrit un cercle de centre G de rayon R avec une vitesse angulaire constante ω.

Corrigé de l’exercice IV-7: Plaque sur ressorts Mise en équations

Il y a 3 paramètres indépendants, on pose : { } ^X

^T

^=< ^z ^a ^α ^b ^β ^>

Avec : OG JJJG = z z G

₀

et deux rotations ( , ) α β

( x

o

y

o

z

o

)

b G G G ,

0

,

/ x

0

α ^G

définition des bases :

1

( ,

0 1

, )

1

b x y z G G G

2

( ,

2 1

,

2

) b x y z G G G / y

1

β ^G

Liée à (P)

g G

k k k

G F

x G

_o

α

G y

_o

z G

_o

2a

z β

2b

2

( ) . ( , )

2 Ec = mV G

_o

G + Ω ^G op J G P Ω ^G op

avec :

2 2

2 ( , ) b J G T

a

m b

a b

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ + ⎥

⎣ ⎦

et

cos

2 sin b op

α β

β α β

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

Ω

G

D’où 2Ec ≅ mz

²

+ ma

²

α

²

+ mb

²

β

²

Î [ ] ¹ ¹

1 M m

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )

²

( )

²

( )

²

2

^A ^Ae

2

^B ^Be

2

^C ^Ce

k k k

Ep = mgz + z + δ z + z + δ z + z + δ z

Calculons z

_A

à l’ordre 1 :

₀

1

cos 0

. . sin

sin cos

A

b

z z GA z z a z a b

b β

α α β

β α

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= + = + ⎨ − ⎬ ⎨ ⎬ ≅ − −

⎪ − ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

JJJG G

De même z

_B

≅ + z a α − b β et z

_C

≅ + z a α + b β

Les δ z

_Ae

, δ z

_Be

, δ z

_Ce

sont

les précontraintes (allongements)

à l’équilibre dans les ressorts.

(2)

Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL

22 D’où

(3 )

( 3 )

éq

k z a b

Ep Ep

k z a b

X X

k z a b

α β α β

α β

+ −

∂ ∂ ⎧ ⎪

⎧ ⎫ ⎧ = ⎫ + + +

⎨ ∂ ⎬ ⎨ ∂ ⎬ ⎨

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ − + + ⎩

avec { } ^X

^T

^=< ^z ^a ^α ^b ^β ^>

Et

( ) (1)

(2) (3)

Ae Be Ce

éq

Ae Be Ce

mg k z z z

Ep z z z

X z z z

δ δ δ

+ + +

∂ ⎧ ⎪

⎧ ⎫ = − + +

⎨ ∂ ⎬ ⎨

⎩ ⎭ ⎪− ⎩ − +

Les équations d’équilibre (2) et (3) Î δ z

_Ae

= δ z

_Ce

et δ z

_Be

= 0 dans (1) Î

Ae Ce

2 z z mg δ = δ = − k

On peut identifier la matrice raideur à partir de Ep X

⎧ ∂ ⎫

⎨ ∂ ⎬

⎩ ⎭ ^Î [ ] ¹ ³ ¹ ³ ¹ ¹

1 1 3 K k

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Fréquences et modes propres :

[ ] [ ]

( )

det K − λ M = 0 avec : [ ] [ ] ³ ³

3 k m k k

K M k k m k

k k k m

λ

λ λ

λ

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

− = ⎢ − ⎥

⎢ − − ⎥

⎣ ⎦

Î ( ³ ^k ⁻ ^λ ^m ) ( ( ³ ^k ⁻ ^λ ^m )

²

⁻ ^k

²

) ⁻ ² ^k

²

⁽ ⁴ ^k ⁻ ^λ ^m ⁾ ⁼ ⁰

Soit ( ⁴ ^k ⁻ ^λ ^m ) ( ⁴ ^k

²

⁻ ⁵ ^{k m} ^λ ⁺ ( ) ^λ ^m

²

) ⁼ ⁰

( ⁴ ^k ⁻ ^λ ^m ) (

²

^k ⁻ ^λ ^m ) ⁼ ⁰

D’où les pulsations propres :

₁²

k

₀²

ω = m = ω , et

₂² ₃²

4 k 4

₀²

ω = ω = m = ω

Modes propres :

Associé à λ

₁

:

12¹¹

{ }

13

2 1 1

1 2 1 0

1 1 2 z z z

⎡ − ⎤ ⎧ ⎫

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =

⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎪ ⎪

⎣ ⎦ ⎩ ⎭

Î

¹¹ ¹² ¹³

11 12 13

2 0

z z z

+ − =

⎧ ⎨ + + =

⎩ ^{Choix z}

¹¹

^{=1 Î} { } Z

1 ^T

=< 1 − 1 1 >

Associé à λ

₂

:

¹2

{ }

3

1 1 1

1 1 1 0

1 1 1

i

z z z

− −

⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎢ − ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =

⎢ ⎥

⎢ − − ⎥ ⎪ ⎪

⎣ ⎦ ⎩ ⎭

Î − + z

_i₁

z

_i₂

− z

_i₃

= 0 1 seule équation pour les deux modes

Pour i=2 Choix z

₂₁

=1 et z

₂₂

=0 Î { } Z

2 ^T

=< 1 0 − > 1

Pour i=3 Choix z

₃₁

=0 et z

₃₂

=1 Î { } Z

3 ^T

=< 0 1 − > 1 il existe une ∞ de solutions Le problème c’est que ainsi construits, ces modes ne sont pas K et M orthogonaux entre eux

Vérifions en calculant { }

2

[ ] { }

3

0 1 0 1 1 1

1

T

0 Z M Z

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

=< − > ⎨ ⎬ = −

⎪ ⎪ ⎭

≠

⎩

Les modes ne diagonaliseront pas les équations du mouvement Pour construire la base modale nous allons utiliser p-1 conditions d’orthogonalité pour les p vecteurs propres

Choix de { } Z

2

Î { } Z

2 ^T

=< 1 0 − > 1 une ∞ de solutions possible Construction de { } Z

3

M orthogonal à { } Z

2

Î { } Z

3 ^T

[ ] M { } Z

2

= 0

La position d’équilibre est physiquement logique

(5 9) / 2

i

m k

λ = ±

(3)

Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL

23 Soit

₃₁ ₃₂ ₃₃

1 0 0

1 z z z

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

< > ⎨ ⎬ =

⎪ ⎪ −

⎩ ⎭

Î z

₃₁

− z

₃₃

= 0 soit 1 relation supplémentaire

Compte tenu de − z

₃₁

+ z

₃₂

− z

₃₃

= 0 Choix z

31

=1 Î { } Z

3 ^T

=< 1 2 1 >

La matrice modale est définie par [ ] ¹ ¹ ¹ ⁰ ¹ ²

1 1 1

Z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= − ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Cette matrice n’est pas M normée

Les masses modales sont : m

₁

= 3 m , m

₂

= 2 m et m

₃

= 6 m

La matrice Modale M normée est donc : [ ]

1/ 3 1/ 2 1/ 6

1/ 3 0 2 / 6

1/ 3 1/ 2 1/ 6 Z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= − ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Et [ ]

¹

[ ] [ ] [ ]

1/ 3 1/ 3 1/ 3

1 1/ 2 0 1/ 2

1/ 6 2 / 6 1/ 6

T T

Z Z M Z

m

−

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

= = = ⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Oscillations libres :

On pose { } ^X ⁼ [ ] ^Z { } ^q ,les équations sont découplées q

_i

+ ω

_i²

q

_i

= 0 Î

_i _i₀

cos

_i

sin

ⁱ⁰ _i

i

q q ω t q ω t

= + ω

A l’instant initial { } { } X

o

= ⁰ et { } ⁶ ⁰

0

o

h X

⎧ ω ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

_Î { } { } q

o

= ⁰ et { } [ ]

¹

6 1/ 3

0 6 1/ 2

0 1/ 6

o

o o

h

q Z h

ω

−

ω

⎧ ⎫

⎧ ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭

D’où { }

⁰

sin / 3

sin 6 sin 2 / 2 2

sin 2 / 2 6

o

i o

i i o

i o

o

t

q h

q t t

t ω ω

ω ω

ω

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

= ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

Puis { } [ ] { }

1 1/ 2 1/ 6

2 sin 1 3 sin 2 2 / 6

1 1/ 2 1/ 6

o o

X Z q h ω t h ω t

⎧ ⎫ ⎧ + ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= = ⎨ ⎬ − + ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ − + ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Soit { }

2 sin 2 sin 2 2 sin sin 2 2 sin sin 2

o o

t t

X h t t

t t

ω ω

⎧ + ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ − + ⎬

⎪ − ⎪

⎩ ⎭

Les calculs sont longs, mais systématiques Î programmation Un choix différent pour Z

2

modifie les calculs mais pas le résultat final Réponse forcée :

Calculons le travail virtuel de la force F δ T = F P G G . δ = − F z δ

_P

(4)

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24 La position du point P est donnée par cos

sin

P

x R t

y R t

ω ω

⎧ =

⎨ =

⎩ ^et δ z

^P

≅ δ z + y

^P

δα − x

^P

δβ

D’où le vecteur force généralisé { }

1 sin /

cos /

F F R t a

R t b

ω ω

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= − ⎨ ⎬

⎪ − ⎪

⎩ ⎭

On décompose le chargement en charge statique + dynamique : { }

1 0 0 F

S

F

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

= − ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎩ ⎭

et { }

0 sin / cos /

F

D

FR t a

FR t b ω ω

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= − ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

Calcul direct : { } X

S

= [ ] K

⁻¹

{ } F

S

{ } X

D

= ⎡ ⎣ K − M ω

²

⎤ ⎦

⁻¹

{ } F

D

….. calcul numérique pour ω ω ≠

_i

Analyse modale

On pose { } ^X ⁼ [ ] ^Z { } ^q ,les équations sont découplées q

_i

+ ω

_i²

q

_i

= ϕ

_i

avec { } { }

i ^T i

Z F

ϕ = m

Réponse statique : Î

_S ^Si₂

i

q ϕ

= ω

{ }

1/ 3 1/ 2 1/ 6

S

F ϕ m

⎧ ⎫

⎪ ⎪

− ⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

Î { }

1/ 3 1/ 4 2 1/ 4 6

S

q F k

⎧ ⎫

⎪ ⎪

− ⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

Puis { } [ ] { }

1/ 3 1/ 8 1/ 24 2 1/ 3 0 2 / 24 1 1/ 3 1/ 8 1/ 24 4 1

S S

F F

X Z q

k k

+ +

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

− ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪

= = ⎨ − + + ⎬ = ⎨ ⎬ −

⎪ − + ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Réponse dynamique :

_D ₂ ^Di ₂

i

q ϕ

ω ω

= − ^avec { }

1/ 3 1/ 3

0 sin 1/ 2 cos

2 / 6 1/ 6

D

FR FR

t t

ma mb

ϕ ω ω

⎧ ⎫

⎧ − ⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

− ⎪ ⎪

= ⎨ ⎬ + ⎨ − ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭

Î { }

2 2

1 1 sin cos

3 1 1 cos

2 4

1 1 sin cos

4 2 6

o

D

o

t t

a b

FR t

q m b

t t

a b

ω ω

ω ω ω

ω ω

⎧ ⎛ + ⎞ ⎫

⎪ − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎛ ⎞ ⎪

= ⎨ ⎪ − − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎬ ⎪

⎪ ⎛ − + ⎞ ⎪

⎪ − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

Puis { } X

D

= [ ] Z { } q

D

tous calculs faits … { } ( )( ) ( )

( )

2

2 2

2

sin cos

1 sin cos

1 4 2

sin cos

2

D

t t

a b

FR t t

X r

k r r a b

t t

a r b

ω ω

⎧ + ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ − − − ⎬

− − ⎪ ⎪

⎪ + − ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

Il ne reste que la somme à faire … { } { } { } X = X

S

+ X

D

[ ]

1/ 3 1/ 2 1/ 6

1/ 3 0 2 / 6

1/ 3 1/ 2 1/ 6

Z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= − ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

[ ]

1/ 3 1/ 2 1/ 6

1/ 3 0 2 / 6

1/ 3 1/ 2 1/ 6

Z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= − ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL