11. ESERCIZI su INTEGRALI di SUPERFICIE
Calcolare i seguenti integrali di superficie 1.
ZZ
S
x d essendoS la superficie (u, v) = (2uv, u2 v2, u2+ v2), u2+ v2 1
2.
ZZ
S
z d essendoS la superficie avente per sostegno il cono z = 1 p
x2+ y2 con z 0.
3.
ZZ
@T
y d essendo T ={(x, y, z) 2 R3| x2+ y2 1, x2+ y2+ z2 4, z 0}.
Calcolare l’area delle seguenti superfici
4. La superficieS avente per sostegno la porzione di paraboloide z = x2+ y2 con z2 [0, 4];
5. La superficieS avente per sostegno la calotta sferica x2+ y2+ z2= 1 di altezza 12. 6. La superficieS avente per sostegno la regione della sfera x2+ y2+ z2= 1 con z2 [0,12].
7. La superficie ottenuta dalla rotazione dell’arco di circonferenza (x 2)2+ z2 = 1 con z 0, x 2 attorno all’asse z di un angolo di ⇡ radianti.
8. L’elicoide (t, s) = (as cos t, as sin t, bt) con (t, s)2 [0, 4⇡] ⇥ [0, 2].
Determinare il baricentro delle seguenti superfici
9. La superficie S ottenuta dalla rotazione della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno la spezzata congiungente i punti (0, 0, 0), (1, 0, 1) e (0, 0, 3) del piano y = 0 attorno all’asse z di un angolo pari a
⇡ di densit`a di massa costante.
10. La superficie rigata S avente come direttrice la circonferenza (t) = (cos t, sin t, 0) e generatrici le rette passanti per il vertice (0, 0, 1) nella regione z2 [0,12] di densit`a di massa (x, y, z) = x2+y1 2.
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