E ={(x, y, z) 2 R3| x2+ y2+z42  1, |z

12. ESERCIZI su INTEGRALI TRIPLI

Dopo aver disegnato i seguenti solidi, esprimerli nella forma

E ={(x, y, z) 2 R³| (x, y) 2 D, ↵(x, y)  z  (x, y)} e E = {(x, y, z) 2 R³| z 2 [↵, ], (x, y) 2 D^z} 1. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+^y₄²  z  4}

2. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 4, x²+ y² 1}

3. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+^z₄²  1, |z|  1}

4. E ={(x, y, z) 2 R³| (x 1)²+ y²+ z² 1, x²+ y² 1, z 0} 5. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 3, z p

x²+ y² 1} Calcolare i seguenti integrali tripli nel dominio indicato 6.

ZZZ

E

x²+ y²dxdydz essendo E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y² 1, 0  z p

4 x² y²};

7.

ZZZ

E

x + 2y dxdydz dove E `e il tetraedro determinato dai tre semipiani cartesiani positivi e dal piano x + y + z = 1;

8.

ZZZ

E

xy dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| 0  2x  y, 2z 1, x²+ y²+ (z ¹₂)² 1};

9.

ZZZ

E

x²z dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| 0  z  x²+ y² 4};

10.

ZZZ

E

p 1

x²+y²dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 4, z 1}.

Calcolare il volume dei seguenti solidi

11. E ={(x, y, z) 2 R³| 3(x²+ y²) z  1 + x²+ y²};

12. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y² z  2 p

x²+ y²}.;

13. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 1, x²+ y² ³2z}.;

14. E ottenuto dalla rotazione di D ={(x, z) 2 R²| |z|  x, x²+ z² x} attorno all’asse z di un angolo giro.

Determinare le coordinate del baricentro dei seguenti solidi di densit`a di massa indicata.

15. E ={(x, y, z) 2 R³| 0  z  1 p

x²+ y²} di densit`a di massa (x, y, z) = z;

16. E ottenuto dall’intersezione del cono z  1 p

x²+ y² con il paraboloide z x²+ y² 5, di densit`a di massa costante;

17. E delimitato dai paraboloidi z = x²+ y² e z = 4 x² y², di densit`a di massa costante;

18. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y² z  6 p

x²+ y²} di densit`a di massa costante;

19. E ={(x, y, z) 2 R³| 1  x²+ y² z  2} di densit`a di massa (x, y, z) = z;

20. E ={(x, y, z) 2 R³| 1 p

x²+ y² 4 z, z 0} di densit`a di massa (x, y, z) = z.

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