PERMEABILIT PERMEABILIT À À
E MOTI DI FILTRAZIONE
E MOTI DI FILTRAZIONE
Richiami di idraulica
Richiami di idraulica
Pressione idrostatica Pressione idrostatica
uw z W
z
∆x ∆y
uw ∆x ∆y = W = γw z ∆x ∆y ⇒ uw = γw z
La pressione idrostatica dell’acqua è pari al prodotto del peso specifico dell’acqua γ per l’affondamento z rispetto alla superficie a pressione nulla
Il carico piezometrico Il carico piezometrico
z1
z2 1
2
u
w1= γ
wz
1 ≠u
w2= γ
wz
2La pressione differisce da punto a punto tuttavia il fluido è in quiete z’1
z’2 z’=0
H
Carico piezometrico
w
uw
z h = '+
γ
( )
(
H z)
Hu z z
h
z H z H
z u h
w w w
w
w w w
w
− = +
= +
=
− = +
= +
=
γ γ γ
γ γ γ
' ' '
' ' '
2 2 2
2 2
1 1 1 1
1
h
1 =h
2Il carico idraulico è costante da punto a punto ⇒ il fluido è in quiete
z’ = altezza geodetica
uw/γw = altezza piezometrica
HB HA
Liquido in quiete Liquido in quiete
A
B z’=0
h uA=γwHA
uB=γw HB uA≠ uB
hA = hB Liquido in quiete
Liquido in movimento Liquido in movimento
HB HA
A
B
uA= uB z’=0
hA ≠ hB H
Liquido in movimento uA=γwHA
uB=γw HB
FILTRAZIONE NEI TERRENI
FILTRAZIONE NEI TERRENI
Pressione dell
Pressione dell ’ ’ acqua interstiziale acqua interstiziale
zw
uw=γw zw
Il comportamento meccanico del terreno dipende dalla pressione efficace σ’=σ-uw, e quindi dalla pressione totale e dalla pressione dell’acqua interstiziale uw
Falda in quiete Falda in quiete
zwA
zwB
La pressione dell’acqua interstiziale in ogni punto è pari al prodotto del peso specifico dell’acqua γw per l’affondamento zw rispetto alla
superficie a pressione nulla uA=γw zwA
uB=γw zwB
Falda in movimento Falda in movimento
zwA
zwB
La pressione dell’acqua interstiziale non è più idrostatica uA=γw zwA
uB=γw zwB
Come calcolare la pressione dell’acqua interstiziale?
La velocit
La velocit à à di filtrazione di filtrazione
Il moto di filtrazione avviene nella direzione del carico piezometrico decrescente
terreno
La velocità di filtrazione si definisce
come rapporto tra la portata filtrante Q e la sezione filtrante totale A:
Q A
A v
=
QEffetto del percorso di filtrazione Effetto del percorso di filtrazione
Q L
L/2 2Q
A pari dislivello piezometrico, la portata filtrante è inversamente proporzionale al percorso di filtrazione
Effetto della differenza di carico Effetto della differenza di carico
piezometrico piezometrico
Q
∆h
La portata filtrante è proporzionale al dislivello piezometrico 2Q
2∆h
Effetto del tipo di terreno Effetto del tipo di terreno
Qsabbia
∆h
Qargilla
∆h
Qsabbia >> Q argilla
La relazione di Darcy La relazione di Darcy
Qsabbia
∆h
L
A
L K h A
v = Q = ∆
v = velocità di filtrazione Q = portata filtrante
A = area filtrante totale K = conducibilità idraulica
h = dislivello carico piezometrico L = percorso di filtrazione
Generalizzazione della relazione di Darcy Generalizzazione della relazione di Darcy
al caso tridimensionale al caso tridimensionale
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
=
z h
y h
x h K
K K
K K
K
K K
K v
v v
zz zy
zx
yz yy
yx
xz xy
xx
z y x
Se x, y, z direzioni principali:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
=
z h
y h
x h K
K K
v v v
zz yy
xx
z y x
0 0
0 0
0
0
Relazione di Darcy Relazione di Darcy
nel caso di mezzo isotropo nel caso di mezzo isotropo
h K
v r = − grad
vr
x
dr v r ⋅ d x r = − K grad h ⋅ d x r = − Kdh = 0
Il vettore velocità è ortogonale alla superficie equipotenziale e diretto secondo la direzione del carico piezometrico decrescente
h=cost.
La conducibilit
La conducibilit à à idraulica idraulica
sabbia K = 10-2 – 10-6 m/s limo K = 10-6 – 10-8 m/s argilla K = 10-8 – 10-11 m/s
Come ordine di grandezza del coefficiente di permeabilità si possono indicare i seguenti valori:
La conducibilità idraulica varia di molti ordini di grandezza al variare della granulometria del terreno
Velocit
Velocit à à effettiva di filtrazione effettiva di filtrazione
Ipotizzando che la porosità superficiale sia uguale alla porosità volmetrica n:
La relazione tra velocità di filtrazione effettiva vw e gradiente idraulico è di tipo lineare
+
−
= u z
K v
n
w w w
grad γ
r
Intepretazione della relazione di Darcy Intepretazione della relazione di Darcy
Equazione di Navier-Stokes per fluido incompressibile:
La relazione tra velocità e gradiente idraulico è di tipo lineare nel caso di moto laminare
La relazione tra velocità e gradiente idraulico dipende dalle proprietà del fluido e dalla geometria
( )
gzv dt u
v d
w w
w
∇
− +
∇
−
= r
r
ρ µ ρ
1
Integrazionedell’equazione di Navier-Stokes nel caso di moto
laminare, moto uniforme e condotto cilindrico (formula di Poiseuille)
dl D dh
v w g 2
32 1
µ
=
ρ
Permabilit
Permabilit à à intrinseca intrinseca
dl D dh
v w g
=
232 1 µ
ρ
K
[ ]
L2g
K g
k K
η
ρ µ
==
Per l’acqua a 20°C η=10-6 m2/s e
[ ] [ ]
[ ]
62 2[ ] 10
5[ ] m
28 . 9
10
− −⋅
⋅ ≅
=
K m ss m
s m s
m k K
Validit
Validit à à della relazione di Darcy della relazione di Darcy
Regime turbolento n
k d v
v
η η =
= Re
10 Re
1 .
0 < <
Interazioni fisico-chimiche
[ ]
n
m s
m K Ki n
k
v 10 5 2
Re
⋅ −
=
=η η
Per i=1, K=10-2m/s (ghiaia), n=0.5
[ ]
4.45 . 0
10 10
10 1 10
Re 10
2 5 2
6 2 2
5 = ⋅ ⋅ =
= − −− − − m
n
m s
m K Ki
η
Relazione di Darcy nel caso di velocit Relazione di Darcy nel caso di velocit à à
del solido non nulla del solido non nulla
Nel caso in cui anche le particelle solide siano interessate al moto, la relazione di Darcy deve essere scritta in termini di velocità relativa del liquido rispetto alla fase solida:
( )
+
−
=
=
− u z
K v
n v
v n
w s w
w s
w
grad γ r
,r
r
Meccanica dei mezzi continui multifase Meccanica dei mezzi continui multifase
Sistema di continui sovrapposti, ciascuno caratterizzato da un campo di velocità
( ) ( ) ( ) x t
v v
t x v
v
t x v v
a a
w w
s s
, , , r v
r
r v r
r v r
=
=
=
Fase solidaFase liquida Fase gassosa
Ciascuna fase occupa una frazione del volume totale
) 1
( 1
S n
nS n
−
−
Fase solidaFase liquida Fase gassosa
Bilancio di massa della fase liquida Bilancio di massa della fase liquida
(formulazione euleriana) (formulazione euleriana)
Variazione di massa nell’unità di tempo
vr
wN v r ⋅
wr
V
dV
( )
∂ ∫
∂
V w
nS dV t ρ
Massa uscente nell’unità di tempo
( nSdA ) nS v N dA
N v
V
w w
V w w
= ∫ ⋅
∫ ⋅
∂
∂
r r
r r ρ ρ
( ) + ∫ ⋅ ∇ ( ) = 0
∫ ∂
∂
V
w
V w
nS dV
wnS v dV
t
ρ r
ρ
Bilancio di massa locale della fase liquida Bilancio di massa locale della fase liquida
( ) + ∇ ⋅ ( ) = 0
∂
∂
ww
w
nS nS v
t
ρ r ρ
Ipotizzando il terreno saturo (S=1) ed il liquido incomprimibile (dρw=0) si ottiene:
( ) = 0
⋅
∇
∂ +
∂
wv n t n
r
Introducendo la velocità relativa tra liquido e solido
( )
[ + , ] = 0
⋅
∇
∂ +
∂
s w sv v
n t n
r
r
Bilancio di massa locale della fase solida Bilancio di massa locale della fase solida
Ipotizzando solido incomprimibile (dρw=0) si ottiene:
( 1 − ) + ∇ ⋅ [ ( 1 − ) ] = 0
∂
∂
sv n t n
r
( )
[ 1 − ] + ∇ ⋅ [ ( 1 − ) ] = 0
∂
∂
ss
s
n n v
t
ρ r
ρ
Equazione di continuit
Equazione di continuit à à della miscela della miscela
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
0 0 1
1
0 1
1
=
∇
⋅
−
⋅
∇
−
⋅
∇
∂ +
− ∂
=
−
∇
⋅ +
⋅
∇
−
∂ +
− ∂
=
−
⋅
∇ +
∂ −
∂
n v
v n t v
n
n v
v t n
n
v n t n
s s
s
s s
s
r r
r
r r
r
( )
[ ]
( ) ( )
( )
00 0
, ,
,
=
∇
⋅ +
⋅
∇ +
⋅
∇
∂ +
∂
=
⋅
∇ +
⋅
∇
∂ +
∂
= +
⋅
∇
∂ +
∂
n v
v n v
t n n
v n v
t n n
v v
t n n
s s
s w
s s
w
s w s
r r
r
r r
r r
Bilancio di massa della fase liquida
Bilancio di massa della fase liquida
∇ ⋅ ( n v r
w,s) + ∇ ⋅ v r
s= 0
Equazione generale dei moti di filtrazione Equazione generale dei moti di filtrazione
(
,) + ∇ ⋅ = 0
⋅
∇ n v r
w sv r
s( )
+
−
⋅
∇
=
⋅
∇
u zk v
n
w s w
w
grad γ r
,( ) (
v) (
v)
s
i is s s
i s
i i
is s
t Dt
D x
v Dt
v D Dt D x x
v v
ε − ε
∂
≅ ∂
−
=
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
⋅
∇ r
0
grad =
∂
− ∂
+
−
⋅
∇
u z tk v
w
w
ε
γ
i.p.d.
problema accoppiato
Equazione generale dei moti di filtrazione Equazione generale dei moti di filtrazione
in condizioni monodimensionali in condizioni monodimensionali
0
grad =
∂
− ∂
+
−
⋅
∇
u z tk v
w
u
ε
γ
z = 0
∂
− ∂
+
∂
− ∂
∂
∂
z t k u
z
v w
u
ε
γ
z t
k uw v
w
∂
= ∂
∂
− ∂ ε
γ
22
Moti di filtrazione in condizioni Moti di filtrazione in condizioni monodimensionali e stazionarie monodimensionali e stazionarie
2
0
2
=
∂
∂
zuw
La pressione idrostatica u0 in condizioni cdi flusso monodimensionale in regime stazionario varia lineramente con la profondità
