Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi 2
†Esercizio 1.Siano {Xn}n∈Nvariabili aleatorie reali indipendenti con leggi marginali Xn∼ Exp(λn)(ossia P(Xn > x) = e−λnx per x ≥ 0), dove {λn}n∈N è una successione reale positiva fissata.
(a) Si mostri che Xn→ 0 in L1se e solo se λn→ +∞ se e solo se Xn→ 0 in probabilità.
(b) Si mostri che se λn= O(log n), ossia supn∈N(λn/ log n) <∞, allora q.c. Xnnon tende a 0.
Esercizio 2.Siano σ, τ due tempi d’arresto definiti su uno spazio filtrato (Ω, F, {Fn}n∈N0, P) e indichiamo con Fσ,Fτ le σ-algebre degli eventi precedenti a σ, τ. Ricordiamo che
Fσ:={A ∈ F : A ∩ {τ ≤ n} ∈ Fn∀n ∈ N0} e analogamente per τ. Si dimostrino le seguenti affermazioni.
(a) σ ∧ τ, σ ∨ τ e σ + τ sono tempi d’arresto.
(b) Se τ è costante, ossia τ(ω) = m per un opportuno m ∈ N0e per ogni ω ∈ Ω, allora Fτ =Fm.
(c) Se σ ≤ τ allora Fσ⊆ Fτ. (d) τ è Fτ-misurabile.
(e) Fσ∧τ =Fσ∩ Fτ.
Ricordiamo che, data una successione di eventi {An}n∈N0, si definiscono lim sup
n An:= �
m∈N0
�
k≥m
Ak=� �
n∈N0
1An = +∞
�
=�
ω∈ Ω : ω ∈ Anper infiniti valori di n� ,
lim inf
n An:=� lim sup
n Acn�c
= �
m∈N0
�
k≥m
Ak=� �
n∈N0
1Acn< +∞
�
=�
ω∈ Ω : ∃n0= n0(ω) <∞ t.c. ω ∈ An∀n ≥ n0� .
Esercizio 3.Un processo stocastico X = {Xn}n∈N0 a valore in N0descrive l’evoluzione temporale del capitale di un giocatore espresso in euro. Il capitale iniziale vale X0= c∈ N.
Ad ogni istante n ∈ N0si lancia una moneta regolare.
• Se Xn> 0, si gioca una quantità (intera) di euro Yn scelta uniformemente tra 1 e Xn: se esce testa, il capitale diventa Xn+1= Xn+ Yn, mentre se esce croce diventa Xn+1= Xn− Yn.
• Se Xn= 0, il capitale resta nullo, ossia Xn+1= 0.
Questa descrizione può essere formalizzata nel modo seguente: indicando con {Fn}n∈N0 la filtrazione naturale del processo X, per ogni n ∈ N0e per ogni funzione f : R → R boreliana e limitata si ha
E(f (Xn+1)|Fn) = 1{Xn=0}f (0) + 1{Xn>0}
1 Xn
Xn
�
k=1
f (Xn+ k) + f (Xn− k)
2 .
†Ultima modifica: 9 giugno 2011.
2
(a) (*) Si scriva la legge condizionale di Xn+1dato Xn, ossia il nucleo di probabilità {N(t, dx)}t∈N0 tale che E(f(Xn+1)|Xn) = (�
Rf (x)N (t,dx))|t=Xn.
(b) Si mostri che X = {Xn}n∈N0 è una martingala e che q.c. Xn→ X∞, dove X∞<∞ q.c..
(c) Poniamo Gn:={Xn+1= Xn}. Si mostri in dettaglio che vale l’uguaglianza di eventi {la successione Xnè definitivamente costante} = lim infn Gn.
(d) Ricordando che Xn∈ N0, si deduca dai punti precedenti che P(lim infnGn) = 1.
(e) Si mostri che vale l’inclusione di eventi {Xn> 0} ⊆ {Xn+1�= Xn}.
(f) Si deduca che Gn ⊆ {Xn = 0}, quindi che P(lim infn{Xn = 0}) = 1 e infine che X∞= 0q.c.. (Il capitale è una martingala, ma questo gioco non è proprio equo. . . ) Sulla base dei risultati dimostrati, si risponda infine alle seguenti domande.
(g) La successione {Xn}n∈N0 è uniformemente integrabile? Converge in L1? (h) La successione {√
Xn}n∈N0è uniformemente integrabile? Converge in L1? (i) La successione {Xn2}n∈N0 è limitata in L1?
Esercizio 4. Siano {Yn}n∈N variabili aleatorie reali indipendenti con le seguenti leggi marginali:
P(Yn= en− 1) = e−n, P(Yn=−1) = 1 − e−n, ∀n ∈ N .
Definiamo F0:={∅, Ω} e Fn:= σ(Y1, . . . , Yn)per n ∈ N. Introduciamo il processo {Xn}n∈N0
definito da X0:= 0e Xn:= Y1+ . . . + Ynper n ∈ N.
(a) Si mostri che X è una martingala.
(b) Si mostri che P(lim supn{Yn�= −1}) = 0.
(c) Si spieghino in dettaglio le inclusioni di eventi lim inf
n {Yn=−1} ⊆
�
n→∞lim Xn
n =−1
�
⊆
�
n→∞lim Xn=−∞
� . Si deduca che q.c. Xn/n→ −1 e Xn→ −∞.
(d) Si calcolino le distanze in L2e in L1(osservando che Yn≥ −1 q.c.) tra Xn/ne −1.
(e) La successione Xn/nè uniformemente integrabile? E la successione Xn?
