Disequazioni biquadratiche e disequazioni trinomie

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█ Esercizi di matematica per la classe III

Disequazioni biquadratiche e disequazioni trinomie

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2008

(2)

Indice

1. Disequazioni... 3

1.1 Disequazioni biquadratiche ... 3

1.1.1 Introduzione ... 3

1.1.2 Esercizio n. 1 (risolto, ) ... 3

1.2 Disequazioni trinomie ... 5

1.2.1 Introduzione ... 5

(3)

disequazioni trinomie sono quelle riconducibili alla forma:

ax2n + bxn + c > 0 (ax2n + bxn + c < 0)

dove n è un intero positivo, a, b e c sono numeri reali e a ≠ 0 . Posto t = xn , possiamo riscrivere la disequazione in termini di t:

at2 + bt + c > 0 (at2 + bt + c < 0)

Risolvendo questa disequazione quadratica e sostituendo poi t = xn possiamo facilmente trovare le soluzioni cercate.

Nel caso particolare n = 2 la disequazione è detta biquadratica. Se n = 1 si ottiene una normale disequazione di secondo grado.

1.2.2 Esercizio n. 7 (risolto, ��)

Risolvere la disequazione x6 − 7x3 − 8 > 0 . Risoluzione

Si pone t = x3 e si scrive t2 − 7t − 8 > 0 . Risolvendo l’equazione associata si ottiene: 8 1

27 49 32 → = � = −

± +t= t t .

La disequazione t2 − 7t − 8 > 0 è dunque soddisfatta per t < −1� t > 8 . Tenendo conto che t = x3 , si ottiene: x3 < −1� x3 > 8 → x < −1� x > 2 . Le soluzioni sono: x �]− ∞;−1[�]2;+∞[

Risolvere la disequazione x10 − 7x5 + 6 < 0 . Risoluzione

Si pone t = x5 e si scrive t2 − 7t + 6 < 0 . Risolvendo l’equazione associata si ottiene:

6 12

7 49 24 → = � =

± −t= t t.

La disequazione t2 − 7t + 6 < 0 è dunq

1. Disequazioni

1.1 Disequazioni biquadratiche

1.1.1 Introduzione

Sono disequazioni di quarto grado in cui mancano le potenze dispari dell'incognita. Una disequazione biquadratica ridotta alla forma normale si scrive nel modo che segue:

2 0

4+bx +c>

ax (ax⁴+bx² +c<0) dove a, b e c sono numeri reali e a≠0.

Posto t=x², possiamo riscrivere la disequazione in termini di t:

2 +bt+c>0

at (at²+bt+c<0)

Risolvendo questa disequazione quadratica e sostituendo poi t=x² possiamo facilmente trovare le soluzioni cercate.

Le disequazioni biquadratiche sono un caso particolare delle disequazioni trinomie.

1.1.2 Esercizio n. 1 (risolto, )

Risolvere la disequazione x⁴− x3 ²+2>0. Risoluzione

Si pone t=x² e si scrive t²− t3 +2>0. Risolvendo l’equazione associata si

ottiene: 2 1

2 8 9

3± − → = ∨ =

= t t

t .

La disequazione t²− t3 +2>0 è dunque soddisfatta per t<1∨t >2.

Tenendo conto che t=x², si ottiene: x² <1∨x² >2→1<x<1∨x<− 2∨x> 2. Le soluzioni sono: ^x^∈

]

⁻^∞^;⁻ ²

[

^∪

^{] [ ]}

⁻¹^;¹ ^∪ ²^;^+∞

^[

Risolvere la disequazione x⁴ − x3 ²−4>0. Risoluzione

Si pone t=x² e si scrive t²− t3 −4>0. Risolvendo l’equazione associata si

ottiene: 4 1

2 16 9

3± + → = ∨ =−

= t t

t .

La disequazione t²− t3 −4>0 è dunque soddisfatta per t<−1∨t>4. Tenendo conto che t=x², si ottiene: x²<−1∨x² >4.

La disequazione x² <−1 non presenta soluzioni mentre la disequazione x² >4 è soddisfatta per x<−2∨x>2.

Le soluzioni sono: ^x^∈

]

⁻^∞^;²

[ ]

^∪ ²^;^+∞

[

^.

Risolvere la disequazione x⁴ + x5 ² +4>0.

ax2n + bxn + c > 0 (ax2n + bxn + c < 0)

at2 + bt + c > 0 (at2 + bt + c < 0)

27 49 32 → = � = −

± +t= t t .

6 12

7 49 24 → = � =

± −t= t t.

(4)

ax2n + bxn + c > 0 (ax2n + bxn + c < 0)

at2 + bt + c > 0 (at2 + bt + c < 0)

27 49 32 → = � = −

± +t= t t .

6 12

7 49 24 → = � =

± −t= t t.

La disequazione t2 − 7t + 6 < 0 è dunq Risoluzione

Si pone t=x² e si scrive t²+ t5 +4>0. Risolvendo l’equazione associata si

ottiene: 4 1

2 16 25

5± − → =− ∨ =−

=− t t

t .

La disequazione t²+ t5 +4>0 è dunque soddisfatta per t<−4∨t>−1. Tenendo conto che t=x², si ottiene: x²<−4∨x² >−1.

La disequazione x² <−4 non presenta soluzioni mentre la disequazione x² >−1 è soddisfatta R

x∈

∀ .

Le soluzioni sono: x∈R.

Risolvere la disequazione x⁴− x6 ²+5<0. Risoluzione

Si pone t=x² e si scrive t² − t6 +5<0. Risolvendo l’equazione associata si ottiene:t=3± 9−5→t =5∨t=1.

La disequazione t²− t6 +5<0 è dunque soddisfatta per 1< t<5. Tenendo conto che t=x², si ottiene:

⎩⎨

⎧

<

−

>

∨

−

→ <

⎩⎨

⎧

<

⇔ >

<

< 5 5

1 1

5 5 1

1 ₂

2 2

x x x

x

x x .

]

⁻ ⁵^;⁻¹

[ ] [

^∪¹^; ⁵ ^.

Risolvere la disequazione x⁴− x4 ²−5<0. Risoluzione

Si pone t=x² e si scrive t²− t4 −5<0. Risolvendo l’equazione associata si ottiene:t =2± 4+5→t =5∨t=−1.

La disequazione t²− t4 −5<0 è dunque soddisfatta per −1<t<5. Tenendo conto che t=x², si ottiene:

⎩⎨

⎧

<

−

∈

→ ∀

⎩⎨

⎧

<

−

⇔ >

<

− 5 5 5

5 1

1 ₂

2 2

x R x x

x x .

]

⁻ ⁵^; ⁵

[

^.

Risolvere la disequazione x⁴+ x6 ²+5<0. Risoluzione

Si pone t=x² e si scrive t²+ t6 +5<0. Risolvendo l’equazione associata si ottiene:t=−3± 9−5→t=−1∨t =−5.

La disequazione t²− t4 −5<0 è dunque soddisfatta per −5<t<−1. Tenendo conto che t=x², si ottiene:

⎩⎨

⎧∀ ∈

⎩ →

⎨⎧

−

<

−

⇔ >

−

<

− φ

R x x

x x

1 1 5

5 ₂

2

2 .

ax2n + bxn + c > 0 (ax2n + bxn + c < 0)

at2 + bt + c > 0 (at2 + bt + c < 0)

27 49 32 → = � = −

± +t= t t .

6 12

7 49 24 → = � =

± −t= t t.

(5)

ax2n + bxn + c > 0 (ax2n + bxn + c < 0)

at2 + bt + c > 0 (at2 + bt + c < 0)

27 49 32 → = � = −

± +t= t t .

6 12

7 49 24 → = � =

± −t= t t.

La disequazione non presenta soluzioni. L’assenza di soluzioni avrebbe potuto essere dedotta anche notando che gli addendi della somma x⁴+ x6 ² +5 sono tutti maggiori o uguali a zero.

1.2 Disequazioni trinomie

1.2.1 Introduzione

Le disequazioni trinomie sono quelle riconducibili alla forma:

2 +bx +c>0

ax ⁿ ⁿ (ax²ⁿ +bxⁿ+c<0) dove n è un intero positivo, a, b e c sono numeri reali e a≠0.

Posto t=xⁿ, possiamo riscrivere la disequazione in termini di t:

2 +bt+c>0

at (at²+bt+c<0)

Risolvendo questa disequazione quadratica e sostituendo poi t=xⁿ possiamo facilmente trovare le soluzioni cercate.

Nel caso particolare n=2 la disequazione è detta biquadratica. Se n=1 si ottiene una normale disequazione di secondo grado.

Risolvere la disequazione x⁶− x7 ³−8>0. Risoluzione

Si pone t= e si scrive x³ t² − t7 −8>0. Risolvendo l’equazione associata si

ottiene: 8 1

2 32 49

7± + → = ∨ =−

= t t

t .

La disequazione t²− t7 −8>0 è dunque soddisfatta per t<−1∨t >8. Tenendo conto che t= , si ottiene: x³ x³<−1∨x³ >8→x<−1∨x>2. Le soluzioni sono: x∈

]

−∞;−1

[ ]

∪ 2;+∞

[

Risolvere la disequazione x¹⁰ − x7 ⁵+6<0. Risoluzione

Si pone t=x⁵ e si scrive t²− t7 +6<0. Risolvendo l’equazione associata si ottiene:

1 2 6

24 49

7± − → = ∨ =

= t t

t .

La disequazione t²− t7 +6<0 è dunque soddisfatta per 1< t<6. Tenendo conto che t= x⁵, si ottiene:

⎩⎨

⎧

<

→ >

⎩⎨

⎧

<

⇔ >

<

< ⁵ ₅⁵ ₅

6 1 6

6 1

1 x

x x

x x .

] [

¹^;⁵ ⁶ ^.

Risolvere la disequazione x⁸− x15 ⁴−16<0.

ax2n + bxn + c > 0 (ax2n + bxn + c < 0)

at2 + bt + c > 0 (at2 + bt + c < 0)

27 49 32 → = � = −

± +t= t t .

6 12

7 49 24 → = � =

± −t= t t.

(6)

ax2n + bxn + c > 0 (ax2n + bxn + c < 0)

at2 + bt + c > 0 (at2 + bt + c < 0)

27 49 32 → = � = −

± +t= t t .

6 12

7 49 24 → = � =

± −t= t t.

La disequazione t2 − 7t + 6 < 0 è dunq Risoluzione

Si pone t=x⁴ e si scrive t²− t15 −16<0. Risolvendo l’equazione associata si ottiene:

16 2 1

64 225

15± + → =− ∨ =

= t t

t .

La disequazione t²− t15 −16<0 è dunque soddisfatta per −1<t<16. Tenendo conto che t=x⁴, si ottiene:

⎩⎨

⎧

<

−

∈

→ ∀

⎩⎨

⎧

<

−

⇔ >

<

− 16 2 2

16 1

1 ₄

4 4

x R x x

x x .

Le soluzioni sono: x∈

]

−2;2

[

.

Risolvere la disequazione x⁸− x15 ⁴+14>0. Risoluzione

Si pone t=x⁴ e si scrive t²− t15 +14<0. Risolvendo l’equazione associata si ottiene:

14 2 1

56 225

15± − → = ∨ =

= t t

t .

La disequazione t²− t15 +14<0 è dunque soddisfatta per 1< t <14. Tenendo conto che t=x⁴, si ottiene:

⎩⎨

⎧

<

−

>

∨

−

→ <

⎩⎨

⎧

<

⇔ >

<

< ⁴ ₄⁴ ₄ ₄

14 14

1 1

14 14 1

1 x

x x

x

x x .

]

⁻⁴¹⁴^;⁻¹

[ ] [

^∪¹^;⁴¹⁴ ^.

ax2n + bxn + c > 0 (ax2n + bxn + c < 0)

at2 + bt + c > 0 (at2 + bt + c < 0)

27 49 32 → = � = −

± +t= t t .

6 12

7 49 24 → = � =

± −t= t t.