fondamenti di automatica
J
Relazione di
Fondamenti di automatica
Docente del corso:
Stefano Chiaverini
Riccardo Galletti
Matr. 1265
Relazione di fondamenti di automatica – Riccardo Galletti -
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
In esame si ha lo studio dell’impianto P caratterizzato dal modello implicito ingresso-uscita lineare e stazionario:
) ( ) 15 30 (
) 25 ( ) 10 (
) (
2 2 3
3
t dt u
t du dt
t dy dt
t y d dt
t y
d + + = +
Trasformiamo secondo Laplace, tenendo conto del fatto che le condizioni iniziali sono nulle:
) ( ) 15 30 ( ) ( ) 25 10
( s 3 + s 2 + s Y s = s + U s ⇒
⇒ 3 2 2
) 5 (
15 30 25 10
15 30 )
( ) ) (
( +
= + + +
= +
= s s
s s s
s s s
U s s Y
P
La F.d.t. trovata presenta un polo nell’origine e due poli identici a parte reale negativa, poiché
1 = 0
s , s 2 = − 5 s = 3 .
CONTROLLO IN RETROAZIONE
Il progetto del controllore riguarda la creazione della struttura dei blocchi di f.d.t. C e H affinché l’uscita Y segua l’andamento voluto Y
d. I riferimenti dati impongono:
) ( 4 )
( t 3 t
r = δ − ⇒ y d ( t ) = 12 δ − 3 ( t ) e r ( t ) = 4 δ − 3 ( t ) ⇒ e A , ∞ ( t ) = 15 Quindi:
calcoliamo K
de H(s) tale che:
) ( 4 )
( t 3 t
r = δ − ⇒ y d ( t ) = 12 δ − 3 ( t ) nel dominio di Laplace equivalgono a :
3
) 4 ( s s
R = 3
) 12 ( s s Y D =
poiché Y D ( s ) = K d ⋅ R ( t ) si ha
K d = R Y (s d ) = 3
12
s 4 3
3 =
⋅ s
da cui ricavo H(s) come:
= = K d
s
H 1
)
( 3
1
La seconda specifica può essere soddisfatta con diverse scelte del controllore. Esse sono:
A) Introduzione di poli nell’origine;
B) Attribuzione di un opportuno guadagno di Bode Kc;
Calcoliamo quindi C(s) tale che r ( t ) = 4 δ − 3 ( t ) ⇒ e A , ∞ ( t ) = 15 :
Per avere un errore a regime finito occorre avere l’uguaglianza: k = h
dove k indica l’ordine (diminuito di 1 unità) del riferimento, mentre h è il numero dei poli nell’origine nella G(s), ossia la F.d.T di catena diretta.
Nel nostro caso abbiamo:
k=2, cioè abbiamo come riferimento una rampa parabolica, e dobbiamo avere h=2.
Dato che l’impianto già possiede un polo nell’origine, dobbiamo inserirne uno nel controllore C(s), che quindi assumerà una struttura del tipo:
s s K C ( ) = c
15 )
, ∞ ( t =
e A ma dato che
a a
d
A K K
R t K
e 3 4
) (
2 0 2 ,
= ⋅
= ⋅
∞ si ha 2 . 4
15 36 =
a =
K ; inoltre essendo
25 15 25
15 )
5 (
15 lim 30
) (
lim 2 2
0 2
0 c c c
a s
a s K K
s s
s s s K K
s G s
K = =
+
= +
⇒
⋅
= →
⋅
→
cioè 2 . 4 5 3 =
K c ⇒ K c = 4
Per vedere se il sistema a ciclo chiuso è astatico nei confronti di d ( t ) = δ − 1 ( t ) , (gradino
unitario), devo verificare la seguente disuguaglianza: h 1 > k , dove h
1sta ad indicare il numero dei poli dell’origine di C(s) e k è l’ordine, diminuito di un’unità, dell’ingresso non manipolabile.
Dunque:
4 1 )
( 1
1
= → =
= h
s s s K
C h c ( ) = + 0 1 = 1 → k = 0 s
s s D
D k
Quindi è verificata la relazione h 1 > k che rende il sistema astatico nei confronti di d(t).
PROPRIETA’ DI STABILITA’
Per l’analisi della stabilità del sistema è necessario conoscere i poli della f.d.t. a ciclo chiuso, pari a:
) ( ) ( ) ( 1
) ( ) ( )
( 1
) ) (
( C s P s H s
s P s C s
F s s G
W + ⋅ ⋅
= ⋅
= +
Occorre dunque analizzare le radici dell’equazione:
) 2
5 (
15 30 3
1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) (
1 +
⋅ +
⋅ +
=
⋅
⋅ +
=
+ s s
s s s K
H s P s C s
F c
Relazione di fondamenti di automatica – Riccardo Galletti -
Tali radici si ricavano risolvendo l’equazione:
0 ) 15 30
) 25 10 (
3 0 ) 15 30 ( )
5 ( 3 0 )]
( 1
[ + F s = ↔ s 2 s + 2 + K c ⋅ s + = ⇒ s 2 s 2 + s + + K c s + K c = num
cioè 3 s 4 + 30 s 3 + 75 s 2 + 30 K c s + 15 K c = 0
Se e solo se tutti i poli della f. d. t. ad anello chiuso hanno parte reale strettamente negativa il sistema è asintoticamente stabile in quanto la risposta in transitorio tende a 0 nel tempo.
Il criterio che mi permette di dterminare, in modo semplice quanto veloce, il segno dei poli senza risolvere l’equazione è il criterio di Routh .
In particolare, condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema lineare e stazionario sia asinntoticamente stabile è che gli elementi della prima colonna della tabella di Routh associata al polinomio caratteristico siano tutti dello stesso segno.
Costruiamo, a questo punto, la tabella di Routh:
4 3 2 1 0
3 30
c d e
75 30 K
cc’
0 0
15 K
c0 0 0 0
Ricaviamo c, c’, d, e :
30 det 1 ⋅
−
=
c
K c
30 30
75
3 K c K c
3 30 75
90
2250 − = −
=
30 det ' = − 1 ⋅
c
0 30
15
3 K c
= 15 K c
1 ⋅ det
−
= c
d 30 c 30 c K ' c = − 75 − 1 3 ⋅ det K c
c c
c
K K
K 15 3
75
30 30
−
c c c
c
c c
c
K K K
K
K K
K
− −
− =
−
−
= ⋅
25 30 150 3
75
450 )
3
75
(
30
1 det
⋅
−
= d
e d c c 0 ' = c 15 ' = K c
Per la condizione imposta sulla stabilità otteniamo il sistema:
75 − 3 K c > 0
25 0
30 150 >
− −
c c
c K
K K
15 K c > 0
Dato che 25-Kc>0, basta imporre che 750 K
c− 30 K
c2− 150 K
c> 0 cioè che K c ( 600 − 30 K c ) > 0 , cioè ( 600 − 30 K c ) > 0 .
In sintesi, condizione per avere asintotica stabilità sul sistema a ciclo chiuso è che 20
0 < K c <
Essendo K
cpari a 4 e dunque appartenente all’intervallo [0,20], possiamo affermare che il nostro sistema è asintoticamente stabile.
Per avere un riscontro dei risultati ottenuti, ai fini della stabilità del sistema, si ricorre ad un metodo di indagine basato sulla conoscenza della f.d.t di anello F(s): il criterio di Nyquist . Secondo tale metodo condizione necessaria e sufficiente per garantire l’asintotica stabilità del sistema a ciclo chiuso è che il diagramma di Nyquist completo della F(j ω) circondi il punto critico (-1, j0), senza toccarlo, un numero di volte pari al numero di poli a parte reale
strettamente positiva della F(s). Il numero dei circondamenti è contato positivamente in senso antiorario, negativamente in senso orario.
Nel nostro caso 2
) 5 (
15 30 3
) 1 ( ) ( ) ( )
( +
⋅ +
⋅
=
⋅
⋅
= s s
s s s K
H s P s C s
F c possiamo vedere che non ha poli a
parte reale positiva, ma ha un polo nell’origine con molteplicità 2.
K c < 25
25 0
30 150 >
− −
c c
c K
K K
K c > 0
Relazione di fondamenti di automatica – Riccardo Galletti -
Tracciamo il diagramma di Nyquist con K
c=4;
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Nyquist Diagram
Real Axis
Imaginary Axis
Come potevamo aspettarci, in prossimità della pulsazione ω = 0 abbiamo una singolarità nell’applicazione del suddetto criterio. Sfruttando il diagramma ottenuto in Matlab e tenendo
conto che 4 3 2 2
) (
)
~ ( ) ( 25 ) ( 10 ) (
20 ) 40
( ω
ω ω
ω ω
ω ω
j j F j
j j
j j
F =
+ +
= + e che ~ ( ) 0
lim 0 ∠ =
→ ω
ω F j
Si ha: ω π
ω
+∠ = −
→ ( )
lim 0 F j e ω π
ω
−∠ = +
→ ( )
lim 0 F j
Si nota dunque che per ω tendente a 0
+il diagramma di Nyquist tende asintoticamente al semiasse reale negativo, e per ω tendente a 0
-tende asintoticamente al semiasse reale >0.
e dunque, chiudendo il grafico con due mezzi giri orari da 0- a 0+ il numero dei
circondamenti del punto critico rimane pari a zero. Essendo zero il numero dei poli a parte reale >0 di F(s) (si ricorda che l’aggiramento in senso antiorario nel dominio ci fa
considerare, ai fini dell’applicazione del criterio di Nyquist, il polo nell’origine come polo a
-0.22 -0.2 -0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
+ ∞
− ∞ 0
0 +
−
-15 -10 -5 0
x 104 -6000
-4000 -2000 0 2000 4000 6000
Nyquist Diagram
Real Axis
Imaginary Axis
parte reale negativa), il criterio di Nyquist è verificato.
Dato che il diagramma di Nyquist interseca l’asse negativa dei reali in corrispondenza di -0.1978, siamo in presenza di una stabilità regolare, assicurata per valori del guadagno d’anello aperto 5 . 06
1978 . 0
1
~ < =
K . Ciò significa che posso moltiplicare K
c=4 al massimo per 5.06. Arrivo cioè a circa 20, cioè quanto mi aveva detto il criterio di Routh.
AZIONE CORRETTRICE
Dal diagramma di Nichols della F(jω) si ha:
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-100 dB -80 dB -60 dB -40 dB -20 dB
-120 dB -1 dB
-6 dB 0.5 dB
0 dB
-3 dB 6 dB
-12 dB 3 dB
1 dB 0.25 dB
System: F Gain (dB): -15.9 Phase (deg): -186 Frequency (rad/sec): 5
Dunque si ricava che il punto di lavoro alla ω
t=5 rad/s si trova in corrispondenza di:
dB j
F ( ) | 15 . 9
| ω = − e ∠ F ( j ω ) = − 186 ° .
Considerato che m
φ=40° e quindi ∠ F ( j ω ) = − π + m ϕ = − 140 ° la correzione da apportare prevede un’amplificazione di 15.9 dB e un anticipo di fase pari a 46°.
Dovremo utilizzare una rete anticipatrice, caratterizzata da una f.d.t. pari a :
τ s α 1
τ s 1
⋅
⋅ +
⋅ +
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Tramite il modulo e la fase del vettore di correzione si ricava la struttura del nuovo controllore mediante il calcolo di α e τ:
τ s α 1
τ s ) 1
( + ⋅ ⋅
⋅
⋅ +
= s
s K
C c
Utilizzando il diagramma per reti anticipatrici, si ha:
0970 . 0
α ≅ e τ ≅ 1 . 5273 ⇒ α ⋅ τ ≅ 0 . 1481
Con questi valori il controllore assumerà la struttura:
1481 . 0 s 1
5273 . 1 s 1 ) 4
( + ⋅
⋅
⋅ +
= s s
C ;
Di conseguenza la f.d.t. di anello aperto dopo la correzione è:
2 3
4 5
2
2 0.15 s + 2.48 s + 13.7 s + 25 s
20 + s 70.55 + s 61.1
) 5 (
15 30 1481 . 0 s 1
5273 . 1 s 1 4 3 ) 1 ( ) ( ) ( )
( =
+
⋅ +
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
=
⋅
⋅
= s s
s s s
H s P s C s F
Il diagramma di Nichols della F(jω) dopo la correzione è:
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-80 dB -60 dB -40 dB -20 dB 1 dB
-100 dB -1 dB
-6 dB 0.5 dB
0 dB
-3 dB 6 dB
-12 dB 3 dB
0.25 dB
System: F Gain (dB): -0.0191 Phase (deg): -140 Frequency (rad/sec): 5
PARAMETRI TEMPORALI CARATTERISTICI
Sfruttando, a questo punto, i parametri ottenuti nel dominio della frequenza e i legami globali otteniamo i corripondenti parametri caratteristici nel dominio del tempo, facendo riferimento alla f.d.t. a ciclo chiuso:
⋅ =
⋅ +
= ⋅
= +
) ( ) ( ) ( 1
) ( ) ( )
( 1
) ) (
( C s P s H s
s P s C s
F s s G
W
500 + s 2038 + s 3169 + s 1700 + s 473.8 + s 84.62 + s 10.26 + s 0.74 + s 0.02
1500 + s 6113 + s 7631 + s 3045 + s 486.3 + s 27.5
2 3
4 5
6 7
8
2 3
4 5
=
Il guadagno statico è W(j0)=3, dunque diagrammiamo tramite Bode la W(s) normalizzata:
10-1 100 101
-270 -225 -180 -135 -90 -45 0
Phase (deg)
System: W_norm Frequency (rad/sec): 15.3 Phase (deg): -214
-60-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20
System: W_norm Frequency (rad/sec): 9.01 Magnitude (dB): -6
System: W_norm Frequency (rad/sec): 15.3 Magnitude (dB): -20 System: W_norm
Frequency (rad/sec): 8.15 Magnitude (dB): -3
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
