COMPITO di ANALISI MATEMATICA 3/02/2020

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 3/02/2020

I M 1) Dopo aver semplificato e ridotto a forma algebrica, si esprima in forma di esponenziale complessa il numero D œ "  $  "  $.

"  3 "  3

 

D œ "  $  "  $ œ œ

"  3 "  3 "  3 "  3

"  $ "  3  "  $ "  3

         

  

œ œ œ "  $ 3 œ

"  $  "  $   "  $  "  $ 3

"  " #

#  # $ 3

         

œ # "  $3 œ # &  3 & œ /

# # $ $

  

cos 1 sen 1 _log#^& ₃.

$1

I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ B   C  C B , si verifichi se essa risulta differenziabile nel punto  !ß ! .

Risulta lim . Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:

   BßC Ä !ß!B C  C B œ !

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! " !

`B !ß ! œ lim  2   œ lim2!  ! 2 † 2 œlim 2 œlim! œ ! à

2Ä! 2Ä! 2Ä! 2Ä!

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! " !

`C !ß ! œ lim  2   œ lim! 2  2! † 2 œlim 2 œlim! œ ! Þ

2Ä! 2Ä! 2Ä! 2Ä!

Quindi f0   !ß ! œ !ß ! .

Per la differenziabilità dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se:

   BßC Ä !ß!lim # #

B C  C B

B  C œ !

   

 . Passando a coordinate polari si ha:

lim lim

   BßC Ä !ß! # # Ä!

B C  C B

B  C Ê  œ

    



    

4

4 4 * * * *

4

cos sen sen cos

œ lim  œ !

4Ä! 4 cos*sen* sen*cos* e la convergenza è uniforme in quanto

cos*sen*sen*cos* # e quindi la funzione è differenziabile.

I M 3) Dato il sistema    soddisfatto nel punto

 

0 Bß Cß D œ B /  #C /  D / œ ! 1 Bß Cß D œ B C  BD  #BCD œ !

CD BD BC

# #

P_! œ "ß "ß " , verificare che con esso è possibile definire una funzione implicita B Ä Cß D  e calcolare poi le derivate prime di tale funzione.

Le funzioni 0 Bß Cß D   e 1 Bß Cß D sono funzioni differenziabili a Bß Cß D −  ‘^$. Sarà poi:

‰ œ /  #C/  D/ B/  #/  D/  B /  #C /  /

#BC  D  #CD B  #BD #BD  #BC

 ^{CD BD# BC CD # BD BC CD BD BC}

per cui ‰"ß "ß " œ !  # #. Essendo   # #œ # Á ! è possibile definire una

"  " !  " ! funzione implicita B Ä Cß D . Per le sue derivate avremo:

d d

dC  # e dD  # .

B œ  œ  # œ " B œ  œ  # œ "

! #  # !

" !  " "

 # #  # #

 " !  " !

   

   

I M 4) Data 0 Bß C œ B C  ed i vettori •œ "ß "  e –œ  "ß " , detti rispettivamente e@ A i loro versori, sapendo che W_@0 B ß C _{! !}œ# e che W_A0 B ß C _{! !}œ !, determinare le co- ordinate del punto B ß C_{! !}.

La funzione 0 Bß C œ B C  è un polinomio e quindi è differenziabile di qualsiasi ordine.

Quindi H 0_@ B ß C_{! !} œ f0B ß C_{! !}† @ e H 0_A B ß C_{! !}œ f0B ß C_{! !}† A. Essendo f0 B ß C œ Cà B Ê f0 B ß C! !œ C B!ß !Þ

Sarà poi @ œ " "  e A œ  " " . Quindi:

#ß #  #ß #









      

     

W_{@ ! ! ! ! ! !}

! ! ! ! ! !

0 B ß C œ B ß C C B ß œ #

B ß C B ß C C B  ß œ !

Ê

f0 † @ œ ß †

H 0 œ f0 † A œ ß †

 

 

" "

# #

" "

# #

 

  A

Ê C B "ß " œ # Ê B  C œ # Ê B œ "

C B  "ß " œ ! B  C œ ! C œ "

    

 

 

 ^!! ^!! ^!! ^!! !^!

ß †

ß † .

II M 1) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:









 





0 Bß C œ B  C  B C  $B B   !

C   ! C Ÿ %  B

2 2

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, la regione ammissibile è unX insieme compatto e quindi sicuramente esistono valori massimi e minimi.

Vista la numerosità dei vincoli non conviene usare le condizioni di Kuhn-Tucker che richiederebbero la risoluzione di 8 sistemi.

Studiamo anzitutto gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativi liberi.

Applicando le condizioni del primo ordine avremo:

f Ê 0 œ #B  C  $ œ ! Ê Ê − 0 œ #C  B œ !

$C  $ œ ! B œ # B œ #C C œ "

0 Bß C œ    ^Bww    #ß " X

C

e .

Per le condizioni del secondo ordine avremo, usando la matrice Hessiana:

‡ ‡ ‡

     ‡

Bß C œ #  " œ  œ #  !

 " #  #ß " . Dato che ^" œ %  " œ $  ! , il punto  #ß "

# ri-

sulta essere un punto di minimo, con 0 #ß " œ  $  .

Studiamo la funzione obiettivo 0 Bß C œ B  C  B C  $B  ^{2 2} sui punti del primo vincolo B œ !. Risulta 0 !ß C œ C  ² che per C  ! risulta una funzione sempre crescente.

Studiamo la funzione obiettivo 0 Bß C œ B  C  B C  $B  ^{2 2} sui punti del secondo vincolo C œ !. Risulta 0 Bß ! œ B  $B Ê 0 B œ #B  $   !  ^{2 w}  e quindi la funzione risulta cre- scente per B   $.

#

Studiamo infine la funzione obiettivo 0 Bß C œ B  C  B C  $B  ^{2 2} sui punti del terzo vin- colo C œ %  B. RisultaÀ

0 Bß %  B œ B  "'  B  )B  %B  B  $B œ $B  "&B  "' Ê  ^{2 # # #}

Ê 0 B œ 'B  "&   ! B   &

#

w  e quindi la funzione risulta crescente per .

Abbiamo quindi la seguente situazione:

dalla quale vediamo che:

-  !ß % risulta un punto di massimo, con 0 !ß % œ "'  , ed è il massimo assolutoà -  %ß ! risulta un punto di massimo, con 0 %ß ! œ %  , ed è un massimo relativoà -  #ß " risulta un punto di minimo, con 0 #ß " œ  $  , ed è il minimo assoluto.

Il punto ^$_#ß ! risulta un punto di minimo, con 0$ß ! œ  *, relativamente ai punti del

# %

vincolo C œ !. Per una analisi completa formiamo la funzione Lagrangiana relativamente a questo solo vincolo.

Avremo: ABß Cß-œB  C  B C  $B^{2 2} - C. QuindiÀ



 





 A

A -

-

wB wC

œ #B  C  $ œ #C  B  C œ !

œ ! œ ! Ê

B œ C œ !

œ  !

$

#

$

#

e quindi il punto ^$_#ß ! risulterebbe, essendo

- œ $  !

# , rispetto ai punti interni alla regione ammissibile X, un punto di massimo e quindi non è nè punto di massimo nè punto di minimo.

Il punto ^{& $}_{# #}ß  risulta un punto di minimo, con 0& $ß  œ  "" relativamente ai punti

# # %

del vincolo C œ %  B. Per una analisi completa formiamo la funzione Lagrangiana relativa- mente a questo solo vincolo.

Avremo: ABß Cß-œB  C  B C  $B^{2 2} -B C  %. QuindiÀ

 

  

 









A -

A -

- -

wB wC

œ #B  C  $  œ #C  B  C œ %  B

œ !

œ ! Ê Ê

'B œ "&

C œ %  B œ )  $B

B œ C œ

œ  !

&

$#

#"

#

e quindi il punto ^{& $}_{# #}ß 

risulterebbe, essendo - œ "  !, rispetto ai punti interni alla regione , un

# ammissibile X

punto di massimo e quindi non è nè punto di massimo nè punto di minimo.

II M 2) Analizzare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ BC  BC  B C  ^{$ $} . Applicando le condizioni del primo ordine avremo:

f Ê 0 œ C  C  $B C œ C "  C  $B œ ! Ê 0 œ B  $BC  B œ B "  $C  B œ !

0 Bß C œ     

 

w $ # # #

Bw # $ # #

C

Ê B œ ! ∪ B œ ! ∪ B œ „" ∪ C œ "  $B Ê )B œ # Ê C œ ! C œ „" C œ ! "  $  *B  B œ ! C œ "  $B

    ^# #^# #  #^# #

Ê B œ Ê B œ „ Ê B œ ∪ B œ  ∪ B œ ∪ B œ 

C œ C œ „ C œ C œ C œ  C œ 

     

#

#

" " " " " "

% # # # # #

" " " " " "

% # # # # #

. Abbiamo quindi nove punti stazionari:

    !ß ! ß !ß " ß !ß  " ß "ß ! ß  "ß ! ß     " " ß  " " ß " " ß  " "Þ

# #ß # #ß #ß  # #ß  #

Per le condizioni del secondo ordine avremo, usando la matrice Hessiana:

‡Bß C œ   'BC "  $C  $B 

"  $C  $B  'BC

# #

# # da cui si ha:

‡ !ß ! œ! "Ê ‡ œ  "  ! À !ß ! 

" ! ^# è un punto di Sella;

‡!ß „" œ  !  #Ê ‡ œ  %  ! À !ß "  !ß  "

 # ! ^# e sono punti di Sella;

‡„"ß ! œ  !  #Ê ‡ œ  %  ! À

 # ! ^#   "ß ! e  "ß ! sono punti di Sella;

‡ ‡ ‡

" "  " " ‡

# #ß œ #ß  # œ Ê œ ! À

œ #  !

  

 

    

 

$ "

# #

" $

# #

$

" #

#



" "  " "

# #ß e  #ß  # sono punti di Massimo;

‡ ‡ ‡

     ‡



" " " "

# #ß œ #ß  # œ Ê œ ! À

œ #  !

   

 

$ "

# #

" $

# #

$

" #

#



 " " " "

# #ß e #ß  # sono punti di Minimo.

II M 3) Risolvere il problema di Cauchy: .









  

 

C  C œ B / C ! œ "

C ! œ ! C ! œ !

www w B

w ww

Iniziamo risolvendo l'equazione omogenea C  C œ !^{www w} e trovando le radici del suo polino- mio caratteristico. Avremo -^$- œ- - ^# " œ ! e quindi la radice reale - œ ! e le due radici complesse - œ „ 3 . Quindi la soluzione generale dell'equazione omogenea sarà data da C B œ -  -  " #senB  -$cos . Troviamo ora una soluzione particolare dell'equazioneB non omogenea ricorrendo al metodo degli annichilatori. Il fattore C œ B /^B è annichilato dal- l'operatore H  "^#, ovvero corrisponde ad una radice reale doppia - œ ". Dovremo quindi ipotizzare una soluzione particolare del tipo C œ +/  ,B /_! ^{B B}. Avremo quindi:

C œ +  , /  ,B / Ê C œ +  #, /  ,B / Ê C œ +  $, /  ,B /_!^w   ^{B B} _!^ww   ^{B B www}_!   ^{B B} per cui sostituendo nell'equazione non omogenea avremo:

+  $, /  ,B /  +  , /  ,B / œ B / ^{B B}   ^{B B B} ovvero:

#+  %, /  #,B / œ B / +  #, œ ! Ê

#, œ "

+ œ  #, œ  "

, œ

B B B da cui: _" .

#

La soluzione generale dell'equazione non omogenea sarà quindi data da:

C B œ -  - B  - B  /  B /"

  " #sen $cos B # B. Da questa si ha:

C B œ - B  - B  /  B /" "

# #

w B B

# $

  cos sen

C B œ  - B  - B  B /"

#

ww B

# $

  sen cos .

Applicando le condizioni del problema avremo allora:

  

  

  

  

  C ! œ "

C ! œ ! C ! œ !

Ê Ê

-  -  " œ " - œ #

-  œ ! - œ

 - œ ! - œ !

w ww

" $ "

# #

$ $

" "

# # . E quindi la soluzione generale del proble- ma di Cauchy sarà data da: C B œ # "senB  /  B /" .

# #

  ^{B B}

II M 4) Calcolare    d d , dove   : , anche usan-



B C B C œ Bß C −‘² " Ÿ B  C Ÿ %^{# #} do opportunamente le simmetrie della funzione e del dominio di integrazione.

Vista la regione di integrazione:

data la sua simmetria e data la simmetria della funzione integranda 0 Bß C œ   B C , possiamo

calcolare       

%

d d , dove : e poi

B C B C _% œ Bß C −‘² B   !ß C   !ß " Ÿ B  C Ÿ %^{# #} moltiplicare per il risultato trovato.%

Avremo quindi, passando subito a coordinate polari:

         

%

d d sen cos d d sen cos d d

B C B C œ † œ œ

! " ! "

# #

# $

1 1

# #

4 * * 4 4 * 4 * * 4 *

œ " œ %  " œ "& œ

% % %

      

! ! !

%

"

1 # 1 1

# # #

4 sen cos d* * * sen cos d* * * sen cos d* * * œ "& " œ "& "  ! œ "& B C B C œ % † "& œ "&

% # sen^#  )   ) . Quindi    d d ) # .

!

*

1

#

