COMPITO di ANALISI MATEMATICA 8/01/2020

(1)

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 8/01/2020

I M 1) Sia D œ # # $ / ¹^{% 3}  # "  $ / ¹^{$ 3}. Calcolare D. Essendo / œ cos sen "  " e

# #

1% 3  1 1  

%  3 % œ 3

/ œ "  $

# #

1$ 3

  

cos1 sen1 sarà:

$  3 $ œ 3

D œ # #  $ "  "  # "  $ "  $ œ

# # # #

         

3 3 

œ #  $ "  3  "  $" 3$ œ

œ #  $  " $  3 #   $ $  $ œ "  3 .

Essendo "  3 œ # "  " œ # † cos sen avremo:

# #

  3    (  3 ( 

% %

1 1

D œ"  3 œ  ^% # † cos( 5 #  sen( 5 #  Ÿ Ÿ à )1  #1  3 )1  #1 ß ! 5 "

Per cui - œ_" ^% # †cos ( sen (  e - œ_# ^% # †cos "& sen"& .

)1  3 )1 )1  3 )1

I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ , determinare l'opportuno B  C

B  C À Bß C Á !ß ! 5 À Bß C œ !ß !

 





   

% %

# #

valore di che rende la funzione continua nel punto 5  !ß ! , e determinare poi se in tale punto risulta anche differenziabile.

Avremo cos sen ed essendo la convergenza uni-

lim lim

   BßC Ä !ß!

% %

# # Ä! #

% % %

B  C

B  C Ê  œ !

4

4 * *

4

 

forme in quanto cos^% sen^% , sarà e quindi la funzione risulta

BßC Ä !ß!

% %

# #

* * # B  C œ !

B  C

   lim

continua in   se . Quindi   .





   

!ß ! 5 œ ! 0 Bß C œ

B  C

B  C À Bß C Á !ß !

! À Bß C œ !ß !

% %

# #

Risulta poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! 2 "

`B !ß ! œ lim  2   œ lim 2 † 2 œlim2 œ ! à

2Ä! 2Ä! 2Ä!

%

#

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! 2 "

`C !ß ! œ lim  2   œ lim 2 † 2 œlim2 œ ! Þ

2Ä! 2Ä! 2Ä!

%

#

Per la differenziabilità dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se

lim lim

   BßC Ä !ß!    BßC Ä !ß!

% % % %

# # # # # # # #

    

B  C " B  C

B  C  !  ! † œ œ !

B  C B  C B  C .

Passando a coordinate polari si ha:

(2)

lim lim lim

   BßC Ä !ß!

% %

# # # # Ä! Ä!

% % %

$

% %

B  C

B  C B  C Ê  œ  œ !

 

   

4 4

4 * *

4 4 * *

cos sen

cos sen e

la convergenza è uniforme e quindi la funzione è differenziabile.

I M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B C  BC  %BCD  #D œ !  ^$ ^$ ^$ , soddisfatta in "ß "ß ", verificare che con essa si può definire una funzione implicita Bß C Ä D Bß C   che presenta un punto stazionario. Determinare la natura di tale punto stazionario.

Da f0Bß Cß D œ $B C  C  %CDà B  $BC  %BDà 'D  %BC^# ^$ ^$ ^# ^#  otteniamoÀ

f0"ß "ß " œ !ß !ß # e quindi si può definire una funzione implicita Bß C Ä D Bß C   per la quale: `D `D ! . Il punto è quindi un punto stazionario.

`B "ß " œ `C "ß " œ  # œ !  "ß "

Essendo ‡Bß Cß D

'BC

"#D œ

$B  $C  %D  %C

$B  $C  %D  %B

 %C  %B

 

# #

# # risulta:

‡ 

 

"ß "ß "

' '

"#

œ D œ 

#  %

 %  %

0 Bß Cß D

. Essendo d_# d^# 0 avremo:

Dw

 

d^# _w .

D

D œ 

0

0_BB^ww  dB ^#  0_CC^ww  dC ^# 0_DD^ww dD ^# #0_BC^ww d dB C  #0_BD^ww d dB D  #0_CD^ww d dC D Essendo però dD œ `D "ß " dB  `D "ß " dC œ !, sostituendo, avremo:

`B  `C 

d^#D œ  .

        #    

"ß " ' dB ^# ' dC ^# "# ! ^# % B C  ) B !  ) C !d d d d Quindi d^#D "ß " œ $ dB ^# $ dC ^# # B Cd d .

Risulta quindi ‡ "à " , per cui, essendo  $ 

" 

œ  $  " œ !

 "  $ œ *  !

   

 ‡

‡

"

# , il punto sta-

zionario  "ß " è per la funzione implicita Bß C Ä D Bß C   un punto di massimo.

I M 4) Data 0 Bß C œ B C  BC  BC  ^# ^# e @œcosαßsenα , si determinino almeno due va- lori di per i quali risulti α H 0 "@  ß " œ H 0 "@ß@^#  ß " .

0 Bß C œ B C  BC  BC  ^# ^# è una funzione differenziabile due volte a Bß C −  ‘^#. Quindi H 0 "@  ß " œ f0 " ß " † @ e H 0 "^#@ß@  ß " œ @ †‡ "à " † @^X .

Risulta f0 B ß Cœ #BC  C  C^#à B  B  #BC Ê f0 "^#     ß " œ #ß # .

Quindi avremo: H 0 "_@  ß " œ f0 " ß " † @ œ #ß # †  cosαßsenα œ #cosαsenα. Essendo poi ‡Bß Cœ #C #B  "  #C sarà ‡ "ß " œ # $ e quindi:

#B  "  #C #B $ #

   

H 0 " œ † # $ † œ #

$ #

@ß@#   ß " cos sen  cos  #  ' †  # #

sen cos cos sen sen

α α α

α α α α α

  .

Quindi H 0 "^#_@ß@  ß " œ # 'cosα†senαœ # "  $cosα†senα. Dovendo allora risultare:

H 0 "_@  ß " œ H 0 "_@ß@^#  ß " dovrà essere cosαsenαœ" $cosα†sen e tale uguaglian-α za è sicuramente verificata almeno per α e per α 1.

œ ! œ

#

(3)

II M 1) Risolvere il problema . Max/min

s.v.:





 



0 Bß C œ B  C C Ÿ "  B

"  B Ÿ C

# #

#

Riscriviamo il problema come .

Max/min s.v.:





 



0 Bß C œ B  C B  C  " Ÿ !

"  B  C Ÿ !

# #

#

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, la regione ammissibile è unX insieme compatto e quindi sicuramente esistono valori massimi e minimi.

Come si vede dalla figura, risulta 0 Bß C ! a Bß C −  ,   X .

Usando le condizioni di Kuhn-Tucker, formiamo la funzione Lagrangiana:

ABß Cß- -"ß #œB  C ^# ^# -"B  C  " ^#  -#"  B  C. 1) caso -" œ !ß-# œ ! À

 

 

 

 

 

A A

wB wC

œ #B œ ! œ #C œ !

Ê

B œ ! C œ ! B  C  " Ÿ !

"  B  C Ÿ !

!  !  " Ÿ !

"  !  ! Ÿ ! À

# !à !

falsa

infatti   Â X.

2) caso -_" Á !ß-_# œ ! À

 

 

 

 

 

A - -

A -

-

wB " "

wC "

"

œ #B  # B œ #B "  œ ! œ #C  œ !

Ê

B œ ! C œ

 

C œ "  B

"  B Ÿ C

"

œ #  !

" Ÿ "

# :

 !ß " è un possibile punto di Massimo; oppure:

(4)

  

  

  

  



 

 

 

A - -

A -

- -

wB " "

wC "

# #

" "

œ #B  # B œ #B "  œ ! œ #C  œ !

Ê Ê

B œ "  B œ

C œ C œ

 

C œ "  B

"  B Ÿ C œ " œ "

"  B Ÿ C "  B Ÿ C

#

" " "

# # #

" "

# #

œ

da cui:











 

B œ C œ

Ê

"

#

"

#

" " " "

# # # #



 

-" œ "  !

"  Ÿ Ÿ À

" "

#ß

# vera

per cui è un possibile punto di Massimo,



mentre , infatti .











 

B œ  C œ

"

#

"

#

" "

# #



-_" œ "

"  Ÿ À

" "

#ß

# falsa

  Â X

3) caso -_" œ !ß-_# Á! À

  

  

  

  



 

 

 

A -

- -

wB #

wC #

#

œ #B  œ ! œ #C  œ !

C œ "  B Ê Ê 

B œ  C œ 



B œ C œ

œ 

C Ÿ "  B œ " 

C Ÿ "  B

"  ! Ÿ "  À

# #

- -

#

# #

#

# #

"

"#

#

" "

# % vera

; da ! segue che

il punto " "

# #ß è un probabile punto di minimo.

4) caso -" Á!ß-# Á! À

  

  

  

  

  

 

A - -

- -

- - -

wB " #

wC " #

# "

" # #

œ #B  # B  œ !

œ #C   œ !

C œ "  B

Ê Ê

B œ ! B œ !

C œ " C œ "

œ ! œ #

#   œ ! œ !

C œ "  B^# À !ß " già visto, e:

 

 

 

 

 

 

B œ " B œ "

C œ ! C œ !

#  #  œ ! œ #  !

 

- - Ê -

- - -

" # "

" # œ ! # œ #  !

per cui "ß ! è un possibile punto di Massimo.

Studiamo la funzione obiettivo 0 Bß C œ B  C  ^# ^# sui punti del primo vincolo C œ "  B^#. Essendo 0 Bß "  B ^#œ B  "  B^#  ^#^# œ B  B  "^% ^# sarà 0 Bß "  B^w ^# œ %B  #B^$ da cui 0 Bß "  B œ #B #B  " ! per " (in

#

w #  # 

B  X risulta ! Ÿ B Ÿ ". Quindi:

(5)

e quindi il punto _ ^" ^"_

#ß

 # risulta, relativamente ai soli punti di frontiera, un punto di minimo, contraddicendo la precedente indicazione -_" œ "  ! che lo segnalava come un possibile punto di massimo. Quindi il punto _ ^" ^"_ non è nè di massimo nè di minimo.

#ß

 #

Si poteva giungere alla stessa conclusione usando la matrice Hessiana orlata della funzione Lagrangiana ABß Cß-"œB  C ^# ^# -"B  C  "^# . Essendo per -" œ ":

‡  ‡

   

     



  

Bß C œ œ œ  # † # #  !

! #B " ! # "

#B !

" ! # # !

" ! #

#  #-_" Ê _ ^" ^"_ !

#ß

 # ,

risultato che ci indica nuovamente _ ^" ^"_ come un punto di minimo.

#ß

 #

Studiamo la funzione obiettivo 0 Bß C œ B  C  ^# ^# sui punti del secondo vincolo C œ "  B. Essendo 0 Bß "  B œ B  "  B  ^#  ^# œ #B  #B  "^# sarà 0 Bß "  B œ %B  #^w  da cui

0 Bß "  B œ # #B  " ! "

#

w    per B (in X risulta ! Ÿ B Ÿ ". Quindi:

per cui abbiamo la conferma che il punto " "

# #ß è un punto di minimo, conclusione già as- sicurata dal Teorema di Weierstrass, visto che il punto " " è stato l'unico candidato tro-

# #ß

vato a punto di minimo. Anche qui potevamo avere conferma usando la matrice Hessiana orlata della funzione Lagrangiana ABß Cß-_#œB  C ^# ^# -_#"  B  C. Essendo:

‡  ‡

   

     

Bß C œ œ œ  %  !

!  "  " !  "  "

 " !  " !

 " ! #  " ! #

# Ê _" "_ #

# #ß , risulta-

to che ci indica nuovamente _" "_ come un punto di minimo.

# #ß

Quindi _" "_ è il punto di minimo con _" "_ "

# #ß 0 # #ß œ #;    !ß " e "ß ! sono punti di massimo, con 0 !ß " œ 0 "ß ! œ "    .

(6)

II M 2) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B  C œ / . C  B œ "

w >

w

B  C œ /          

C  B œ " Ê H " B œ " Ê H " B œ " H Ê

" H " H

/ / "

w >

w

> >

Ê H  " B œ H /  " Ê B  B œ /  " ^#    ^> ^ww ^> .

Da -^# " œ ! otteniamo - œ „" e quindi la soluzione generale dell'equazione omogenea per B >  sarà: B > œ - /  - /  " > # >.

Essendo il termine noto dell'equazione non omogenea uguale a /  "^> , ed essendo il fattore /^> già presente nella soluzione generale dell'equazione omogenea, se usiamo il metodo degli annichilatori per trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, dovremo ipotizzare una soluzione del tipo B > œ + /  ,> /  5!  > > . Sarà quindi:

B > œ + /  , /  ,> /^w_!  ^> ^> ^> e B > œ + /  #, /  ,> /^ww_!  ^> ^> ^>. Sostituendo nell'equazione non omogenea otteniamo:

B >  B > œ + /  #, /  ,> /  + /  ,> /  5 œ #, /  5 œ^ww_!  !  ^> ^> ^> ^> ^> ^> /  "^> da cui si ha:

#, œ "  5 œ " Ê , œ

5 œ "

"

# e quindi avremo B > œ - /  - /  > /  ""

  " > # > # > .

Dalla prima equazione otteniamo C œ /  B^> ^w e quindi, sostituendoÀ C > œ /   ^> - /  - /  "/  > /"

# #

" > # > > > per cui sarà:

C > œ  "   "

# -_" /  - /^> _# ^> > /# ^>.

II M 3) Risolvere il problema di Cauchy: log .

  B C C œ B C " œ #

w

(7)

Da B segue, posto B  !, e quindi:

C C œ_w B C C B œ_w C C œ B" B B  5

log  d  d  log d

C C B

# # #  5 C œ B  7 7 œ #5

# # #

# #

œ log d logB  B  5 Ê œ log Ê log Ê

,  

ÊC œ „log^#B  7. Dovendo essere C " œ #  va scelta la C œlog^#B  7 per la quale dovrà essere # œlog^#"  7Ê# œ7Ê 7 œ %.

Quindi la soluzione del problema di Cauchy sarà la funzione C œlog^#B  %.

II M 4) Calcolare   d d , dove   : .



BC B C œ Bß C −‘² "  B Ÿ C à B  C Ÿ "^# ^#

Dato che risulta œBß C − ‘²: "  B Ÿ C Ÿ"  B^#, la regione risulta normale rispetto all'asse e quindi avremo:B

      



d d d d d

BC B C œ BC C B œ " C B B œ

! "B ! #

" "B "

#

"B

 #  #

œ " "  B  "  B B B œ " "  B  "  B  #B B B œ

# #

        

! !

" "

# # d # # d

œ " #B  #B B B œ B  B B œ "B  B" œ "  " œ "

#    $ %  $ % "#

! !

" "

# # $ $ %

!

"

d d .