COMPITO di ANALISI MATEMATICA 17/06/2020

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 17/06/2020

I M 1) Calcolare le radici cubiche del numeroD œ # 3 .

"  3



Essendo #3 œ # cos  3sen e "  3œ# cos  3sen si haÀ

# # % %

( (

 1 1  1 1

D œ # 3 œ œ

"  3

#

#

 



 

 cos sen     

cos sen cos sen

1 1

1 1

# #

( (

% %

 3

 3 1#  (%1  3 1#  (%1 œ

D œ # #

cos &  3sen & œcos$  3sen$ œ   3

% % % % # #

1 1 1 1  

. Avremo quindi:

^$ D œ cos1 1 sen1 1

%  5 #$  3 %  5 #$ ß ! Ÿ 5 Ÿ # .

Per 5 œ ! si ha D œ # # à

! cos1 sen1

%  3 % œ #  # 3 per 5 œ " si ha D œ_" cos"" sen"" à

"#1  3 "#1 per 5 œ # si ha D œ_# cos"* sen"* Þ

"#1  3 "#1

I M 2) Data la funzione ,

0 Bß C œ

B

B  C Bß C Á !ß !

5 Bß C œ !ß !

 



     

   

$

2 2 determinare il valore di 5 che la rende continua in  !ß ! e verificare poi se tale funzione risulta differenziabile nel punto

 !ß ! .

Calcoliamo lim passando a coordinate polari ed avremo:

   BßC Ä !ß!

B$

B  C

 ^{2 2}

lim lim lim

   BßC Ä !ß!

$ $ $

Ä! Ä!

# $

B

B  C Ê œ œ !

 ^{2 2 4} 4 cos * ⁴ cos .

4 4 *

La convergenza è uniforme in quanto 4^#cos^$*Ÿ4^#. Quindi la funzione è continua in  !ß ! se 5 œ !. Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! " 2

`B !ß ! œ  2   œ † 2 œ 2 œ ! à

lim lim lim  

2Ä! 2Ä! 2Ä!

2 #

2

$

 #

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! "

`C !ß ! œ lim  2   œ lim † 2 œlim! œ ! Þ

2Ä! 2Ä! 2Ä!

! 2

$

 #

Quindi f0   !ß ! œ !ß ! .

Per la differenziabilità in  !ß ! dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se:

   BßC Ä !ß!lim

$

# #

B "

B  C B  C œ !

 ^{2 2} †  . Passando a coordinate polari si ha:

lim lim

4Ä! 4Ä!

$ $

#

$ $

cos e la convergenza è uniforme in quanto cos e cos

4 *

4 œ 4 *œ ! 4 * Ÿ4

quindi la funzione è differenziabile in  !ß ! .

I M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ B /  ^BC C /^CB œ ! soddisfatta nel punto  "ß " , verificare che con essa risulta definibile una funzione implicita C œ C B  e calcolare poi, nel punto con- siderato, la derivata prima e la derivata seconda di tale funzione implicita.

La funzione 0 Bß C  è funzione differenziabile a Bß C −  ‘^#. Risulta poi:

f0 B ß C œ /^BC B /^BC C /^CBà B /^BC /^CB C /^CBœ

f0 B ß C œ "  B/^BCC /^CBà B /^BC "  C /  ^CBÊf0  "ß " œ $à  $Þ Essendo 0_C^w "ß " œ  $ Á ! è possibile definire una funzione implicita B Ä C B . Per le sue derivate avremo: C " œ  $ œ " Þ Essendo poiÀ

 $

w 

‡Bß C œ  / C /  /   C /  À

 / C / B / #  C /

   

 #  B "  B

"  B

BC CB BC CB

BC  CB BC  " CB

 "  

 

  sarà

‡ "ß " œ # ! C œ  À

!  #

0  #0 C  0 C

  0  

e dalla ^ww otteniamo

ww ww w ww w

BB BC CC #

Cw

C œ  #  !  # œ ! Þ

 $

ww "

I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ /  ^BC, determinare le direzioni @œcosαßsenα per cui ri- sulta W@0 5ß 5 œ !  .

La funzione 0 Bß C œ /  ^BC risulta palesemente differenziabile a Bß C −  ‘^#. Quindi H 0_@ 5ß 5œ f05ß 5† @. Essendo:

f0 B ß C œ /^BCà /^BCÊf05ß 5 œ "ß  ", per avere W_@0 5ß 5 œ !  dovrà essere:

"ß  " ß œ  œ ! Ê œ Ê œ à œ

% %

&

cosα senα cosα senα cosα senα α 1 α 1.

II M 1) Risolvere il problema Max/min . s.v. :

  

 

0 Bß C œ B  C B  "  " Ÿ C Ÿ "

#

#

Scriviamo il problema come . La funzione obiettivo del proble- Max/min

s.v.:





 

  

0 Bß C œ B  C B  "  "  C Ÿ ! C  " Ÿ !

#

#

ma è una funzione continua, i vincoli definiscono una regione ammissibile X che risulta un insie- me compatto in quanto limitato e chiuso e quindi sicuramente esistono il valore massimo ed il valore minimo. Essendo un problema con vincoli di disuguaglianza applichiamo le condizioni di Kuhn-Tucker, troviamo le soluzioni e poi studiamo la funzione obiettivo sulla frontiera di .X Per applicare le condizioni di Kuhn-Tucker, costruiamo la funzione Lagrangiana À

ABß Cß- -_"ß _#œB  C ^# -_"B  "^# "  C  -_#C  ". Applicando le condizioni del primo ordine avremo:

1) caso -_" œ !ß-_# œ ! À







 A A

wB wC

œ #B œ ! œ " Á !

B  "  "  C Ÿ ! Ÿ !

#

C  "

non ci sono soluzioni.

2) caso -_" Á !ß-_# œ ! À

 

  

  

  

  

  

 









A -

A - - -

-

wB "

wC " " "

"

œ #B  # B  " œ ! œ "  œ !

Ê Ê  !

B  # œ ! œ 

B œ œ 

 

C œ B  "  "

C Ÿ "

"

C œ B  "  "

C Ÿ "

"  ! C œ 

 Ÿ "

 ^#  ^#

% ^"_#

$

$ %

%

: da segue

che " 

#ß  $

% è un possibile punto di Minimo.

3) caso -_" œ !ß-_# Á! À

 

 

 

 

 

 

 

  A

A -

- -

wB

wC #

# #

œ #B œ ! œ "  œ !

C œ " Ê  !

B œ ! C œ "

B  "  " Ÿ C

œ "  !

! Ÿ "

!ß "

#

; da segue che il punto è un possibile

punto di Massimo.

4) caso -_" Á!ß-_# Á! À

  

  

  

  

  

  

  

A -

A - -

- -

- - - -

wB "

wC " #

" "

" # " #

œ #B  # B  " œ ! œ "   œ ! C œ "

Ê ∪

B œ "  # B œ "  #

C œ " C œ "

#B  # B  " œ ! #B  # B  " œ !

"   œ ! "   œ !

   

   

C œ B  " ^# " à

 

  

  

  

  

  

 







 B œ "  #

C œ "

#B  # B  " œ !

"   œ !

Ê Ê

B œ "  # C œ "

#  # #  # # œ ! œ " 

B œ "  # C œ "

œ  !

œ  !



 



 



-

- -

-

- -

- -

"

" #

"

# "

"

#

" #

#

"# #

#





À

da -_"  !ß-_#  ! segue che il punto "  ß "#  è un possibile punto di Massimoà

 

  

  

  

  

  

 







 B œ "  #

C œ "

#B  # B  " œ !

"   œ !

Ê Ê

B œ "  # C œ "

#  # #  # # œ ! œ " 

B œ "  # C œ "

œ  !

œ  !



 



 



-

- -

-

- -

- -

"

" #

"

# "

"

#







#"

#

# #"

#

à

da -_"  !ß-_#  ! segue che il punto "  ß "#  è un possibile punto di Massimo.

Studiamo la funzione obiettivo sul vincolo C œ ". Risulta 0 Bß " œ B  " Ê 0 B œ #B   !  ^{# w}  per B   !.

Quindi la funzione decresce in " # Ÿ B Ÿ ! e cresce in ! Ÿ B Ÿ " #. Quindi ha in B œ ! un punto di minimo.

Ma il punto  !ß " era stato segnalato come un possibile punto di massimo e quindi  !ß " non è né punto di massimo né punto di minimo.

Studiamo la funzione obiettivo sul vincolo C œB  "^#  ".

Risulta 0 Bß B  "  " œ #B  #B Ê 0 B œ %B  #   ! B   ".

  ^#  ^{# w}  per #

Quindi la funzione decresce in " # Ÿ B Ÿ " e cresce in " Ÿ B Ÿ " #.

# #

Quindi ha in B œ " un punto di minimo.

#

Il punto T œ "ß  $

# %

"   era stato segnalato come un possibile punto di minimo e quindi esso è

il punto di Minimo con 0 T œ  "

 " #à

Il punto T œ " _#  #ß ", con 0 T _# œ %  ## è un punto di massimo, il punto T œ " _$  #ß ", con 0 T _$ œ %  ## è un punto di massimo, è un punto di massimoT_# relativo, è il punto di massimo assoluto.T_$

II M 2) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B œ C  / C œ #B  C

w >

w .

B  C œ /          

 #B  C  C œ ! Ê H  " B œ ! Ê H  " B œ ! H  "

 # H  "  # H  "

/ /  "

w >

w

> >

Ê H  H  # B œ H /  / Ê B  B  #B œ ! ^#    ^{> > ww w} .

Da -^#- #œ- #- " œ ! otteniamo -" œ #ß-# œ  " e quindi la soluzione ge- nerale dell'equazione omogenea per B >  sarà: B > œ - /  - /  " #> # >.

Dalla prima equazione otteniamo C œ B  / Ê C > œ #^{w >}   - /  - /_" ^#> _# ^>  /^>Þ

II M 3) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B  C  D  BC  ^# 2 ^{# #} 2 , determinare la natura dei suoi punti stazionari.

Applicando le condizioni del primo ordine otteniamo:

f Bß Cß D Ê Ê

0 œ #B  #C œ ! 0 œ %C  #B œ ! 0 œ #D œ !

B œ ! C œ ! D œ !

0 œ Þ

 

 

 



Bw Cw Dw

Sarà poi:

‡  ‡ 

 

 

 

 

 

 

Bß Cß D œ !ß !ß ! œ

#  # !

 # % !

! ! #

.

Essendo il punto risulta un punto di minimo.





   

   

 ‡  ‡  

‡ ‡

‡

" "

# #

$

œ #  !à œ %  !

œ )  %  !à œ )  !  ! œ # )  %  !

!ß !ß !

II M 4) Data œBß C − ‘²: ! Ÿ Bà ! Ÿ Cà" Ÿ B  C Ÿ # ß^{# #}  calcolare:

 



B

B  C_{2 2} d d .B C

Vista la regione di integrazione:

conviene calcolare l'integrale passando subito a coordinate polari:

     



d d cos d d cos d d

B

B  C_{2 2} B C œ ₂ † œ œ

! " ! "

# #

1 1

#  # 

4 *

4 4 4 * * 4 *

œ   œ #  " œ#  "  œ#  "

! " !

#

1 1

# # 1

4 ^ cos d* * cos d* * sen*₀# .