COMPITO di ANALISI MATEMATICA 22/04/2020

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 22/04/2020

I M 1) Dopo aver determinato il numero complesso che risulta soluzione dell'equazioneD

D D

"  3  "  3 œ #3, calcolare le sue radici cubiche ^$ D. D D " " "  3  "  3

"  3  "  3 œ D "  3  "  3 œ D "  3 "  3 œ D # œ #3 Ê D œ #3

     # .

Essendo #3 œ # cos  3sen si haÀ

# #

 1 1

^$ D œ^$ #cos1 1 sen1 1

'  5 #$  3 '  5 #$ ß ! Ÿ 5 Ÿ # .

Per 5 œ ! si ha D œ # # $  3" à

# #

! _$  _$  

cos1 sen1

'  3 ' œ

per 5 œ " si ha D œ # #  $  3" à

# #

" _$  _$  

cos& sen&  '1  3 '1 œ

per 5 œ # si ha D œ# ^$ #cos$ sen$    ^$ #  3 Þ

#1  3 #1 œ

I M 2) Data la funzione ,

0 Bß C œ Bß C Á !ß !

5 Bß C œ !ß !

 







   

   

 

 

B  C B  C

% % #

# # $ determinare il valore di

5 che la rende continua in  !ß ! e verificare poi se tale funzione risulta differenziabile nel punto  !ß ! .

Calcoliamo lim passando a coordinate polari ed avremo:

   BßC Ä !ß!

 

 

B  C B  C

% % #

# # $

lim lim lim

   BßC Ä !ß! Ä! Ä!

) % %

'

# % %

   

B  C    

B  C 

% % # #

# # $

Ê œ # œ !

4 4 cos * sen * 4 cos sen .

4 4 * *

La convergenza è uniforme in quanto 4^#cos^%*sen^%*^# Ÿ %4^#. Quindi la funzione è continua in  !ß ! se 5 œ !.

Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! " 2

`B !ß ! œ lim  2   œ lim † 2 œlim 2 œlim2 œ ! à

2Ä! 2Ä! 2Ä! 2Ä!

) (

 

 

2  ! 2  !

% % #

# # $

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! " 2

`C !ß ! œ lim  2   œ lim † 2 œlim 2 œlim2 œ ! Þ

2Ä! 2Ä! 2Ä! 2Ä!

) (

 

 

!  2

!  2

% % #

# # $

Quindi f0   !ß ! œ !ß ! .

Per la differenziabilità in  !ß ! dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se:

   BßC Ä !ß!lim # #

 

 

B  C B  C †

% % #

# # $

"

B  C œ !

 . Passando a coordinate polari si ha:

lim lim lim

   BßC Ä !ß! # # Ä! Ä!

) % %

(

% %

   

 B  C   

B  C 

% % # #

# # $

#

B  C Ê œ œ !

4 4 cos * sen * 4 cos sen

4 4 * *

e la convergenza è uniforme in quanto 4cos^%*sen^%*^# Ÿ %4 e quindi la funzione è dif- ferenziabile in  !ß ! .

I M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ /  ^{B C# #} /^BC œ ! soddisfatta nel punto  !ß ! , verificare che con essa risulta definibile una funzione implicita C œ C B  e calcolare poi, nel punto considerato, la derivata prima e la derivata seconda di tale funzione implicita.

La funzione 0 Bß C  è funzione differenziabile a Bß C −  ‘^#. Risulta poi:

f0 B ß Cœ #B /^{B C# #} /^BCà #C /^{B C# #} /^BC per cui f0  !ß ! œ  "à ". Essendo 0_C^w !ß ! œ " Á ! è possibile definire una funzione implicita B Ä C B . Per le sue derivate avremo: C ! œ   " œ " Þ Essendo:

"

w 

‡     ‡

   

Bß C œ %BC œ " "

%BC " "

#  %B

#  %C

#

#

/  / /  /

/_{B C}^{B C} /_BC^{BC B C}/_{B C}  /^BC_BC !ß !

# # # #

# # # # sarà   e

dalla C œ  0  #0 C  0 C otteniamo C œ  œ  % Þ

0 "

"  #  "

ww ww ww w ww w ww

BB BC CC #

Cw

   !

I M 4) Date 0 Bß C œ B C  e 1 Bß C œ B  C  ^{# #} determinare per quali valori del parametro α risulta W_@0 "ß " œ  W_@1 "ß " , dove @œ cosαßsenαÞ

Le funzioni 0 Bß C œ B C  e 1 Bß C œ B  C  ^{# #} sono dei polinomi e quindi sono differenzia- bili di qualsiasi ordine a Bß C −  ‘^#.

Quindi H 0@  "ß " œ f0 "ß " † @ e H 1@  "ß " œ f1 "ß " † @. Essendo:

f0 B ß C œ Cà BÊf0   "ß " œ "ß " e f1 B ß C œ #Bà #C Êf1 "ß " œ  #à # per avere W_@0 "ß " œ  W_@1 "ß "  dovrà essere:

 "ß " cosαßsenαœ # à # cosαßsenαÊcosαsenαœ ! per cui αœ $ 1 oppure αœ (1.

% %

II M 1) Risolvere il problema Max min   . s v

Î 0 Bß Cß D œ B  #C  $D Þ Þ B  C  D œ "%^{# # #}

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, il vincolo definisce una regione ammissibile X che risulta un insieme compatto in quanto costituito da soli punti di frontiera (la superficie di una sfera) e quindi sicuramente esistono il valore massimo ed il valore mini- mo.

Essendo un problema con vincoli di uguaglianza costruiamo la funzione Lagrangiana ed ap- plichiamo ad essa le condizioni del I e quelle del II ordine. Avremo:

ABß Cß Dß-œ B  #C  $D-B  C  D  "%^{# # #} . Applicando le condizioni del primo ordine avremo:

f Ê Ê Ê œ "  # B œ !

œ  #  # C œ ! œ $  # œ !

œ œ  œ

A - 

A -

A -

A -

Bß Cß Dß œ

D B  C  D œ "%

B C D

  œ "%

 

 

 

 

 















wB wC wD

# # #

"

# "

$

" # " *

% %

- - -

-^# -^# -^#

Ê Ê Ê ∪

œ œ  œ

œ œ  œ

œ " œ  "

œ  # œ #

œ $ œ  $



 

 

   

   

   

   

   

   

   

 

 







 

 

B C D

œ "% œ

B C D

B B

C C

D D

œ œ 

Þ

"

# "

$

"% # "

%

"

# "

$

# " "

- - - -

- - -

# - - -

# % # #

Abbiamo due soli punti stazionari: T œ "ß  #ß $_"   e T œ  "ß #ß  $_#  .

Per il Teorema di Weierstrass, essendo 0 "ß  #ß $ œ "%  e 0  "ß #ß  $ œ  "%  risulta ovviamente che è il punto di massimo mentre è il punto di minimo.T_" T_#

Se avessimo voluto applicare le condizioni del II ordine avremmo costruito la matrice Hessia-

na orlata: ‡  per calcolare poi di questa, nei pun-

 

 

 

 

 

 

 

 

Bß Cß Dß œ

! #B #C #D

#B  # ! !

#C !  # !

#D ! !  #

- -

-

- ti e , i minori T" T# ‡$ e ‡%.

Essendo ‡ 

 

 

 

 

 

 

 

 

T_" œ À

! #  % '

#  " ! !

 % !  " !

' ! !  "

risulta

‡_$ T_" œ #!  ! e ‡_% T_" œ  &'  ! e quindi è punto di massimo;T_"

‡$ T# œ  #!  ! e ‡% T# œ  &'  ! e quindi è punto di minimo.T"

II M 2) Risolvere il sistema omogeneo di equazioni differenziali: B œ B  C , determi- C œ B  $C

w w

nando poi la soluzione che soddisfa alla condizione    B ! œ "  C ! œ  " .

B œ B  C B  B  C œ ! H  " "  

C œ B  $C Ê  B  C  $C œ ! Ê B œ ! Ê

 " H  $

w w

w w

Ê H  %H  % B œ ! Ê H  # ^#      ^# B œ ! Ê B  %B  %B œ !^{ww w} .

Da - #^# œ ! otteniamo -_" œ-_# œ # e quindi la soluzione generale dell'equazione omo- genea per B >  sarà: B > œ - /  - > /  " #> # #>.

Dalla prima equazione otteniamo: C œ B  B^w e quindi:

C > œ  - /  - > /_" ^#> _# ^#> # - /  - /  #- > /_" ^#> _# ^#> _# ^#>œ - /  - "  > /_" ^#> _#  ^#>. Quindi la soluzione generale   B > œ - /  - > /

- /  - "  > /

  ^{" #}  

#> #>

" #> # #>

C > œ  o anche:

      

B > 

C > œ †



/ > / -

/  "  > / -

#> #>

#> #> "

  # .

Imponendo ora le condizioni    otteniamo:

B ! œ "  C ! œ  "

    

B ! œ  " " "

C ! œ œ  " œ  " œ !

- œ - œ - œ

-  - "  - -

" " "

" # # #

 Ê  Ê e quindi la soluzione parti-

colare:   B > œ / . /

  ^#>

#>

C > œ 

II M 3) Risolvere il problema di Cauchy:   C  œ ". C ! œ "

w C^#

Da C ^w C^# œ "ÊC œ " ^w C^#, equazione a variabili separabili per cui:

" " "

Ê Ê C œ B  5

"  C œ " "  C .B œ "  .C œ " .B  5

C^# C^# C^#

w  w   arctg .

Quindi la soluzione generale C œ tgB  5. Dalla C ! œ "  otteniamo: tg 5 œ " e quindi

5 œ C œ B 

% %

1 1

da cui la soluzione particolare del problema tg . II M 4) Data œBß C − ‘²: ! Ÿ C Ÿ Bà" Ÿ B  C Ÿ %^{# #}  calcolare:

 



d d .

B  C^{# #} B C

Vista la regione di integrazione:

conviene calcolare l'integrale passando subito a coordinate polari:

     



d d d d d d

B  C^{# #} B C œ † œ œ

! " ! "

# #

#

1 1

% %

4 4 4 * 4 4 *

œ " œ )  " œ (  ! œ (

$ $ $ $ % "#

       

! !

$

"

1 # 1

% %

4 * * 1 1

d d .