COMPITO di ANALISI MATEMATICA 15/07/2020

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 15/07/2020 I M 1) Calcolare le radici cubiche del numeroD œ "  3 .

"  3

Essendo "  3œ # cos(  3sen( e "  3œ # cos  3sen si ha À

% % % %

  1 1   1 1

D œ "  3 œ œ

"  3

#

#





 

cos sen     

cos sen cos sen

( (

% %

% %

1 1

1 1

 3

 3

( (

%1  1%  3 %1  1% œ D œ cos' sen' cos$ sen$

%1  3 %1 œ #1  3 #1 œ  3

. Avremo quindi:

^$ D œ cos1 1 sen1 1

#  5 #$  3 #  5 #$ ß ! Ÿ 5 Ÿ # . Per 5 œ ! si ha D œ_! cos1 sen1 à

#  3 # œ 3

per 5 œ " si ha D œ_" cos( sen( $ " à '1  3 '1 œ  #  # 3 per 5 œ # si ha D œ_# cos"" sen"" $ " Þ

'1  3 '1 œ #  # 3

I M 2) Data la funzione ,

0 Bß C œ

B C  BC

B  C Bß C Á !ß !

5 Bß C œ !ß !

 





   

   

2 2

2

# determinare il valore di 5

che la rende continua in  !ß ! e verificare poi se tale funzione risulta differenziabile nel punto

 !ß ! .

Calcoliamo lim passando a coordinate polari ed avremo:

   BßC Ä !ß! #

B C  BC B  C

2 2

2

lim lim

   BßC Ä !ß! # Ä! #

B C  BC $ 

B  C Ê œ

2 2

2 4

cos sen cos sen

4 * * * *

4

 

œ lim  œ !

4Ä!4cos* sen*cos sen* * .

La convergenza è uniforme in quanto 4cos*sen*cos sen* * Ÿ #4. Quindi la funzione è continua in  !ß ! se 5 œ !.

Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! "

`B !ß ! œ lim  2   œ lim † 2 œ ! à

2Ä! 2Ä!

! 2^#

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! "

`C !ß ! œ lim  2   œ lim † 2 œ ! Þ

2Ä! 2Ä!

! 2^# Quindi f0   !ß ! œ !ß ! .

Per la differenziabilità in  !ß ! dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se:

   BßC Ä !ß!lim # # #

B C  BC "

B  C B  C œ !

2 2

2 †  . Passando a coordinate polari si ha:

4Ä!lim

$ $

# $

cos sen cos sen cos sen cos sen

4 * * * * 4 * * * *

4 4 4

   "   

œ

† œ

œcos*sen*cos sen* *œ ! solo per particolari valori di e quindi la funzione non è* differenziabile in  !ß ! Þ

I M 3) Dato il sistema sen cos soddisfatto in ,

      

   

0 Bß Cß D œ BC  BD œ "

1 Bß Cß D œ B C  BD  DC œ "_{3 2 3 3} T œ !ß "ß "_! verificare che con esso si può definire una funzione implicita D Ä Bß C  e di questa si calco- lino le derivate prime in D œ ".

Le funzioni 0 Bß Cß D   e 1 Bß Cß D sono funzioni differenziabili a Bß Cß D −  ‘^$. Risulta poi:

` 0 ß 1

` Bß Cß D œ C BC  D BD B BC  B BD

$B C  D #B C  $DC  $BD  C

 

   cos   sen  cos   sen 

e quindi:

# 2 3 3 # # 3

` 0 ß 1

` Bß Cß D T œ " ! ! Þ " ! œ $ Á !

 " $ "  " $

 

   ^!  Dato che   si può definire una funzio-

ne implicita D Ä Bß C  per le cui derivate avremo:

d d

dB ! ; dC "

D œ  œ  $ œ ! D œ  œ  $Þ

! ! " !

" $  " "

" ! " !

 " $  " $

   

   

I M 4) Data 0 Bß C œ B C  ed i vettori •œ "ß "  e –œ "ß  " , siano e i loro verso-@ A ri; determinare il punto B ß C! ! sapendo che W@0 B ß C ! !œ# e che WA0 B ß C ! !œ !. La funzione 0 Bß C œ B C  risulta palesemente differenziabile a Bß C −  ‘^#.

Quindi H 0_@ B ß C_{! !} œ f0B ß C_{! !}† @ e H 0_A B ß C_{! !}œ f0B ß C_{! !}† A. Essendo: f0 B ß C œ Cà BÊ f0B ß C! ! œ C ß B! !à inoltre:

@ œ " à " A œ " à  "

# # # #

   e   , e quindi avremo:

     

 









  

 

W W

@ ! !

A ! !

! !

! !

! ! !

! ! !

0 B ß C œ #

0 B ß C œ ! Ê Ê Ê Þ

C ß B œ #

C ß B œ !

C  B œ # B œ "

C  B œ ! C œ "

†

†

 

 

" "

# #

" "

# #

 

 

à à 

II M 1) Risolvere il problema Max/min .

s.v.: 4 4

 0 Bß C œ B  B C  B  C Ÿ

# 2

2 2

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, il vincolo definisce una regione ammissibile X (ellisse) che risulta un insieme compatto in quanto limitato e chiuso e quindi si- curamente esistono il valore massimo ed il valore minimo. Essendo un problema con vincolo di disuguaglianza applichiamo le condizioni di Kuhn-Tucker, troviamo le soluzioni e poi stu- diamo la funzione obiettivo sulla frontiera di .X

Per applicare le condizioni di Kuhn-Tucker, costruiamo la funzione Lagrangiana À ABß Cß-œ B  B C ^{# 2} -4B  C ^{2 2} 4 .

Applicando le condizioni del primo ordine avremo:

1) caso - œ ! À

 

 

         

A

A ‡ ‡

wB wC

œ #B œ !

œ #BC œ !

B œ ! C œ !

!

à Bß C œ # #C !ß ! œ # !

#C #B ! !

 C B  C Ÿ

Ê Ê

Ÿ

2

2 2

4 4 4

Possiamo solo per ora dire che  !ß ! non è un punto di Massimo.

Essendo 0 !ß ! œ !  studiamo il segno della funzione in un intorno di  !ß ! . Essendo 0 Bß C œ B B  C   ^# avremo:

0 Bß C  !  per B  !   B  !  

B   C_# " oppure per B   C_# # mentre risulta:

0 Bß C  !  per B  ! B  !  

B   C_# (impossibile) oppure per B   C_# $ . Graficamente avremo:

Quindi, come si vede dalla figura, in ogni intorno di  !ß ! ci sono punti in cui 0 Bß C  !  e punti in cui 0 Bß C  !  . Il punto  !ß ! è quindi un punto di sella.

2) caso - Á ! À

 

   

       

 

 

A A

wB wC

œ #B œ !

œ #BC  # œ #C B  œ !

#B "  % œ ! C œ !

B œ " B œ  "

C œ ! C œ !

 C  ) B B  C œ

Ê Ê Ê

B œ " œ œ

2

2 2 2

-

- -

-

- -

C

4 4 ^"_% ^"_%

dato che in ambedue risulta - œ "  ! questi potrebbero essere punti di Massimo; oppure:

  % 

  

#B  œ ! #B œ ! 

#C B  œ ! B œ œ

% %

 C  ) B  C  )B B œ

%B  C œ B  C œ B  )B  #B œ %

Ê Ê C )B  #B Ê

2 2

2 2 2 2 2

2

-

- -

-

4 4

#

#

#

Ê C )B  #B Ê C )B  #B

"#B  #B  % œ ! B  B  # œ !

 

 

 

B œ B œ

œ œ

'

- -

2 2

2 2

# # .

Da B œ "„ "  %) œ "„( si ha B œ # oppure B œ  " e quindi:

"# "# $ #



   

   

   

   

   

   

   

   

   

B œ œ

B œ œ

B œ B œ

œ œ 

#

$ % #

* $

#

$

#

$#!

#*

$

# #

$ $

#! #!

$ $

# #

$ $

C )  #

œ

Ê C Ê ∪

œ

C C

œ œ

2 2

- - - -

 

e dato che in ambedue risulta - œ #  ! questi potrebbero essere punti di Massimo; oppure:

 $

   

   

   

   

   



  

  

 

B œ 

œ 



B œ  œ $



B œ  B œ 

œ $ œ  $

 

"

"# "

% #

"

#

"

#

"

#

" "

# #

" "

# #

C )  # Ê Ê ∪

œ

C œ

C C

œ œ

2   2

- - - -

e dato che in ambedue risulta - œ  " ! questi potrebbero essere punti di Minimo.

#

Studiamo la funzione obiettivo sul vincolo 4B  C œ^{2 2} 4 usando la trasformazione in coordi-

nate polari: B œ >  

C œ #cos > Þ 0 > œ >  > † % > Ê sen Risulta quindi: cos^# cos sen^# Ê 0 > œ #^w  cos>  sen>    sen> %sen^#>  cos> † )sen cos> > Ê Ê 0 > œ  #^w  sen cos> >  %sen^$>  )sen cos> ^#> Ê

Ê 0 > œ #^w  sen>  cos>  #sen^#> 4 cos^#> Ê

Ê 0 > œ #^w  sen>  cos>  # "  cos^#>  4 cos^#> œ # sen> ' cos^#> cos>  #Þ

Quindi 0 >   ! per >   ! > Ÿ !

' >  >  #   ! ' >  >  # Ÿ !

w  sen # oppure sen # .

cos cos cos cos

Risulta sen>   ! per ! Ÿ > Ÿ1 e sen> Ÿ ! per 1Ÿ > Ÿ # Þ1

Si ha cos' ^#> cos>  # œ ! per cos> œ "„ "  %) Êcos>œ # cos>œ  "

"# $ #

 e .

Quindi cos' ^#> cos>  #   ! per cos>Ÿ  " cos>   #

# e per $.

e quindi otteniamo:

La funzione 0 >  quindi sulla frontiera di :X

cresce per ! Ÿ > Ÿα_"; decresce per α_" Ÿ > Ÿα_#; cresce per α_# Ÿ > Ÿ1; decresce per 1Ÿ > Ÿα_$; cresce per α_$ Ÿ > Ÿα_%; decresce per α_% Ÿ > Ÿ # Þ1

E quindi, relativamente ai punti della frontiera di :X

  

  

# #! "

$à $ è punto di massimo,  à# $ è punto di minimo,  "à ! è punto di massi- mo, _ à " ^$_ è punto di minimo, _#à ^#!_ è punto di massimo, è punto di

# $ $  "à !

minimo.

Tutte le conclusioni ottenute studiando la frontiera coincidono con quelle ipotizzate mediante il segno del moltiplicatore, eccetto che per il punto  "ß ! che per l'analisi sulla frontiera sarebbe minimo mentre per il moltiplicatore sarebbe massimo e quindi non è nulla.

Essendo 0  "ß ! œ " e 0 œ 0 œ &# i punti e

  _^#_$^{À }_$^#!_{ }^#_$ ^{À }_$^#!_ #( _^#_$ ^{À }_$^#!_

# #!

$ À  $ sono punti di massimo assoluto, il punto  "ß ! è di massimo relativo.

Il valore minimo assoluto si ottiene con 0_" À^$_œ0_" À ^$_œ &Þ

# # %

In conclusione:

II M 2) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B œ B  C  "

C œ B  C  "

w

w .

B  B  C œ " H  "  "    B " 

 B  C  C œ  " Ê † œ Ê

 " H  " C  "

w

w

Ê H  "  " B œ "  " Ê H  "  " B œ H  " "  " Ê

 " H  "  " H  "

      ^#     

Ê H  "  " B œ H  " "  " Ê H  # B œ "  " Ê B  #B œ ! Þ ^#       ^#   ^ww

Da -^## œ ! otteniamo -" œ #ß-# œ  e quindi la soluzione generale dell'equa-# zione omogenea per B >  sarà: B > œ - /  " # > - /# # >.

Dalla prima equazione otteniamo À

C œ B  B  " Ê C > œ^w   #- /_" ^{# >}#- /_# ^{# >} - /_" ^{# >} - /_# ^{# >} "

e quindi

C > œ  #  "- /_" ^{# >}#  "- /_# ^{# >} " Þ

II M 3) Risolvere l'equazione differenziale di Bernoulli C  C œ B.

B C

w

Riscriviamo l'equazione come C  "C œ B C . Quindi:

B

w "

: B œ " ; B œ B œ  " Þ C œ C œ A C œ A

  B ,   e α Posto ^{"α #} otteniamo  da cui poi C œ " † A " † A  " A œ B "

# A # A B A

w w w

 e quindi sostituendo:    .

Moltiplicando tutto per # A otteniamo infine: A  # A œ #B che integriamo come

 ^w B

equazione lineare del I ordine non omogenea ottenendo:

A B œ /  ^{ B#dB} #B /^{ #BdB}dB  5œ /^#logB #B /^#logBdB  5œ A B œ B #B " B  5 œ B #" B  5 œ B # B  5 Þ

B B

  ^# _# d  ^# d  ^# log 

E dalla C œA otteniamo la soluzione finale C œ B #^# logB  5.

II M 4) Data œ Bß C −‘ : " Ÿ B  C Ÿ % ßcalcolare BC d d .B C B  C

  2     

2 2

! Ÿ C à ^{# #}



Vista la regione di integrazione:

e le simmetrie della funzione integranda: 0 Bß C œ 0  Bß  C œ 0  Bß C œ 0 Bß  C        l'integrale dato corrisponde a À # † BC d d , dove:B C

B  C

 

"

2 2

" œBß C − ‘²: ! Ÿ B à ! Ÿ C à" Ÿ B  C Ÿ %# # . Operando la sostituzione in coordinate polari avremo:

# BC B C œ # œ # † œ

B  C

     

"

2 2 d d cos sen2 d d cos sen d d

! " ! "

# # #

1 1

# 4 * * #

4 4 4 * * * 4 4 *

œ # " œ %  " œ $ Þ

 #     

! ! !

#

"

1 # 1 1

# # #

4 cos sen d* * * cos sen d* * * cos sen d* * * Dato che:  cos sen d* * *œ sen d sen*  *œ "sen * avremo infine:

#

#

# BC B C œ $ " œ $ "  ! œ $ Þ

B  C # # #

     

"

2 2 d d sen^#

!

*

1

#