Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 18-19) 4 giugno 2019
Compito unico
) Indichiamo con la proposizione composta e con la , la tavola di verità richiesta è la seguente:
) Per gli insiemi , e valgono le seguenti inclusioni: e ; pertanto
e
. Per quanto riguarda la natura degli insiemi notiamo che la frontiera di è quindi
è un insieme aperto e di conseguenza è aperto, mentre
quindi è un insieme chiuso e di conseguenza è chiuso.
) , .
.
)
.
Per , e , pertanto
.
) : ; .
; funzione pari, la studiamo
solo per ed operiamo per simmetria.
Segno ed intersezioni con gli assi: se ,
vera , funzione positiva in , nessuna intersezione con gli assi.
Limiti agli estremi del :
, asintoto verticale di equazione
;
, asintoto orizzontale dx di equazione
.
Crescenza e decrescenza: .
. Funzione strettamente decrescente in .
Concavità e convessità: , . Funzione strettamente
convessa in . Grafico:
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
grafico funzione
)
7) I polinomi di MacLaurin di secondo grado delle funzioni e sono
rispettivamente e , pertanto il polinomio
cercato è
.
8) , ; posto
si ottiene facilmente , e .
