Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 13-14) 12 giugno 2014
Compito
)
Le inclusioni e sono vere quindi consideriamo solo le righe ove entrambe sono vere, dato che nella quinta riga risulta una falsità, concludiamo che l'inclusione è falsa.
) La parola è formata da otto lettere tutte distinte quindi i suoi anagrammi possibili sono , mentre la parola è formata da sei lettere nelle quali la lettera si presenta tre volte, i suoi anagrammi possibili sono .
) L'intersezione in implica che ovvero da cui , la presenza dell'asintoto orizzontale di equazione equivale a
, ma e quindi ;
infine la presenza di un asintoto verticale di equazione impone
e questo è possibile se e solo se ovvero
da cui . I valori dei parametri richiesti sono , e
.
)
;
, e
così come non esistono ma le espressioni e
sono limitate quindi
.
) : , : ; : ; il rapporto è positivo per
ovvero .
Segno: Funzione positiva in , negativa in .
Intersezioni: , impossibile. La
funzione non presenta intersezioni.
Limiti agli estremi del :
;
;
.
La funzione presenta asintoto orizzontale completo di equazione ed asintoti verticali di equazione e .
Crescenza e decrescenza: .
Funzione strettamente decrescente.
Concavità e convessità: .
. Funzione strettamente concava in
, strettamente convessa in . Nessun flesso.
Grafico:
) Posto risulta da cui .
.7) Indicato il vettore con , se per qualche
, e ha modulo se . Dalla condizione di parallelismo
otteniamo e che poste nella condizione sul modulo danno
ovvero ; il vettore cercato è o .
Indichiamo adesso , è ortogonale a e a se e
, inoltre la condizione sul modulo impone . Da
e si ha e che risolte portano a e , sostituite nella condizione sul modulo otteniamo ovvero ; il vettore cercato è o
.
8) .
: , da questo sistema si
ottengono due nuovi sistemi: il primo che ha come soluzioni i
punti e ed il secondo che ha un'unica
soluzione il punto .
.
: sella.
sella.
; . massimo.
Compito
)
Le inclusioni e sono vere quindi consideriamo solo le righe ove entrambe sono vere, dato che in tutte le sei righe nelle quali entrambe le inclusioni sono vere risulta sempre vera, concludiamo che l'inclusione proposta è vera.
) La parola è formata da sei lettere tutte distinte quindi i suoi anagrammi possibili sono , mentre la parola è formata da otto lettere nelle quali le lettere e si presenta due volte, i suoi anagrammi possibili sono
.
) L'intersezione in implica che ovvero da cui , la presenza dell'asintoto orizzontale di equazione equivale a
, ma e quindi
; infine la presenza di un asintoto verticale di equazione impone
e questo è possibile se e solo se ovvero
da cui . I valori dei parametri richiesti sono , e
.
)
;
.
) : , : ; : ; il rapporto è positivo per
ovvero . Segno:
Funzione positiva in , negativa in .
Intersezioni: , impossibile.
La funzione non presenta intersezioni.
Limiti agli estremi del :
;
;
.
La funzione presenta asintoto orizzontale completo di equazione ed asintoti verticali di equazione e .
Crescenza e decrescenza: .
Funzione strettamente decrescente.
Concavità e convessità: .
. Funzione strettamente concava in
, strettamente convessa in . Nessun flesso.
Grafico:
) Posto risulta da cui .
.
7) Indicato il vettore con , se per qualche
, e ha modulo se . Dalla condizione di parallelismo otteniamo e che poste nella condizione sul modulo danno
ovvero ; il vettore cercato è o
.
Indichiamo adesso , è ortogonale a e a se e
, inoltre la condizione sul modulo impone . Da
e si ha e che risolte portano a e , sostituite nella condizione sul modulo otteniamo ovvero ; il vettore cercato è o
.
8) .
: , da questo sistema si
ottengono due nuovi sistemi: il primo che ha come soluzioni
i punti e ed il secondo che ha un'unica
soluzione il punto .
.
: sella.
sella.
; . minimo.
