In primo luogo possiamo considerare l’insieme dei numeri interi N = {1, 2, 3

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Lezione 1 02/10/09

GLI INSIEMI E LE OPERAZIONI TRA INSIEMI

Uno dei concetti più primitivi della matematica è quello di insieme. Un insieme altro non è che una collezione di oggetti. Gli insieme vengono usualmente indicati con lettere maiuscole, ad esempio A. Per dire che un determinato oggetto a appartiene all’insieme A si scrive a ∈ A.

Un insieme può essere descritto in differenti modi; elencando tutti gli elementi che appartengono all’insieme ( operazioni assai lunga se l’insieme in questione è un insieme con un numero infinito di elementi ) oppure descrivendo la proprietà che un generico oggetto deve soddisfare per appartenere all’insieme. I principali insiemi cui saremo interessati sono gli insiemi numerici, che certamente già conoscete. Per fissare le notazioni ricordiamo quali siano tali insiemi. In primo luogo possiamo considerare l’insieme dei numeri interi N = {1, 2, 3 . . . } ( alcuni considerano in tale insieme anche il numero 0, tale questione è oggetto di una disputa infinita tra i matematici ).

L’insieme dei numeri interi Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }. A seguire abbiamo l’insieme dei numeri razionali Q = {^ab | a, b ∈ Z, b 6= 0}, l’insieme dei numeri reali R e l’insieme dei numeri complessi C = {a + ib | a, b ∈ R, i²= −1}.

L’insieme che non contiene alcun elemento è detto insieme vuoto e viene usualmente denotato con ∅. Se A e B sono due insiemi tali che b ∈ B =⇒ (implica) b ∈ A, B è detto sottoinsieme di A, B ⊆ A. Se inoltre esiste almeno un elemento a ∈ A tale che a 6∈ B, allora B è detto sottoinsieme proprio di A, B ⊂ A. L’insieme vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme A, è un sottoinsieme proprio se A 6= ∅. Per gli insiemi numerici precedentemente introdotti abbiamo la catena di inclusioni:

∅ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Effettuare un’operazione tra insiemi significa costruire un nuovo insieme C a partire da dati insiemi A e B. Le operazioni che possiamo introdurre sono le seguenti. Siano A e B due insiemi. L’insieme unione di A e B `e l’insieme formato da tutti gli elementi x che appartengono ad A o a B; in simboli:

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B} . Osserviamo che se B ⊆ A, in particolare se B = ∅, allora A ∪ B = A.

L’insieme intersezione di A e B `e l’insieme formato da tutti gli elementi x che appartengono ad A e a B; in simboli:

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} . Osserviamo che se B ⊆ A, in particolare se B = ∅, allora A ∩ B = ∅.

L’insieme differenza `e l’insieme formato da tutti gli elementi x di A che non appartengono a B; in simboli:

A/B = {x | x ∈ A e x 6∈ B}.

Se B ⊆ A `e possibilire definire il complementare di B in A come l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B; in simboli

CA(B) = {x | x ∈ A, x 6∈ B} . Chiaramente valgono le relazioni B ∪ CA(B) = A e B ∩ CA(B) = ∅.

L’insieme prodotto cartesiano di A e B `e l’insieme delle coppie ordinate (a, b), con a ∈ A e b ∈ B;

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in simboli:

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

E importante osservare che in generale A × B 6= B × A.`

Esercizio 1. Siano A = Z e B = {x ∈ R | x < e}. Detrminare gli insiemi A∪B, A∩B, A/B, B/A.

Soluzione dell’esercizio 1. L’insieme unione `e il seguente

A ∪ B = {x ∈ R | x < e} ∪ {x ∈ Z | x > 2}.

Per quanto riguarda l’insieme intersezione otteniamo

A ∩ B = {x ∈ Z | x < e} = {x ∈ Z | x ≤ 2}.

Gli insiemi differenza sono invece i seguenti

A/B = {x ∈ Z | x > 2} = {3, 4, 5, . . . }, B/A = {x ∈ R | x < e, x 6∈ Z}.

Esercizio 2. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di N, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, . . . , 2n + 1, . . . } (il sottoinsieme dei numeri dispari). Verificare che si ha

C_N(A ∩ B) = C_N(A) ∪ C_N(B), C_N(A ∪ B) = C_N(A) ∩ C_N(B).

Soluzione dell’esercizio 2. Come prima cosa determiniamo i sottoinsiemi unione ed intersezione,

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, . . . , 2n + 1, . . . }, A ∩ B = {1, 3, 5}.

Calcoliamo adesso i complementari degli insiemi di partenza A e B, C_N(A) = {6, 7, . . . },

C_N(B) = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . . } sottoinsieme dei numeri pari, e degli insiemi unione ed intersezione

C_N(A ∪ B) = {6, 8, . . . , 2n, . . . }, C_N(A ∩ B) = {n ∈ N | n 6= 1, 3, 5}.

Possiamo ora determinare i sottoinsiemi unione ed intersezione dei complementari C_N(A) ∪ C_N(B) = {2, 4, 6, 7, . . . } = {n ∈ N | n 6= 1, 3, 5} = CN(A ∩ B) ,

C_N(A) ∩ C_N(B) = {6, 8, . . . , 2n, . . . } = C_N(A ∪ B) .

Le relazioni ora provate in questo caso particolare valgono in realtà per qualunque coppia di sottoinsiemi A e B di un insieme C e dimostrano che il complementare dell’intersezione di due insiemi è l’unione dei complementari degli insiemi mentre il complementare dell’unione di due insiemi è l’intersezione dei complementari dei due insiemi.

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LE APPLICAZIONI TRA INSIEMI

Presi due insiemi A e B, un’applicazione f tra A e B è una legge che associa ad ogni elemento di A un unico elemento di B. L’insieme A è detto dominio dell’applicazione, mentre l’insieme B è detto codominio. Ogni applicazione f determina un sottoinsieme di B, detto immagine di A tramite f Im f . Si tratta del sottoinsieme degli elementi di B che siano immagine di almeno un elemento di A, in simboli

Im f = {b ∈ B tali che ∃a ∈ A | f (a) = b}.

Un’applicazione f si dice iniettiva se ad elementi distinti nel dominio corrispondono immagini distnite nel codominio. Un’applicazione di dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A, ovvero se Im f = B. L’iniettività può invece essere descritta equivalentemente dicendo che

a1, a2∈ A, a16= a2 =⇒ f (a1) 6= f (a2), oppure che

f (a1) = f (a2) =⇒ a1= a2.

Questa equivalenza segue dal fatto generale che se ho due proprietà p e q di cui una implica l’altra, diciamo p =⇒ q, allora se si considerano le negazioni di tali proprietà ¬p e ¬q varrà l’implicazione

¬q =⇒ ¬p.

Un imortante fenomeno, legato alla meteorologia, che segue immediatamente da tale proprietà è il seguente: consideriamo p = piove e q = prendo l’ombrello. Molte persone sono solite affermare prima di uscire di casa ”Se piove allora prendo l’ombrello”, che tradotto nel nostro linguaggio è esattamente p =⇒ q. La negazione di tale affermazione è ¬q =⇒ ¬p. Passando dalle formule al linguaggio ne segue che l’affermazione ”Se piove allora prendo l’ombrello” è logicamente (?) equivalente all’affermazione ”Se non prendo l’ombrello allora non piove”. Questo spiega perché a Londra, dove le persone sono solite girare con l’ombrello, difficilmente si veda il sole...

E importante sottolineare come la proriet`` a di un’applicazione f di essere iniettiva o suriettiva dipenda non solo dall’applicazione assegnata ma anche dal dominio e dal codominio di f .

Esercizio 3. Stabilire per ciascuna delle seguenti applicazioni tra insiemi se siano iniettive e/o suriettive:

f : N −→ Q

n 7→ _n¹,

g : R −→ R≥0= {x ∈ R | x ≥ 0}

x 7→ x²,

h : Z −→ Z

n 7→ −n.

Soluzione dell’esercizio 3. f `e un’applicazione iniettiva, numeri naturali differenti hanno reciproci differenti. Ovvero f (m) = _m¹ = ¹_n = f (n) =⇒ m = n. f non `e un’applicazione suriettiva.

Infatti non `e possibile ottenere tramite f i numeri razionali negativi e le frazioni ridotte del tipo

p

q, con p 6= 1.

g non `e un’applicazione iniettiva. Un numero e il suo opposto hanno infatti la stessa immagine tramite g; g(x) = x² = g(−x). g `e un’applicazione suriettiva, infatti per ogni y ∈ R≥0 abbiamo g(√

y) = (√

y)²= y e ogni y nel codominio `e dunque immagine tramite g di almeno un elemento del dominio.

h `e un’applicazione sia iniettiva che suriettiva. Infatti numeri interi differenti hanno opposti differenti, h(m) = −m = −n = h(n) =⇒ m = n. Inoltre ogni y ∈ Z `e immagine tramite h del suo opposto −y, h(−y) = −(−y) = y.

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Esercizio 4. Sia f l’applicazione da Z × Z in Z definita da:

f [(a, b)] = a − b, ∀ a, b ∈ Z.

Stabilire se f sia iniettiva e/o suriettiva. Definita su Z × Z l’operazione di somma data da:

(a, b) + (a⁰, b⁰) = (a + a⁰, b + b⁰), stabilire se sia verificata o meno la relazione:

f [(a, b) + (a⁰, b⁰)] = f [(a, b)] + f [(a⁰, b⁰)]. (1) Soluzione dell’esercizio 4. f non `e un’applicazione iniettiva, le coppie distinte (1, 0) e (0, −1), ad esempio, hanno medesima immagine tramite f :

f [(1, 0)] = 1 − 0 = 1 = 0 − (−1) = f [(0, −1)].

In generale tutte le coppie del tipo (a, a) hanno come immagine il numero 0.

f `e un’applicazione suriettiva, il generico a ∈ Z pu`o essere ottenuto come immagine tramite f della coppia (a, 0) (o equivalentemente della coppia (0, −a)).

Vogliamo adesso verificare la validit`a o meno della relazione (1). Procediamo sviluppando parallelamente i due membri di tale relazione. Abbiamo:

f [(a, b) + (a⁰, b⁰)] =^? f [(a, b)] + f [(a⁰, b⁰)]

f [(a + a⁰, b + b⁰)] =^? (a − b) + (a⁰− b⁰) (a + a⁰) − (b + b⁰) =^? a − b + a⁰− b⁰ (a + a⁰) − (b + b⁰) =^! (a + a⁰) − (b + b⁰).

f soddisfa la relazione (1).

LE RELAZIONI

Sia A un insieme e siano a, b ∈ A. Se sia a che b soddisfano una medesima fissata propriet`a a e b si dicono in relazione tra di loro, a ∼ b. Gli elementi di un insieme in relazione tra di loro costiuiscono un sottoinsieme dell’insime prodotto cartesiano A × A: {(a, b) | a, b ∈ A, a ∼ b}. Una relazione che soddisfi le propriet`a:

riflessiva : a ∼ a, ∀a ∈ A,

simmetrica : a ∼ b =⇒ b ∼ a ∀a, b ∈ A, transitiva : a ∼ b, b ∼ c =⇒ a ∼ c ∀a, b, c ∈ A,

`

e detta relazione di equivalenza.

Le classi di equivalenza sono i sottoinsiemi formati da tutti gli elementi in relazione con un fissato elemento,

[a]_∼ = {b ∈ A | a ∼ b}.

Un elemento di tale insieme `e detto rappresentante della classe di equivalenza. L’insieme quoziente rispetto alla relazione di equivalenza `e l’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza.

Ad esempio su Z la seguente relazione `e una relazione di equivalenza. Fissato n > 0, diremo che a

`

e congruo a b modulo n , a ≡ b ( mod n ), se

a − b = kn , k ∈ Z

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Tale relazione `e una relazione di equivalenza. Si parla di classi resto mod n. L’insieme quoziente pu`o essere descritto in modo esplicito:

Zn= Z/≡n= {[0], [1], . . . , [n − 1]}.

Tale relazione permette quindi di costruire a partire da un insieme infinito, Z, un insieme finito con esattamente n elementi. Ritorneremo su tale esempio pi`u avanti.

LE STRUTTURE ALGEBRICHE SU DI UN INSIEME

Vogliamo ora dotare i nostri inisiemi di una o più operazioni. A seconda del numero e del tipo di operazioni introdotte otterremo differenti strutture algebriche, cui daremo nomi differenti. Il minimo numero di operazioni che possiamo introdurre è chiaramente 1. Un gruppo è un insieme non vuoto G sul quale sia definita un’operazione binaria ·,

· : G × G −→ G (g, h) 7→ g · h , tale che valga la propriet`a associativa

g · (h · k) = (g · h) · k, ∀g, h, k ∈ G, esista un elemento e ∈ G, detto elemento neutro, tale che

g · e = e · g = g, ∀g ∈ G, esista un elemento g⁰, detto elemento inverso, tale che

g · g⁰= g⁰g = e, ∀g ∈ G.

Se inoltre vale la propriet`a commutativa

g · h = h · g, ∀g, h ∈ G, il gruppo G `e detto commutativo od abeliano.

L’ordine del gruppo `e dato dalla cardinalit`a dell’insieme G. Un gruppo G si dice finito se G contiene un numero finito di elementi, infinito altrimenti.

Se si adotta la scrittura moltiplicativa l’elemento neutro e viene usualmente denotato con 1 e l’elemento inverso con g⁻¹. Con la scrittura additiva, + invece di ·, l’elemento neutro `e solitamente indicato con 0, mentre l’inverso viene chiamato opposto ed indicato con −g.

Proposizione 1. Sia G = (G; ·) un gruppo. Allora l’inverso di ogni elemento `e unico.

Dimostrazione. Supponia per assurdo che g ∈ G ammetta due elementi distiniti come inversi, supponiamo cio`e che esistano g⁰ e g⁰⁰in G tali che

g · g⁰= g⁰· g = e, g · g⁰⁰= g⁰⁰· g = e.

Da qui possiamo ricavare

g · g⁰ = g · g⁰⁰. Moltiplicando tale espressione a sinistra per g⁰ otteniamo

g⁰· (g · g⁰) = g⁰· (g · g⁰⁰) ^propriet`a associativa

=⇒ (g⁰· g) · g⁰= (g⁰· g) · g⁰⁰.

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Per ipotesi g⁰· g = e, quindi

e · g⁰ = e · g⁰⁰.

Poich`e l’elemento neutro e soddisfa e·g = g, ∀g ∈ G, possiamo concludere g⁰ = g⁰⁰e la dimostrazione

`

e terminata.

L’insieme dei numeri naturali rispetto all’usuale operazione di somma non `e un gruppo. Infatti nessun elemento di N ammette opposto (che sia ancora in N!). Gli interi sono invece un gruppo rispetto alla somma, cos`ı come i numeri razionali ed i numeri reali.

Un anello è un insieme non vuoto A sul quale sono definite due operazioni + e · tali che (A; +) sia un gruppo commutativo; l’operazione · definita sull’insieme A^∗= A/{0} sia tale che sia soddisfatta la proprietà associativa, esista un elemento 1 ∈ A tale che 1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ A e valga inoltre la proprietà distributiva del prodotto rispetto all’addizione:

a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A, (b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ A.

Se in aggiunta l’operazione · soddisfa la propriet`a commutativa l’anello A = (A; +, ·) `e detto anello commutativo.

E bene osservare che gli assiomi di anello ora introdotti non implicano che se il prodotto di due` elementi è nullo uno dei due elementi sia necessariamente nullo. Questa proprietà è soddisfatta, come dovremmo sapere, dai numeri reali. L’errore da evitare è quello di ritenerla una proprietà universale. Anche in questo caso un esempio che illustreremo tra breve ci permetterà di chiaririci le idee. Prima introduciamo la nozione di campo. Un campo è un insieme non vuoto k su cui sono definite due operazioni + e · tali che (k; +) sia un gruppo commutativo, (k; ·) sia un gruppo commutativo e valga la proprietà distributiva del prodotto rispetto all’addizione. Ad esempio (Z; +, ·) è un anello commutativo ma non è un campo. Q, R, C sono invece campi (nell’ordine, uno contenuto nell’altro). Nel nostro corso saremo interessati principalmente al campo dei numeri reali.

Torniamo a considerare la relazione di equivalenza precedentemente introdotta su Z e il corrispondente insieme quoziente

Zn= Z/≡n= {[0], [1], . . . , [n − 1]}.

Ci chiediamo se e come sia possibile introdurre una struttura algebrica, ovvero delle operazioni, su tale insieme. Definiamo le seguenti operazioni di somma e prodotto su Zⁿ:

+ : Zn× Zn −→ Zn

([a], [b]) 7→ [a] + [b] = [a + b] ,

· : Zn× Zn −→ Zn

([a], [b]) 7→ [a] · [b] = [a · b] .

Dobbiamo innanzitutto verificare che le operazioni di somma e prodotto ora introdotte siano ben definite, ovvero non dipendano dalla scelta del rappresentante in [a]. Consideriamo quindi a⁰ ∈ [a], cio`e a⁰ = a + kn, per qualche k ∈ Z e b⁰ ∈ [b], cio`e b⁰ = b + hn, per qualche h ∈ Z e verifichiamo che [a⁰] + [b⁰] = [a] + [b] e che [a⁰] · [b⁰] = [a] · [b]. Abbiamo

[a⁰] + [b⁰] = [a + kn] + [b + hn] = [a + kn + b + hn] = [a + b + kn + hn] = [a + b + (h + k)n] = [a + b] + [(h + k)n] = [a + b] + [0] = [a + b + 0] = [a + b] = [a] + [b].

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In maniera del tutto analoga si verifica che anche il prodotto `e ben definito.

Proviamo adesso che (Zⁿ; +) `e un gruppo commutativo. Vale la propriet`a associativa:

[a] + ([b] + [c]) = [a] + [b + c] = [a + b + c] = [a + b] + [c] = ([a] + [b]) + [c], la classe [0] `e elemento neutro rispetto alla somma:

[a] + [0] = [a + 0] = [0 + a] = [a],

per ogni classe [a] la classe [−a] `e elemento opposto rispetto alla somma:

[a] + [−a] = [a + (−a)] = [0], vale la propriet`a commutativa:

[a] + [b] = [a + b] = [b + a] = [b] + [a].

Per quanto riguarda l’operazione di moltiplicazione si può dimostrare (fatelo!) che soddisfa la proprietà associativa, che la classe [1] è elemento neutro per il prodotto e che vale la distributività del prodotto rispetto alla somma. Abbiamo cos`ı dimostrato che (Zn; +, ·) è un anello commutativo.

A differenza dei precedenti esempi questo anello è finito, ovvero il suo insieme sostegno Zn consta di un numero finito di elementi. È importante osservare che, al contrario di quello che accade in Z, in Znl’equazione [a] · [b] = [0] può essere soddisfatta senza che nè [a] nè [b] siano [0]. Scegliamo, ad esempio, n = 12. L’insieme quoziente è allora

Z12= {[0], [1], . . . , [11]}.

Scelti [a] = 3 e [b] = [8] abbiamo

[3] · [8] = [3 · 8] = [24] = [0].

Più in generale fissato n e considerata la sua fattorizzazione in primi n = pê₁¹. . . pê_l^lse a è un divisore non banale di n, a = p^j₁¹. . . p^j_l^l, j1≤ e1, . . . , jl≤ el, allora considerando b = pê₁¹^−j¹. . . pê_l^l^−j^lrisulta

[a] · [b] = [p^j₁¹. . . p^j_l^l] · [p^e₁¹^−j¹. . . p^e_l^l^−j^l] = [p^j₁¹^+e¹^−j¹. . . p^j_l^l^+e^l^−j^l] = [n] = [0].

Tale situazione non si verifica se e soltanto se n `e uguale ad un numero primo p. In questo caso (Z^p; +, ·) `e un campo.