Prova Intermedia di ANALISI MATEMATICA 21/11/2019

(1)

Prova Intermedia di ANALISI MATEMATICA 21/11/2019

I M 1) Data l'equazione polinomiale B ^# # B  5 œ !, si determini il valore di per il5 quale tale equazione ammette la soluzione B œ /¹^%³. Si calcolino poi le radici quadrate del- l'altra soluzione.

Da B œ /¹^%³ otteniamo B œ cos1 sen1 ; dalla B  # B  5 œ ! si

%  3 % œ ##  3## _#  ha:

B œ # „ #  %5 œ #  %5 #  %5 œ  # Ê 5 œ "

# #

  #  # #

# „ œ # „ 3 # se .

La seconda soluzione dell'equazione è quindi B_# œ #  3 # œcos(  3sen ( .

# # % %

  1 1

Quindi B# œcos( 5 #  3sen( 5 # ß !Ÿ 5 Ÿ" da cui:

) # ) #

1 1 1 1

- œ_" cos( sen( e - œ_# cos"& sen"& .

)1  3 )1 )1  3 )1

I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ , determinare l'opportu-

B  C

B  C À Bß C Á !ß !

5 À Bß C œ !ß !

 



     

   

$ $

# #

no valore di che rende la funzione continua nel punto 5  !ß ! , e determinare poi se in tale punto risulta anche differenziabile.

Calcoliamo

lim lim lim

   BßC Ä !ß!

$ $ $ $ $ $

# # Ä! Ä!

# $ $

B  C 

B  C Ê œ  œ !

  

4 4

4 * 4 *

4 4 * *

cos sen

cos sen con con-

vergenza uniforme in quanto cos ^$*sen^$*Ÿ #. Quindi 5 œ !. Avremo poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! 2  ! " 2

`B !ß ! œ 2 œ  ! † 2 œ 2 2 œ ! à

2  !

     

   

lim lim lim

2Ä! 2Ä! 2Ä!

$ $

#

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! !  2 "  2

`B !ß ! œ 2 œ  ! † 2 œ 2 2 œ !

!  2

     

   

lim lim lim

2Ä! 2Ä! 2Ä!

$ $

# .

Quindi f0   !ß ! œ !ß ! .

Per la differenziabilità dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se

lim lim

   BßC Ä !ß!    BßC Ä !ß!

$ $ $ $

# # # # # #

B  C   " B  C

B  C  !  ! † B  C œ œ !

B  C ovvero se, passando a coordinate polari:

lim lim lim

   BßC Ä !ß!

$ $ $ $ $

# # Ä! # Ä!

$ $

B  C 

B  C Ê œ  œ !

4 4

4 * *

4 4 * *

cos sen   

cos sen e la convergen- za è uniforme e quindi la funzione è differenziabile.

I M 3) Data la funzione 0 Bß C œ  /^{C B}^# ^# /^{B C}^# ^# ed il versore @œcosαßsenα , determi- nare i valori di α per i quali la derivata direzionale H 0 "_@  ß " è nulla, e per tali valori di α si calcoli H^#_@_ß_@0 " ß " .

(2)

La funzione, essendo una composizione di esponenziali e polinomi, è certamente differenziabile a Bß C −  ‘^#.

Da f0Bß C œ  #B/^{C B}^# ^# #B /^{B C}^# ^#à #C/^{C B}^# ^# #C /^{B C}^# ^# otteniamoÀ

f0Bß Cœ #B/^{C B}^# ^# /^{B C}^# ^#à #C/^{C B}^# ^# /^{B C}^# ^#Êf0  "ß " œ  %à %. Quindi À

H 0 "_@  ß " œ f0 "ß " †cosαßsenαœ %à % † cosαßsenαœ %senαcosαœ !

per αœ 1 αœ 1 . Dato che ß " , avremo:

% %

&

e H^#_@_ß_@0 " œ @ †‡  "ß " †  @^X

‡ 

 

     

     

Bß C œ %B  # %B  # %BC

%BC %C  # %C  #

# C B # B C B C C B

B C C B # C B # B C

/  / /  /

# # # # # # # #

# # # # # # # # .

Quindi ‡  "ß " œ  % ! per cui:

! %

H 0 " œ † "ß " † 



#ß

@ @   ß " cos sen     cos 

α α senα

‡ α .

Se α œ 1 si ha: ß " ;

% H 0 " œ †  % ! † œ #  # œ !

! %



#ß

@ @      

 

  

# # 

# #

#

Se α œ & si ha: ß " .

%

1 H 0 " œ   †  % ! † œ #  # œ !

! %

#ß

@ @      

 

  

# # 

# #

#

I M 4) L'equazione 0 Bß C œ /  ^BC B  C œ ! è soddisfatta in un punto nel quale, con essa, si definisce una funzione implicita B Ä C B  che presenta un punto stazionario. Determinare tale punto e la natura del punto stazionario.

Se poniamo B  C œ ! ottenimo  ed infatti il punto   soddi- B  C œ "

B œ

C œ  T œ "ß  "

# #

"

# "

#

!

sfa l'equazione data.

Essendo f0Bß C œ /  " /à  " f0 "ß  " œ !ß # 

# #

BC BC si ha   . E' quindi possibile

definire una funzione implicita B Ä C B con C œ  ! œ !. Quindi B œ è un

  ^w " # "

# #

punto stazionario per la funzione implicita.

Da ‡Bß C œ / /  si ha ‡ œ " " e quindi, da:

/ /

" "

#ß  #

" "

BC BC

BC BC  

C œ  0  #0 C  0 C C œ  œ  Þ

0 # # #

"  † † !  " † ! "

ww ww ww w ww w ww

BB BC CC #

Cw

  #

 

, otteniamo 1 2 1

Da C^w " œ ! " " si deduce che B œ "

# e C^ww # œ  #  ! # è un punto di massimo per la funzione implicita.

I M 5) Data la composizione di funzioni C œ 0 1 > à >  " #, con 1 À‘# Ä‘$ e 0 À‘$ Ä‘, 1 À > à > Ä B à B à B 0 À B à B à B Ä C ` C

` > à >

       

 

" # " # $ " # $

" #

, , esprimere mediante prodotto di

opportune matrici Jacobiane. Si applichi poi tale formula al caso:

0 B à B à B " # $œ #B B  $B" # $, 1 > à > " #œ > > à #>  > à > " # " # $# nel punto > à >" # œ "à  ".

(3)

Da > à >_" _#Ä B à B à B _" _# _$Ä C, per la regola di derivazione della funzione composta, si ha:

` C ` C ` B à B à B ` 0 ` B à B à B

` > à >  œ ` B à B à B  † ` > à >  œ ` B à B à B  † ` > à >  Ê

 " #  " # $  " #  " # $  " #

" # $ " # $

Ê

   

Þ

 

`C `C

`> `>

`0 `0 `0

`B `B `B

`B `B

`> `>

`B `B

`> `>

`B `B

`> `>

" # " # $

" "

" #

# #

" #

$ $

" #

œ †

Se 0 B à B à B " # $ œ #B B  $B" # $, risulta



_`B^`0_" _`B^`0_# _`B^`0_$

 œ

#B# #B"  $ per cui, sostituendo:



_`B^`0_" _`B^`0_# _`B^`0_$

 œ

_4>  >_" 2 _# #> >_{" #}  $_;

se 1 > à > œ > > à #>  > à > , risulta œ .

> >

#  "

! $>

   

 

" # " # " # #$ # "

##

 

`B `B

`> `>

`B `B

`> `>

`B `B

`> `>

" "

" #

# #

" #

$ $

" #

Passando al calcolo nel punto > à >" # œ "à  " otteniamo:



_`>^`C_" _`>^`C_#

 œ

 

†

 

4>  >2 #> >  $

> >

#  "

! $>

" # " # Ê

# "

##



_`>^`C_" _`>^`C_#

 œ

_ _

†

_ _

 

'  #  $ #  "  "!  "

 " "

! $

œ .