Compito di Fisica Matematica, 16/4/2010
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno sei dei seguenti quesiti:
(1) Risolvere l’equazione differenziale y′′(t)+5y′(t)+6y(t) = 0, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y′(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(2) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = e2zz−1 e ne determini l’ordine.
(3) Calcolare la derivata debole del segnale φ(x) = rect(x− π) + rect(x + π).
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = x rect(x− π).
(5) Calcolare il seguente integrale:
∫ ∞
0
x2dx (2x2+ 1)(x2+ π).
(6) Studiare la regione di convergenza della serie∑∞
n=−∞ zn
π2|n| ed ottenere la somma della serie.
(7) La funzione f (x) = N (d2
dx2e−2x2 )
pu`o essere una densit`a di probabilit`a per un qualche valore di N ?
(8) Ottenere N in modo che f (x) = N x rect(x− 1) sia un densit`a di probabilit`a, se possibile.
Ottenere di conseguenza i momenti di ordine 1,2 e 3.
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