Compito di Fisica Matematica, 28/4/2005
Prof. F. Bagarello
Risolvere almeno quattro tra i seguenti quesiti:
(1) Calcolare il seguente integrale:
Z 2π
0
dθ
1 + sin(θ/2) cos(θ/2)
SUGGERIMENTO: Manipolare opportunamente la funzione integranda, utilizzare il cambio di variabile z = eiθ ed il teorema dei residui.
(2) Verificare che il sistema di funzioni
F =
½
ϕ1(x) = 1
√2πsin(6x), ϕ2(x) = 1
√2πcos(11x)
¾ ,
`e un sistema mutualmente ortonormale in L2([0, 2π]) e che non `e completo.
(3) Studiare la natura delle singolarit`a al finito della funzione f (z) = sin(z)(z−1)ez−1 , e calcolarne i residui in correspondenza di tali singolarit`a.
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = (x+1)2e ricavare l’uguaglianza di Parceval.
(5) Risolvere l’equazione differenziale 2y00(t) + y0(t) − 3y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
et, t ∈ [0, 1[;
e, t ∈ [1, 2[;
0, altrove.
(7) Verificare che la mappa
<< f, g >>:=
Z π
−π
f (x)g(x) cos(x) dx,
non definisce un prodotto scalare su L2(−π, π) ma lo definisce in L2(−π/2, π/2).
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