Compito di Fisica Matematica, 23/4/2012
Prof. F. Bagarello
Lo studente da 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello da 9 cfu ne risolva almeno 6:
(1) Sia C(0, 1) lo spazio vettoriale lineare delle funzioni continue in (0, 1). Dimostrare che le funzioni f1(x) = cos(x)− 1, f2(x) = x ed f3(x) = x2 sono linearmente indipendenti. Dimostrare che esse non sono un sistema di generatori per C(0, 1).
(2) Ottenere lo sviluppo in serie di Fourier per la funzione f (x) =| sin(2x)|.
(3) Ottenere la parte singolare della funzione f (z) = z31−π in corrispondenza dei suoi punti singolari.
(4) Studiare la regione di convergenza della serie∑∞
n=−∞(z−πi)n
32|n| e calcolarne la somma.
(5) Calcolare l’integrale∫2π 0
dθ 3+2 cos(θ).
(6) Risolvere l’equazione differenziale y′′(t)+4y′(t)+3y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y′(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(7) Data la f (x) = N (x4+ 5) χ[−1,π](x), verificare in che condizioni questa `e una densit`a di probabilit`a. Ottenere la funzione cumulativa e la probabilit`a che il risultato della prova aleatoria assuma valori in [1, 3].
(8) Calcolare i momenti di ordine 1,2 e 3 della variable aleatoria associata alla densit`a di probabilit`a dell’esercizio precedente. Ottenere poi la funzione caratteristica e verificare il risultato appena ottenuto.
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