Compito di Fisica Matematica, 14/6/2010
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno sei dei seguenti quesiti1:
(1) Risolvere l’equazione differenziale 2y′′(t) + 3y′(t) + 6y(t) = 0, con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y′(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(2) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = e2zz−ez e ne determini l’ordine.
(3) Dimostrare che la convoluzione soddisfa la seguente propriet`a:
((f ⋆ g) ⋆ h)(x) = (f ⋆ (g ⋆ h))(x)
(4) Verificare l’uguaglianza sign(t) = u(t)− u(−t), ricordando che
sign(t) = {
1, t > 0;
−1, t < 0, e u(t) =
{
1, t > 0;
0, t < 0, .
(5) Calcolare esplicitamente i primi 3 polinomi di Hermite e dimostrarne l’ortonormalit`a in L2(R, e−x2dx).
(6) Usando la formula δ(x) = 2π1 ∫∞
−∞eipxdp, calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = sin(5x). ´E tale funzione in L2(R)? ´E in L1(R)?
(7) Studiare la regione di convergenza della serie di Laurent
∑∞ n=−∞
zn 2|n|
e calcolarne la somma.
(8) Verificare in che condizioni la funzione f (x) = 3+πxN 2 `e una densit`a di probabilit`a di una qualche variabile aleatoria per un opportuno valore di N . Trovare i momenti dei primi tre ordini ad essa associati.
(9) Facendo riferimento all’esercizio precedente, calcolare la funzione caratteristica e, tramite questa, i primi tre momenti della variabile aleatoria. Confrontare con il risultato precedente.
1quello di 6cfu si limiti a risolverne almeno 4
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