Compito di Fisica Matematica, 22/4/2003
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:
(1) Calcolare il residuo della funzione f (z) = z21+5sin (z − 5i) in corrispondenza di z1= 5i e di z2= −5i.
(2) Verificare che la funzione f (z) = z3+ cos (z) `e analitica e calcolare R
γf (z) dz dove γ `e l’unione dei due segmenti γ1 = {0 ≤ x ≤ 1, y = 0} e γ2 = {x = 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Calcolare poi R
Γf (z) dz, Γ essendo il segmento y = x con 0 ≤ x ≤ 1.
Osservate che con x ed y si sono indicate rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z.
(3) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0 = π la f (z) = ezcos (z) e determinarne il raggio di convergenza.
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) =
( ex, x ∈ [−π, π];
0, altrove,
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione f (x) = 1
(x − i)2. Calcolare inoltre la sua norma,R∞
−∞|f (x)|2dx.
(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = cos(t). Determi- narne l’ascissa di convergenza.
(7) Calcolare la derivata nel senso debole della distribuzione ϕ(t) = u(t) sin(t).
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