MODULO 1• Meccanica UNITÀ 2• I moti rettilinei
1
© SEI- 2012
La derivata di una funzione
Data una funzione y= f(x), definita in un intorno I di x0, incrementiamo x0di Δ x in modo che (x0+ Δ x) appartenga a I. Definiamo il rapporto incrementale della funzione y= f(x) relativo al punto x0e all’incremento Δ x come segue:
Interpretazione geometrica del rapporto incrementale
Congiungendo P(x0, f(x0)) con Q(x0+ Δ x, f(x0+ Δ x)) si ottiene una retta. La pen- denza della retta, cioè la sua inclinazione rispetto all’asse x, si riflette nel coeffi- ciente angolare m. Il coefficiente angolare m è dato, come è noto dall’analitica, dal rapporto tra la variazione delle ordinate e la variazione delle ascisse:
m y y
x x
y x
Q P
Q P
= −
− = Δ Δ Δ
Δ
Δ Δ y
x
f x x f x
= ( 0+ x)− ( 0)
y rapporto incrementale
x Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) Δx
O
Q
P f(x0 + Δx)
f(x0)
x0 + Δx x0
Pertanto si ha che m yè la rappresentazione grafica del rapporto incrementale.
= Δx Δ
Determiniamo a quale valore tende il rapporto incrementale se facciamo tendere a 0 l’incremento Δ x. Questa operazione in matematica si indica come passaggio al limite del rapporto incrementale per Δ x → 0 e si scrive:
Se tale limite esiste ed è finito prende il nome di derivata della funzione y= f (x) nel punto di ascissa x0e lo si indica con f¢(x0).
Δ
Δ Δ
Δ Δ
x
y x
f x x f x
x f x
→ = + − = ′
0
0 0
lim ( ) ( ) 0
( )
Q y
tangente secante
x O
P ≡ Qn
derivata
f(x0 + Δx)
f(x0)
x0 + Δx x0
Q1
MODULO 1• Meccanica UNITÀ 2• I moti rettilinei
2
© SEI- 2012
Interpretazione geometrica della derivata
Consideriamo nuovamente la retta che si ottiene congiungendo P(x0, f(x0)) con Q (x0+ Δ x, f(x0+ Δ x)). Man mano che Δ x diminuisce, la secante PQicambia posizione e Q si avvicina a P. Nel passaggio al limite Q tende a coincidere con P e la secante PQidiventa la tangente alla funzione y= f(x) in P. Sappiamo che il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della secante; la secante nel passaggio al limite diventa la tangente alla funzione in P. Pertanto la derivata della funzione in x0rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico y= f(x) nel suo punto di ascissa x0:
coefficiente angolare secante coefficiente angolare tangente
La derivata in fisica: la velocità
La derivata in fisica presenta numerose applicazioni. Fra di esse, in questa unità, abbiamo visto la velocità istantanea e l’accelerazione istantanea.
m y m y
x x x
= → =
→
Δ Δ
Δ Δlim0 Δ
Consideriamo la legge oraria del moto di un punto materiale s= s(t) definita in un intervallo I di tempo. Siano P la posizione del punto in movimento in un istante t (= t1) di questo intervallo e Q la posizione all’istante t+ Δ t (= t2). Co- struiamo il rapporto incrementale della funzione s(t) relativo all’istante t e all’istante incrementato t+ Δ t:
Tale rapporto individua la velocità media (scalare) che infatti è definita come il rapporto tra la distanza percorsa e l’intervallo di tempo in cui avviene tale spostamento.
Se rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani ortogonali sull’asse x il tempo t e sull’asse y le corrispondenti posizioni s, assunte dal punto materiale, otteniamo una rappresentazione grafica della legge oraria del moto s= s(t). Il coefficiente angolare m della secante P (t, s(t)) e Q (t+ Δ t, s(t + Δ t)) rappre- senta il rapporto incrementale.
Δ
Δ Δ
Δ s
t
s t s t t t
s t t s t
t vmedia
= −
− = + − =
( )2 ( )1 ( ) ( )
2 1
(( )t Q s (m)
t (s) O
P
velocità media s(t + Δt)
s(t)
t + Δt t
Δt
Δs
MODULO 1• Meccanica UNITÀ 2• I moti rettilinei
3
© SEI- 2012
Considerato il rapporto incrementale della funzione spazio relativo all’istante t e al generico incremento Δ t facciamo tendere a 0 il rapporto incrementale
:
Il limite a cui tende il rapporto incrementale per Δ t → 0 è la derivata dello spazio percorso rispetto al tempo e fisicamente rappresenta la velocità istan- tanea.
Anche in questo caso se consideriamo una rappresentazione grafica della legge oraria possiamo ricavare la velocità istantanea. Come sappiamo, il punto materiale può avere cambiato velocità diverse volte durante il percorso.
Per misurare la velocità esattamente nell’istante t= t1consideriamo intervalli di tempo Δ t sempre più piccoli e vediamo che Q si avvicina sempre di più a P, mentre la retta secante PQi(i= 1, 2, ... n) si modifica. Se l’intervallo Δ t diventa così piccolo da tendere a 0, la secante PQitende a diventare la tangente al gra- fico in P. Conseguentemente se il coefficiente angolare della secante PQiindi- vidua la velocità media relativa al tratto PQi, il coefficiente angolare della tangente in P ci fornisce la velocità nell’istante t.
Δ Δ
Δ Δ
Δ Δ
t t
s t
s t t s
t s t v
→ = → + − = ′ =
0 0
lim lim ( ) ( )
t ( )
isttantanea( )t Δ
Δ s t
Q s (m)
tangente secante
t (s) O
P ≡ Qn
Q1 Q2
passaggio al limite
s(t + Δt)
s(t)
t + Δt t
s (m)
t (s) O
P
velocità istantanea
t tangente
