Matematica e Statistica I Anno Accademico Foglio di esercizi settimana 2

Matematica e Statistica I Anno Accademico 2009-2010 Foglio di esercizi – settimana 2

Funzioni di variabile reale: modelli, grafici, composizione, invertibilit`a; relazioni lineari.

ESERCIZIO 2.1 In una citt`a sono stati fatti dei rilevamenti della temperatura da mezzanotte fino alle 14 ogni due ore, ottenendo i seguenti risultati:

t 0 2 4 6 8 10 12 14

T 23 26 29 32 33 33 32 32 (a) Tracciare il grafico di T (t);

(b) Stimare T (5).

ESERCIZIO 2.2 Il padrone di un mobilificio sa che produrre 100 sedie al giorno costa 2200 euro, mentre produrne 300 costa 4800 euro.

• Esprimere il costo in funzione del numero di sedie, supponenendo lineare la relazione.

• Qual `e la pendenza e cosa rappresenta?

• Qual `e l’intercetta sull’asse y e cosa rappresenta?

ESERCIZIO 2.3

(a) Trovare l’espressione analitica della funzione che rappresenta la met`a superiore della circon- ferenza di equazione (x − 1)²+ y²= 1.

(b) Trovare l’espressione analitica della funzione che rappresenta la parte inferiore della parabola di equazione x + (y − 1)²= 0.

(c) Trovare l’espressione analitica del segmento che unisce i punti (2, −4), (4, −5).

ESERCIZIO 2.4 Una scatola aperta, di volume pari a 2m³ ha la base quadrata. Determinare l’area della scatola in funzione della lunghezza del lato di base.

ESERCIZIO 2.5 Un contadino ha a disposizione 20 m di rete con cui costruire un pollaio rettangolare, di cui uno dei lati `e costituito dal muro della stalla. Scrivere l’area del pollaio in funzione della lunghezza del lato parallelo al muro della stalla.

ESERCIZIO 2.6 Il perimetro di un triangolo rettangolo `e 6, esprimere l’area del triangolo in funzione della sua ipotenusa.

ESERCIZIO 2.7 Uno studio (inventato) ha trovato che il tasso a cui l’ameba Dictyostelium discoideum consuma glucosio in condizioni ottimali di nutriente `e di 12 µ m al minuto per cellula se la temperatura `e fra i 27 C^◦e i 32 C^◦. Il consumo `e pari a 0 se la temperatura `e sotto i 15 C^◦ o sopra i 35 C^◦; per temperature intermedie la relazione fra temperatura e consumo `e di tipo lineare e si raccorda senza salti ai casi precedenti. Scrivere l’espressione algebrica che descrive il consumo di glucosio in funzione della temperatura.

ESERCIZIO 2.8 Trovare l’espressione algebrica che descrive la funzione il cui grafico consiste nel segmento di estremi (−2, 2) e (−1, 0) insieme alla met`a inferiore della circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1.

ESERCIZIO 2.9 Dopo aver tracciato il grafico di f (x) =√

x, dedurre da esso i grafici seguenti:

f (x) = −√

x; f (x) = −√

x + 1; f (x) = |√

x − 1|; f (x) = −p|x − 2|

ESERCIZIO 2.10 Tracciare su un sistema di assi cartesiani un grafico approssimato delle seguenti funzioni:

f (x) = |2 − |x||; f (x) = −(x − 1)³; f (x) = |4 − x²|; f (x) = 2 − |4 − x²|

ESERCIZIO 2.11 Date le funzioni f (x) = x + _x¹ e g(x) = x + 1

x + 2 calcolare f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, precisando il loro dominio.

ESERCIZIO 2.12 Se f e g sono date dalla seguente tabella .

x 1 2 3 4 5 6

f (x) 3 1 4 2 2 5

g(x) 6 3 2 1 2 3

valutare (f ◦ g)(1), (g ◦ f)(1), (f ◦ f)(1), (g ◦ g)(1), (g ◦ f)(3), (f ◦ g)(6).

ESERCIZIO 2.13 Assegnata la funzione f (x) = 1 + x

1 − x, calcolaref (−x), f(¹x), f (_1−x¹ ), f (f (x)).

ESERCIZIO 2.14 Scrivere la funzione f (x) = 1

px + √xcome composizione di tre altre funzioni.

ESERCIZIO 2.15 Stabilire se le seguenti funzioni sono pari o dispari o nessuna delle due cose.

f (x) = x

1 + x², g(x) = x²+ 1

1 + x⁴, h(x) =x³+ 1 1 + x⁴ f (x) = x⁵+ 1, g(x) = x(x + 1), h(x) = [x]

(La funzione h(x) = [x], chiamata parte intera di [x] `e definita per ogni x reale come il pi`u grande intero minore o uguale ad x).

ESERCIZIO 2.16 Stabilire se le seguenti funzioni definite da formula, da tabella o verbalmente sono iniettive:

1. f (x) = 1 + 4x − x² 2. g(x) =√

x

3. f (t) `e l’altezza di una persona all’et`a t.

4. x 1 2 3 4 5 6

f (x) 1.5 2 2 2.5 6 5

5. x 1 2 3 4 5 6

f (x) 1.5 2 2.8 2.5 6 5 ESERCIZIO 2.17 Assegnate le funzioni

f (x) = 1 + x

2x + 1, g(x) = 1

2 + x, l(x) = x|x|, h(x) = x³+ 1

precisarne il dominio e quando possibile l’immagine. Trovarne poi, nel caso che esistano, le funzioni inverse delle stesse precisandone il dominio.

ESERCIZIO 2.18

(a) Scrivere, in formula, la funzione che associa a x il suo stesso valore diminuito di 3 unit`a e poi diviso per x.

(b) Scrivere, in formula, la funzione che associa a x il suo stesso valore diviso per il doppio di x − 1.

(c) Descrivere, in formula, la relazione tra il numero di larici e di pini in un bosco se “ci sono 7 pini per ogni larice”.

ESERCIZIO 2.19 Nel linguaggio corrente, e spesso anche in matematica, l’espressione “essere funzione di” `e sinonimo di “dipende da”, mentre la nozione di “funzione”, come abbiamo visto, `e pi`u specifica.

(a) L’area di un triangolo dipende dalla lunghezza della base?

(b) Esiste la funzione A(b) che associa alla lunghezza della base l’area del triangolo?

(c) La relazione p + q³= 3 definisce p come funzione di q?

(d) La relazione p + q³= 3 implica che q dipende da p?

(d) La relazione p + q³= 3 definisce q come funzione di p?

ESERCIZIO 2.20 Quali sono i domini delle seguenti funzioni?

a(x) = 2

(x²+ 1) d(x) = 1

(x²− 4) b(x) =√

−x e(x) =√

x² c(x) =√

4 − x² f (x) =

√x (x²− 1)

ESERCIZIO 2.21 Con riferimento alle funzioni definite nell’esercizio precedente determinare a quali grafici appartengono i punti P = (0, 0), Q = (0, 2), R = (1, 1), S = (2, 0).

ESERCIZIO 2.22 Data la funzione f (x) = x², determinare l’immagine f (D) di f se il dominio D `e (a)D = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; (c)D = {x ∈ R : x ≤ 0};

(b)D = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1}; (d)D = R;

ESERCIZIO 2.23 Risolvete l’esercizio precedente usando la funzione f (x) = x³.

ESERCIZIO 2.24 Le scale di temperatura Celsius e Kelvin usano la stessa unit`a di misura, per`o la scala Kelvin ha lo zero che coincide con lo zero assoluto, cio`e −273.15^◦C

(a) Se T indica la temperatura nella scala Celsius e τ quella nella scala Kelvin, scrivere la legge τ = τ (T ) che traduce il valore della temperatura T in gradi Celsius nel valore τ in Kelvin.

(b) Qual’`e il dominio di definizione di questa funzione?

(c) Il punto (0, 273.15) appartiene al grafico di τ ? (d) Il punto (273.15, 0) appartiene al grafico di τ ?

(e) Qual’`e il dominio di definizione della funzione inversa T = T (τ )?

(f) Tra i punti (0, 273.15) e (273.15, 0) quale appartiene al grafico di T ?

ESERCIZIO 2.25 La legge h(t) = −gt

2 + h0 descrive come varia la distanza dal suolo di un corpo pesante che, nel vuoto, cade da un’altezza h⁰ con una velocit`a iniziale nulla.

(a) Qual’`e il dominio di definizione della funzione h(t)?

(b) Quanto tempo impiega il corpo a toccare terra?

(c) Il tempo che il corpo impiega per toccare terra `e una funzione dell’altezza da cui viene lasciato cadere?

(d) Se il corpo impiega esattamente T secondi per cadere, quale dev’essere l’altezza iniziale?

ESERCIZIO 2.26 Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari:

(a) f (x) =√³

x³− 1 (d) f (x) = 2x + 1 8x²+ 1 (b) f (x) = x

1 − x² (e) f (x) = x²

√x⁴+ 5 (c) f (x) = x³+ x

1 + x⁴ (f ) f (x) = 2x²+ 1 x⁴+ 2

ESERCIZIO 2.27 I grafici delle funzioni f¹, f², f³, f⁴, f⁵ sono stati ottenuti da quello di f mediante traslazioni e simmetrie. Scrivere le funzioni f¹, f², f³, f⁴, f⁵in termini di f .

x

K6 K4 K2 0 2 4 6

y

K4 K3 K2 K1 1 2 3 4 Grafico di f

K6 K4 K2 0 2 x 4 6

y

K4 K3 K2 K1 1 2 3 4 Grafico di f₁

K6 K4 K2 0 2 x 4 6

y

K4 K3 K2 K1 1 2 3 4 Grafico di f₂

K6 K4 K2 0 2 x 4 6

y

K4 K3 K2 K1 1 2 3 4 Grafico di f3

K6 K4 K2 0 2 x 4 6

y

K4 K3 K2 K1 1 2 3 4 Grafico di f4

K6 K4 K2 0 2 x 4 6

y

K4 K3 K2 K1 1 2 3 4 Grafico di f5

ESERCIZIO 2.28 In una legge lineare, che descrive una crescita c(t) in funzione del tempo t, il tasso di varaizione `e 0.15. E’ inoltre noto che, se t = 1, c(1) = 0.7. Scrivere esplicitamente la legge e dire quanto vale c(4) e a quale istante di tempo si ha c(t) = 2.

ESERCIZIO 2.29 Una quantit`a Q varia nel tempo t con legge lineare Q = Q(t). Sapendo che Q = 85.5 quando t = 13 e che Q = 79.3 quando t = 18, calcolare il tasso di variazione della funzione.

Se t = 25 quanto vale Q? Fino a quale istante di tempo risulta Q > 50?

ESERCIZIO 2.30 L’energia potenziale di una massa m sospesa a una molla di costante elastica k, `e data da U = kz²

2 + mgz, cio`e dall’energia potenziale della molla kz²

2 sommata all’energia potenziale gravitazionale mgz, dove z `e la quota della massa, assumendo z = 0 nel punto incui la molla ha estensione nulla e g `e la costante di accelerazione gravitazionale. Trovare il minimo di U (z).

ESERCIZIO 2.31 Si considerino le quattro funzioni definite per x ∈ [0, 7], i cui grafici sono rappresentati nelle figure seguenti.

x

0 1 2 3 4 5 6 7

y

0 2 4 6 8 10

f1

x

0 1 2 3 4 5 6 7

y

0 2 4 6 8 10

f2

0 1 2 3 x 4 5 6 7

y

0 2 4 6 8 10

f3

0 1 2 3 x 4 5 6 7

y

0 2 4 6 8 10

f4

(a) Quali sono monotone? (f) Quali hanno solo un minimo relativo?

(b) Quali sono crescenti? (g) Dov’`e il massimo assoluto di f<sup>2</sup>? (c) Quali sono decrescenti? (h) Dov’`e il minimo assoluto di f²? (d) Quali sono invertibili? (i) Dov’`e il massimo assoluto di f⁴??

(e) Quali hanno solo un massimo relativo? (l) Quanti massimi assoluti ha f³?

ESERCIZIO 2.32 Data la parabola y = f (x) = −x²+ 3x + 1, trovare le coordinate dei punti A = (1, f (1)), B = (−1, f(−1)) appartenenti al grafico della funzione, le intersezioni della curva con gli assi cartesiani e l’insieme di valori x per cui si ha f (x) > 0.

ESERCIZIO 2.33 Nei cuccioli di coccodrillo, in 6 mesi tutte le dimensioni crescono del 15%. Se la lunghezza l `e 6 volte l’altezza e 4 volte la larghezza, di quanto aumentano la superficie e il volume dell’animale? Approssimando il corpo a un parallelepipedo, se l’animale misura, in particolare, 1.4 m di lunghezza, 35 cm di larghezza e 25 cm di altezza, quanto misurano dopo 6 mesi la superficie e il volume?

ESERCIZIO 2.34 Una specie di cactus ha piante adulte di forma sferica che immagazzinano l’acqua in piccole cellette, senza mai modificare il loro volume. In condizioni ottimali una pianta contiene a grammi d’acqua per cm³, e muore se l’acqua disponibile diventa a

10 grammi per cm³. Supponendo che in un periodo di siccit`a la pianta perda acqua dalla superficie al ritmo di b grammi per cm<sup>2</sup> al giorno e che l’acqua non venga reintegrata, calcolare in quanto tempo la pianta muore, in funzione di a e b e del raggio r della pianta. Una pianta pi`u piccola sopravvive pi`u a lungo?

(a) x⁻ 5 7 > 1;

(b) x 5 2 > 2x

2 5 ; (c) 1

x³ > 3 x⁴;

(d) x 1 8 > 8x⁻

2 3 ;

ESERCIZIO 2.36 Si consideri la funzione T (m) = am^α− bm^β che descive come varia il tasso di crescita di una massa tumorale (modello di von Bertalanffy). Si scelga α = 1/2, β = 3/4, a = 1 e b = 2. Per quali valori di m si ha T (m) > 0? Cosa significa la richiesta T (m) > 0?