1. Si determini la soluzione del problema di Cauchy. y 0 = x y + 2y x y (1) = 1. specicando l'insieme di denizione della soluzione.

(1)

6 giugno 2018 Corso di Laurea Triennale in Matematica

Prova scritta di Analisi Matematica 4

1. Si determini la soluzione del problema di Cauchy







y⁰ = x y + 2y y(1) = 1x

specicando l'insieme di denizione della soluzione.

2. Si studi la forma dierenziale

!(x; y) =

log(x²+ y²) + 2x² x²+ y²

dx + 2xy x²+ y² dy e, nel caso in cui ! risulti esatta, se ne calcolino tutte le primitive.

3. Si calcoli l'integrale

Z

Djx²+ y²+ 2xj dx dy

ove D = (x; y) 2 R²j x 0; y 0; x²+ y² 4 :

(2)

21 giugno 2018 Corso di Laurea Triennale in Matematica

y⁰⁰ = 3y⁵

y(3) = 1; y⁰(3) = 1 specicando l'insieme di denizione della soluzione.

!(x; y) = 2x

y(x²+ y²)²⁼³ dx 3x²+ y² y²(x²+ y²)²⁼³dy e, nel caso in cui ! risulti esatta, se ne calcolino le primitive.

Z

Dxy dx dy ove

D = (x; y) 2 R²j x y 3x; p

x y 2p x :

(3)

9 luglio 2018 Corso di Laurea Triennale in Matematica







y⁰ = y(1 log y + log x) y(1) = e x

specicando l'insieme di denizione della soluzione.

2. Si determini per quali a 2 R la forma dierenziale

!(x; y) =

y 2p

x y²

dx + (p

x + axy) dy risulta esatta e se ne calcolino le primitive.

Z

D

1

(x²+ y²)²dx dy ove

D = (x; y) 2 R²j x 0; 0 y 1; 1 x²+ y² 4 :

(4)

4 settembre 2018 Corso di Laurea Triennale in Matematica







y⁰⁰ = y⁰

x + x sen x

y( =2) = =2; y⁰( =2) = =2 specicando l'insieme di denizione della soluzione.

!(x; y) =

y + 1

1 + x + x 1

dx + (x + log(1 + y) e^y) dy e, nel caso in cui ! risulti esatta, se ne calcolino tutte le primitive.

Si calcoli inoltre Z

! ove (t) = (t; t), t 2 [0; 1].

Z

D(y + jy xj) dxdy ove D = (x; y) 2 R²j x²+ y² 1 :

(5)

19 settembre 2018 Corso di Laurea Triennale in Matematica

1. Si determini la soluzione del problema di Cauchy ( y⁰ = 2y

x + 3y² y( 1) = 1=7 specicandone l'insieme di denizione.

!(x; y) = a y²

x²y dx + y²+ x y²x dy risulta esatta e se ne calcolino le primitive.

Z

D(x + y) dx dy ove

D = (x; y) 2 R²j x y x + 2; x y; xy 1 :

(6)

8 novembre 2018 Corso di Laurea Triennale in Matematica

1. Si determini la soluzione del problema di Cauchy ( y⁰ = 2

(1 + y²)arctg y 2

₂ y(0) = 0

specicandone l'insieme di denizione.

!(x; y) = x p3

(x²+ y²)²dx + y p3

(x²+ y²)²dy e, nel caso in cui sia esatta, se ne calcolino le primitive.

Z

Djx²+ y²+ yj dx dy ove

D = (x; y) 2 R² j x 0; x²+ y² 1 :

(7)

10 gennaio 2019 Corso di Laurea Triennale in Matematica

1. Si determini l'integrale generale dell'equazione dierenziale y⁰⁰⁰+ 2y⁰⁰ 3y⁰ = e^x + cos x:

!(x; y) = x + 2y

x³y dx + a xy²dy risulta esatta e se ne calcolino le primitive.

Z

Dx²y dx dy ove

D =n(x; y) 2 R²j x 0; y 0; 1 xy 2; x

2 y 2xo :

(8)

25 gennaio 2019 Corso di Laurea Triennale in Matematica







y⁰⁰= cos²x sen x cos x y⁰ y(0) = 2; y⁰(0) = 1 specicandone l'insieme di denizione.

!(x; y) =

3 4xy

(x²+ y²)²

dx +2(x² y²) (x²+ y²)² dy e, nel caso in cui ! risulti esatta, se ne calcolino tutte le primitive.

Z

Dpx²+ y²dx dy

ove D = (x; y) 2 R²j 1 x²+ y² 2y :

(9)

13 febbraio 2019 Corso di Laurea Triennale in Matematica

1. Si determini l'integrale generale dell'equazione dierenziale y^(iv) 2y⁰⁰⁰+ y⁰⁰ 2y⁰ = 6x²+ 2 + 4e^x: 2. Al variare di a 2 R, si studi la forma dierenziale

!(x; y) =a yx e^y^x dx + e^y^x dy

e, nel caso in cui ! risulti esatta, se ne calcolino tutte le primitive.

Z

Djx 1j dx dy ove

D = (x; y) 2 R²j x²+ y² 4 :

(10)

11 aprile 2019 Corso di Laurea Triennale in Matematica







y⁰⁰ = 1

x y⁰ 2(x 1) x (y⁰)² y(1) = 0; y⁰(1) = ¹₄ specicandone l'insieme di denizione.

2. Si determini la funzione f 2 C¹(R; R) tale che f (0) = 1 che rende la forma dierenziale

!(x; y) = (arctg x + cos y) dx f (x) sen y dy esatta e si calcolino le primitive di !.

Z

D(2x + y)e^{x y}dx dy ove

D = (x; y) 2 R²j 2 2x + y 2; 1 x y 2 :