Costi e scelta ottimale di produzione: la minimizzazione dei costi. Argomenti

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• Retta di isocosto e sue caratteristiche

• Condizione di equilibrio per la minimizzazione dei costi

• Sentiero di espansione della produzione nel lungo periodo

Costi e scelta ottimale di produzione:

la minimizzazione dei costi

Ci dobbiamo domandare qual è la quantità che l’impresa deciderà di produrre dati i vincoli

tecnologici, ma anche quelli economici.

L’impresa per produrre deve impiegare fattori produttivi: i fattori produttivi devono essere

remunerati.

Ricordiamo che l’impresa ha sempre come obiettivo quello di massimizzare il profitto

Il problema di quale ammontare di produzione

effettuare per massimizzare il profitto deve essere affrontato in due stadi.

Il primo stadio consiste nel determinare, per ciascun livello di output, la combinazione di fattori produttivi che consente di produrlo al minimo costo.

Il secondo stadio consiste nello scegliere tra i diversi livelli di output quello che massimizza il profitto.

I due stadi consistono (a) nella minimizzazione dei costi e (b) nella scelta della quantità da produrre.

In questa lezione ci concentriamo sull’aspetto

“costi”.

Ipotizziamo che l’impresa utilizzi due soli fattori produttivi, x₁ e x₂; i fattori produttivi devono

essere remunerati.

Se x₁ e x₂ corrispondono, rispettivamente, alla quantità di lavoro e di capitale impiegate

dall'impresa, w₁ e w₂ saranno le relative remunerazioni, e cioè il salario unitario e il tasso di interesse.

Moltiplicando la quantità impiegata di ciascun fattore di produzione per il corrispondente costo unitario, e sommando i due prodotti, otterremo il costo totale (CT) sostenuto dall'impresa.

Possiamo così scrivere la funzione di isocosto:

x₁w₁+x₂w₂= CT [22]

Lo stesso livello di costo totale può essere dovuto a diverse combinazioni dei due fattori produttivi …

… detto in altro modo: una funzione di isocosto rappresenta tutte le combinazioni dei fattori

produttivi che l'impresa è in grado di acquistare spendendo lo stesso ammontare di risorse

economiche, CT.

Rielaboriamo la funzione di isocosto

(omettendo il segno di moltiplicazione “”)

CT w

x w

x_{1 1}  _{2 2} 

1 1 2

2

w CT x w

x  

1 2

1 2

2

x

w w w

x  CT 

Dividendo a destra e a sinistra per w₂ otteniamo:

[23]

Questa è l’equazione della retta di isocosto di cui possiamo individuare sul piano cartesiano (x₁, x₂) l’intercetta verticale e orizzontale.

Se utilizzassimo il solo fattore x₂ (e dunque x₁=0) l’equazione diventa:

2

2

w

x  CT

1 2 1 2

0 x

w w w

CT 



Se utilizzassimo solo il fattore x₁ (e dunque x₂

= 0 otterremmo:

1

1 w

x  CT da cui si può ricavare:

0

x₂, capitale

La retta di isocosto

CT/w₂

x₁, lavoro

CT/w₁

Dato w₁, w₂ e CT possiamo individuare i due estremi della retta, M ed N.

L’imprenditore potrà scegliere una qualsiasi combinazione di lavoro e capitale che sta sulla retta (la cui pendenza è - w₁/w₂) M

N

2 1

w

 w

Vediamo un esempio: ipotizziamo che un imprenditore abbia a disposizione 12 € che

intende utilizzare per la produzione di un bene;

sappiamo che w₁ = 4, mentre w₂ = 2. Dunque

x₁4+x₂2= 12

0

x₂, capitale Riprendiamo i dati:

w₁= 4, w₂ = 2, CT = 12 x₁4+x₂2 = 12

1 2

1

3

2 3

x₁, lavoro

2 0 12

1 2

2    x 

w x CT

4 5 6

4 0 12

2 1

1    x 

w x CT

A M

N

4 2 6 1

2 2 6

4 2

12

2 1

1 1

1 2 1 2

2   x   x   x  x   x   

w w w

x CT

Nel punto A x₁=1, x₂=4

Nel punto M x₁=0, x₂=6

Nel punto N x₁=3, x₂=0

Tanto più l’impresa intende produrre tanto più l’isocosto si deve spostare verso destra (e cioè i costi aumentano). Data la remunerazione dei fattori, avremo spostamenti paralleli della retta verso destra:

0

x₂

CT

x₁ M

N M’

N’

CT’

Supponiamo ora che l'impresa intenda produrre un livello di output pari a q₀. Ci interessa è

capire qual è la tecnica di produzione

(combinazione di fattori produttivi) che l'impresa deve utilizzare per produrre questo output

minimizzando i costi – solo così l'impresa produrrà q₀ in modo efficiente.

0

1 x₂

I(q₀)

E*

A

B

CT CT’

x₁*

x₂*

La tecnica

economicamente efficiente è quella che corrisponde al punto E*, (x₁*, x₂*).

A e B sono tecnicamente fattibili ma

economicamente inefficienti:

CT’ > CT

Sappiamo che l’inclinazione della curva è pari al rapporto tra le produttività marginali; l’inclinazione della retta è pari al rapporto tra la remunerazione dei fattori; possiamo allora scrivere (omettendo di considerare il segno “-”):

1 1

2 2

w PMgx w  PMgx

Questa soluzione grafica può essere tradotta in una condizione di equilibrio.

Ricordiamo che in corrispondenza del punto di tangenza E* l’isoquanto e l’isocosto hanno la stessa inclinazione.

[24]

… che riarrangiata diventa

1 2

1 2

PMgx PMgx w  w

l'impresa minimizza il costo di produzione quando si realizza l’uguaglianza fra le

produttività marginali dei singoli fattori di produzione ponderate per la loro

remunerazione (o prezzo unitario di acquisto).

[25]

Remunerazioni diverse dei fattori di produzione implicano scelte diverse in termini di tecnica

produttiva. A parità di produzione q₀, e diversa remunerazione dei fattori avremo scelte diverse come possiamo vedere nel grafico seguente …

0

1 x₂

I(q₀)

A

B

x₁^A

x₂^A

La linea tangente in B è caratterizzata da un prezzo relativo

del fattore x₁ più basso di quanto succede in A; in valore assoluto:

w₁^B/w₂^B < w₁^A/w₂^A

x₂^B

x₁^B

x₂

x₁

Sentiero di espansione

Possiamo tracciare a questo punto il sentiero di espansione della produzione (di lungo periodo) dell’impresa, che è la linea che congiunge tutti i punti di tangenza tra isoquanti e isocosti: