Controllo in retroazione:

Controllo in retroazione:

Analisi e Sensitività

Prof. Laura Giarré

Laura.Giarre@UNIMORE.IT

https://giarre.wordpress.com/ca/

Schema di riferimento per il controllo in retroazione

• Come già visto lo schema a blocchi reale di un sistema di controllo in retroazione può essere rappresentato come

• Il segnale di riferimento viene filtrato da una replica della dinamica del sensore per ottenere un riferimento “ compatibile” con la

dinamica dell'uscita retroazionata

-

Disturbo sull’uscita Disturbo

sull’attuatore

Disturbo di misura

.

.

Dallo schema a blocchi reale a quello ideale

-

-

Dinamica “equivalente” del regolatore:

Dallo schema a blocchi reale a quello ideale

-

Disturbo sull’uscita e sull’attuatore Disturbo di misura

Dinamica “equivalente”

dell’impianto:

-

-

Sensitività CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré 4

a

/

→

o¥¥d - ^L

^{R G}

Ingressi e uscite di interesse

• Nella maggior parte delle applicazioni ingegneristiche le bande spettrali del segnale di riferimento e del disturbo sull'uscita sono disgiunte da quella del disturbo di misura

Uscite di interesse:

-

Segnali di riferimento e disturbi sull'uscita normalmente confinati a basse frequenze

Disturbi di misura normalmente confinati a frequenze elevate (accoppiamenti con campi

-

Yep CH ^u CL )

day e Cf _,

MCH

yet

feet ^{' quod} gas

-

Funzioni di sensitività

• Le funzioni di sensitività rappresentano le funzioni di trasferimento tra gli ingressi significativi e le uscite di interesse:

• Funzione di sensitività

• Funzione di sensitività complementare

• Funzione di sensitività del controllo

-0

Kroto ILF ^-4€

^Edt

-

Y

^{? d}

f- erodes

j

→ ^-

EH

I

* ^{= s}

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p

EEE

E

I Ysp

It ^L

s

I

Ysp

Funzioni di sensitività

• Schema di riferimento

y

e R(s) u

+ - G(s) d y

+ + +

- n

Matrice delle funzioni di trasferimento tra le diverse uscite di interesse e gli ingressi

Sensitività CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré 7

S

^-1 f-

^L

It _L

It _L Kp

dry er ^!

VI.

^H _fee ^Itoi

Q

Eye

ate _→

^{Rs E}

Funzioni di sensitivtà

• Le funzioni

e

dipendono congiuntamente da

e

(funzione di anello) mentre nella funzione di sensitività del controllo

la fdt del regolatore

entra singolarmente

• Il denominatore (e in particolare i poli) di tutte le funzioni di sensitività è lo stesso. La stabilità del sistema in retroazione è indipendente dal particolare ingresso

• Strutturalmente si ha che

. In pratica questo significa che non è possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore, specifiche arbitrarie.

• Esempio 1.

• Cancellazione del disturbo

sull'uscita

• Cancellazione del disturbo

sull'uscita

• Esempio 2.

• Inseguimento del riferimento

con

• Cancellazione del disturbo

sull'uscita

No!

No!

F

^k

_s

1- of

I

Ira

o

SPECHT

.CONTRA STAND

Studio del sistema in retroazione

• Obiettivo: dedurre conclusioni sulle proprietà statiche e dinamiche del sistema in retroazione dallo studio della funzione ad anello aperto

L(s)=R(s)G(s)

• Metodo: Individuare proprietà che la ^L(s) deve avere in modo che le funzioni di sensitività del sistema chiuso in retroazione abbiano certe caratteristiche (sintesi del regolatore)

• Approccio simile all’uso dei criteri di Nyquist e Bode per lo studio della stabilità dei sistemi chiusi in retroazione

Studio delle funzioni di sensitività in relazione a L(s)

Lls ) ^{ERG ) as ) 5-} ¥ ^; t=¥

I

CRI _TERI

⁰⁵ Nyquist

Studio delle

Stahler ^dell

aiello dies

( ^Ives ₎ )

dall ^{tracer aired}

di LCS ) ^Carillo

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(

W

¥

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W

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ha tutte ^{A radio}

on ferrie ^{male To}

2) ^{L um hour}

car all ^{or ur the}

pees _portion ^ate

pale ^neck

CRITERIO DI NYQUIST

• Si consideri il diagramma di Nyquist di G(s) esteso ai valori negativi della pulsazione ω tenendo conto delle eventuali singolarit`a sull’asse immaginario

(percorso di Nyquist D e percorso di Nyquist indentato Dⁱ)

• Sia nⁱ(G) il numero di poli di G(s) con parte reale maggiore di zero.

• Criterio di Nyquist.

– Il sistema di controllo a retroazione unitaria `e internamente stabile se e solo se il diagramma esteso di Nyquist di G(s) non passa per il punto (−1, 0) e compie, intorno a questo punto, un numero di rotazioni antiorarie pari a n_i(G).

→ -

WH int

,

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-

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-

-

A

-

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-

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,

I

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- ^a

-

\ 12 ^a

f ^if in T

^he

^{in -2 STABILE}

DIMOSTRAZIONE CRITERIO DI NYQUIST

• Lemma di Cauchy (principio degli argomenti).

– Sia F (s) una funzione di trasferimento razionale fratta e Γ una curva chiusa nel piano complesso orientata in senso orario. Siano zi(F ) e pi(F ) rispettivamente il numero di zeri e di poli di F (s) interni alla regione limitata del piano complesso definita da Γ. Se nessun polo o zero di F (s) appartiene a Γ, allora F (Γ) `e una curva chiusa e limitata che non passa per l’origine e compie intorno all’origine un numero di rotazioni orarie pari a zi(F ) − pⁱ(F )

• La dimostrazione del criterio di Nyquist deriva dall’applicazione del principio degli argomenti ponendo:

1. F (s) = 1 + G(s) 2. Γ = D

CONSIDERAZIONI SUL CRITERIO DI NYQUIST

• Schema a retroazione unitaria.

– Sia ni(W ) il numero dei poli a parte reale maggiore di zero della funzione di trasferimento ad anello chiuso W (s). Allora, nelle ipotesi del criterio di Nyquist, vale:

ni(W ) = ni(G) + NG,−1

– Se ni(G) = 0 (G(s) stabile), allora si parla di criterio di Nyquist ridotto.

– Se G(s) ha poli sull’asse immaginario, allora si deve usare il percorso indentato Dⁱ richiudendo il diagramma esteso di Nyquist.

– Se il diagramma di Nyquist di G(s) passa per il punto (−1, 0), allora W (s) ha poli a parte reale nulla.

– Si pu`o estendere allo studio della stabilit`a di K · G(s) in funzione di K:

ni(W ) = ni(G) + N_G,−1/K

'

Ea

,

-

-

i

,

I tell G1

¥¥ ^{n "}

÷¥ Kanin ^{u UL}

CRITERIO DI NYQUIST: ESEMPI DI APPLICAZIONE

• Sistemi del primo e del secondo ordine stabili

• Sistemi di ordine superiore al secondo stabili

– effetto delle variazioni del guadagno: G(s) = K

(1 + sτ0)(1 + sτ1)(1 + sτ2)

– sistemi condizionatamente stabili: G(s) = K(1 + sτ0)² (1 + sτ1)³

• Sistemi con poli in zero:

G(s) = K

s(1 + sτ1)(1 + sτ2); G(s) = K

s²(1 + sτ1); G(s) = K(1 + sτ0) s²(1 + sτ1)

• Sistemi instabili:

G(s) = K(1 + sτ0) (1 − sτ¹)(1 − sτ²)

MARGINI DI STABILIT `A : FASE E GUADAGNO

• Sistemi “comuni”: la funzione di trasferimento G(s), oltre a non avere poli e zeri a parte reale maggiore di zero, ha un andamento monotono decrescente del modulo |G(jω)|.

• Definizioni delle pulsazioni ω^a (pulsazione di attraversamento) e ωπ. – ωa `e la pulsazione alla quale il modulo di G(jω) `e unitario

(`e univocamente definita per i sistemi comuni);

– ωπ `e la pulsazione alla quale G(jω) `e reale ed ha minimo valore.

• Margine di fase:

mφ := arg G(jωa) + π

• Margine di guadagno:

ma := 1

|G(jω^π)|

• Lettura dei margini di fase sui diagrammi di Bode e Nyquist.

r

we I

= Wc

I ⁿ

wt

we angelus ⁾⁼

,pft÷

CRITERIO DI NYQUIST: SISTEMI CON RITARDO

+ ♠

−

✲ ✲ ✲ ✲

✻ e^−sT G(s)

R(s) Y (s)

• Ipotesi (I): G(s) non ha poli a parte reale maggiore di zero.

• Ipotesi (II): se T = 0 (assenza di ritardo), allora il sistema ad anello chiuso non ha poli a parte reale maggiore di zero.

• Risultato: se T > 0, allora il sistema ad anello chiuso ha poli a parte reale maggiore di zero se il diagramma di Nyquist modificato compie delle rotazioni orarie intorno al punto (−1, 0).

– Ritardo critico Tc :

`e il minimo valore del ritardo T che fa perdere la stabilit`a al sistema ad anello chiuso.

Stabilità e sistemi in retroazione

• Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilità robusta del sistema in retroazione dallo studio nel domino della frequenza della funzione ad anello aperto

Criterio di Bode

(caso particolare del criterio di Nyquist)

Importanza del risultato:

1. Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di L(s) si deduce la stabilità o meno del sistema chiuso in retroazione F(s).

2. Possibilità di ottenere misure sulla robustezza della stabilità del sistema in retro

a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli e delle fasi di L(s).

Margine di fase

Margini di stabilità

Margine di ampiezza

0dB

0°

-90°

-180°

M

M

/ Maarten

:

Gcs )

^to

SCLTSOJ ^{) A too} )

•

Bede

-

Hyper ^Lotte

^as

-oty¥→ _{morgue Jase} ^?

theyre quahogs ^?

HE _{dime !} t

Stabilità: Criterio di Bode

• Ipotesi

• L(s) non ha poli a parte reale positiva

• il criterio vale solo per sistemi stabili

• Il diagramma di Bode del modulo di L(j ) attraversa una sola volta l’asse a 0dB

• L(s) ha guadagno statico > 0 (L(0)>0 )

• Tesi

• condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema in retroazione è che il Margine di Fase di L(s) sia > 0

1

Stabilità e Diagrammi di Bode

• Margine di fase e stabilità

• margine di fase

• proprietà del sistema in catena aperta

• lo smorzamento della risposta del sistema chiuso in retroazione unitaria dipende dal margine di fase

• se esiste almeno una frequenza w

alla quale

• la fase è -180°

• il guadagno è maggiore di uno

• il sistema chiuso in retroazione unitaria è instabile.

G(s)

e R(s) u y

y_sp

-

= -180°

Lcs )

W

Stabilità robusta

0dB

0°

-90°

-180°

Margine di ampiezza

Misura di robustezza della stabilità rispetto ad incertezze sul guadagno di anello.

Rappresenta la massima variazione del guadagno di anello che non pregiudica la stabilità

M

Margine di fase

Misura di robustezza della stabilità rispetto ad incertezze sulla fase della funzione d'anello.

Rappresenta la massima variazione di fase nell'anello che non

pregiudica la stabilità

M

vanno considerati entrambi

:

alte frequenze basse frequenze

Relazioni tra rappresentazioni diverse

• Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione

margine di fase basso adeguato

t 1

alta banda passante bassa

guadagno bassa frequenza

basso

adeguato

Funzione di sensitività complementare

• Obiettivi contrastanti

Dinamica tra disturbo di misura ed errore di inseguimento/uscita

Dinamica tra riferimento e uscita

F(s)

F(s)

Funzione di sensitività complementare – analisi poli/zeri

• Gli zeri di ^F(s) coincidono con gli zeri di ^L(s)

• I poli di ^F(s) dipendono in maniera complessa dai poli e dagli zeri di

L(s) (vedi luogo delle radici)

Non si possono assegnare arbitrariamente gli zeri di F(s) attraverso il

progetto del regolatore. Infatti gli zeri della funzione di trasferimento tra riferimento e uscita sono l'unione di quelli del sistema (fissati) e quelli del regolatore (assegnabili)

RG

RENE

I

bkper

At ^L

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

• Si assumerà che la funzione di risposta armonica di anello L(j ) abbia le caratteristiche di un passa basso:

• |L(j )| >> 1 a basse frequenze

• |L(j )| << 1 a frequenze elevate

Andamento approssimato di |F(j )|

Odd

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

• L’andamento approssimato di ^F(jw) mette in evidenza che

• Il sistema in retroazione

• approssima un filtro passa basso a guadagno unitario

• il suo comportamento si mantiene anche se il sistema in catena aperta cambia le sue caratteristiche

• possiede quindi poli dominanti nell'intorno di _c

• il numero dipende dalla pendenza della

L( j )

• se la pendenza è -1 avremo un solo polo dominante reale

• se la pendenza è -2 avremo una coppia di poli dominanti

• In quest’ultimo caso lo smorzamento dipende dal margine di fase

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

• La relazione (approssimata) tra il margine di fase di L(j ) e lo smorzamento dei poli dominanti di F(j ) può essere ricavata con semplici passaggi sfruttando il fatto che

• Dall’ipotesi che F(j ) abbia una coppia di poli c.c. con pulsazione naturale

n

=

e coefficiente di smorzamento segue che

=

• Smorzamento del sistema in retroazione e margine di fase

• L'analisi della funzione di sensitività complementare ci consente di mettere in relazione proprietà della funzione di trasferimento di anello (margine di fase e pulsazione di attraversamento) con la pulsazione naturale e lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

Regola empirica:

Se il margine di fase (sistema in catena aperta) è < di 75° il sistema in retroazione avrà poli complessi coniugati

Analisi in catena aperta Proprietà del sistema in retroazione Abbiamo stabilito un importantissimo legame tra

EMET

Funzione di sensitività complementare–analisi in frequenza

• Esempio:

-150 -100 -50 0 50

Magnitude (dB)

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-270 -180 -90 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

caratterizzata dai seguenti margini

La funzione di sensitività complementare risulta:

caratterizzata da 3 poli con pulsazione naturale e coefficiente di smorzamento

• Dall’andamento approssimato di F(jw) si ricava che

• Segnali di riferimento y

(e disturbi n ) a frequenze sotto la pulsazione

(pulsazione di attraversamento di |L(j )| ) vengono fedelmente riprodotti in uscita a regime

• Disturbi di misura n (e riferimenti y

) a frequenze sopra la pulsazione

vengono fortemente attenuati in uscita

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

-

Funzione di sensitività complementare–analisi in frequenza

• Esempio

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 Linear Simulation Results

Time (sec)

Amplitude

• La funzione di sensitività rappresenta:

• La dinamica tra set-point e errore di inseguimento

• La dinamica tra disturbo sull’uscita ed errore di inseguimento/uscita

• Obiettivo: tenere S(s) prossima a zero (errore di inseguimento basso)

• Al fine di attenuare il disturbo di misura anche

deve essere piccola

(disaccoppiamento frequenziale tra disturbi di misura e disturbi sull’uscita)

Funzione di sensitività

Problema:

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

• Filtro passa alto con pulsazione di taglio

Andamento approssimato di |S(j )|

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

• L'andamento approssimato di |S(j )| mette in evidenza che

• Le componenti del riferimento e del disturbo sull'uscita a frequenze basse

(sotto la pulsazione di attraversamento

di L(j ) ) vengono attenuate sull'errore di una fattore pari a 1/|L(j ) | (A

= - |L(j )|

)

• Le frequenze superiori a

non vengono invece alterate

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

-

Un segnale di riferimento con una componente frequenziale viene inseguito con una

“precisione” pari all'inverso del guadagno della funzione di risposta armonica di

anello alla frequenza

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

-

Un disturbo sull’uscita con una componente frequenziale viene attenuato in uscita di un fattore pari all'inverso del

guadagno della funzione di risposta armonica di anello alla frequenza

-

=

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ -100

-80 -60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

• Esempio

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 Linear Simulation Results

Time (sec)

Amplitude

→ o ^-

Late

-

DO _⇐ Ifa

&

÷¥¥⇒⇐÷:i÷

S

1st ^L

Traci

^le

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^Imd

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diaper _d-

_CTW ^I ₎ ^Bede

Dl

HIM

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^{" ! .}

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

• Altri esempi:

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Funzione di sensitività e modello interno

• Le specifiche statiche sul sistema in retroazione possono essere imposte agendo sul modulo della ^{L(j )} a certe frequenze

• Nel caso si volesse che un riferimento (disturbo sull'uscita) alla

pulsazione venisse esattamente inseguito (compensato) a regime occorrerebbe che (ovvero che o e ).

Questo si ha se L(s) presenta una coppia di poli complessi coniugati a smorzamento nullo e pulsazione naturale

Coppia di poli puramente immaginari con

-

0

Modello interno

• Principio del modello interno: Affinchè un segnale di riferimento (disturbo sull'uscita) con una componente spettrale alla pulsazione sia inseguito (neutralizzato) a regime perfettamente in uscita è

necessario e sufficiente che

• il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile

• la funzione ad anello aperto L(s) abbia una coppia di poli complessi coniugati sull'asse immaginario con pulsazione naturale pari a

• Caso particolare:segnali di riferimento e disturbi sull'uscita costanti, cioè caratterizzati da una componente spettrale a frequenza zero.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un riferimento (disturbo sull'uscita) costante sia inseguito (compensato) esattamente a regime in uscita è che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile e che la funzione ad anello abbia almeno un polo nell'origine

Funzione di sensitività del controllo

• La funzione di sensitività del controllo rappresenta la relazione dinamica tra tutti gli ingressi di interesse e la variabile di controllo u(t)

• Obiettivo progettuale: poichè uno dei requisiti del sistema di controllo è quello di tenere lo sforzo di controllo ``piccolo'' sarebbe auspicabile che

fosse “piccola”

• Seguendo un approccio frequenziale, sarà auspicabile avere

piccola sia a frequenze basse (al fine di avere moderazione a fronte di riferimenti e

disturbi sull'uscita) che a frequenze elevate (al fine di avere moderazione del

controllo a fronte di disturbi di misura)

Funzione di sensitività del controllo – analisi in frequenza

• Le componenti a frequenze basse, minori della pulsazione di attraversamento

c

di |L(j )| (frequenza alla quale |R(j )| interseca 1/|G(j )| ), sono filtrate dall'inversa di |G(j )|. Il fattore di attenuazione a frequenze basse non è condizionabile attraverso il progetto del controllo.

• Le componenti a frequenze elevate (maggiori della pulsazione di

attraversamento

di |L(j )|) sono filtrate da |R(j )|. Perciò il fattore di

attenuazione a frequenze elevate è condizionabile attraverso il progetto del regolatore.

Andamento approssimato di |Q(j )|

→ I-Ii

Funzione di sensitività del controllo – analisi in frequenza

Andamento approssimato di |Q(j )|

Una buona regola da seguire, al fine di moderare lo sforzo di controllo, è evitare l'uso di regolatori che “amplificano” a frequenze elevate, ovvero evitare di imporre frequenze di attraversamento _c di

|L( j )|

|G( j )|

L ^-_.

R

•

→ &

Funzione di sensitività del controllo – analisi in frequenza

• Esempio

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

-80 -60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

40 Step Response

Amplitude

-2 0 2 4 6 8 10

12 Step Response

Amplitude

Esempio

EM

-

scstro ₎

=

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Errori a Regime

Prof. Laura Giarré

Laura.Giarre@UNIMORE.IT

https://giarre.wordpress.com/ca/

Specifiche e Requisiti

• 1) Stabilità (Robustezza, Margini di fase e di guadagno)

• 2) Specifiche a regime, a transitorio esaurito: )

• 3) Specifiche dinamiche

(comportamento nel tempo e nella frequenza:

prontezza (tempo di salita, tempo di assestamento, massima sovraelongazione, banda passante, picco di risonanza)

(legate al comportamento dei poli dominanti)

Errore a regime e tipo di sistema

• Consideriamo il sistema in retroazione unitaria:

con

• Errore a regime nella risposta ad un segnale U(s):

-

✓ u

Errore nella risposta al gradino

• La ^L-trasformata del gradino di ampiezza A vale:

L’errore rispetto al gradino è detto anche errore di posizione

e

Se

G(s)

e

=0

Il numero (

h

G(s)

lp

la

to

Errore di posizione e tipo di sistema

• Risposte al gradino

0 5 10 15 20 25

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 1 errore a regime

nullo

0 5 10 15 20

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 2 errore a regime

nullo

sistema di tipo 0

0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 1.5

errore a regime costante

Errore nella risposta alla rampa

• La L-trasformata della rampa di pendenza A vale:

L’errore rispetto alla rampa è detto anche errore di velocità

e

In funzione del tipo del sistema avremo:

tipo 0:

e

= ∞

tipo 1:

e

= A/µ

tipo ≥2:

e

= 0

Costante di velocità:

Se

G(s)

)

e

=0

Errore di velocità e tipo di sistema

• Risposte alla rampa

sistema di tipo 2

0 5 10 15 20

0 0.5

1 1.5

errore a regime nullo

sistema di tipo 0

0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 1.5

errore a regime crescente

0 5 10 15 20 25

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 1 errore a regime

costante

Errore di accelerazione

• Analogamente, considerando il segnale:

L’ errore di accelerazione

e

In funzione del tipo del sistema avremo:

tipo 0,1:

e

= ∞

tipo 2:

e

= A/µ

tipo ≥3:

e

= 0

Se

G(s)

)

e

=0

Costante di accelerazione:

Caso generale

• Per segnali, in generale del tipo:

G(s) Kp Kv Ka ep ev ea

Tipo 0 µ ^{0 0}

Tipo 1 µ 0

Tipo 2 µ

Si ha, indicando con

h

EiiEE or ^O GO

¥ ^{toddy ⇐}

y

f ^d

y=sdT ^-

HeT ^{e Ys}

^{S p}

Zum _{di si}

pre

'

iyya

he table ^{An de}

La _del ^{studs are} gli else ^He

disturb

y

Esem pie

Si bright

^controller

C Cs )

Kage

⇒ Ede 1^-1

in mob ^de e' _cure

a regime ^{lead e 0.1}

Hal ⁰ * ^a

²

yespaeiffezayee.li

.

d ^e

^em guerre

oeyveetaohana di

Gls )

KITE _{so ITT} ^{HT )}

L b)

Rfs ¥a

^{KB ) Kc}

^{Gcs ITC IT ) I HIT IT ) ,}

Theo It

^G

µ

^{KB Kc}

sia GG7=@

to )

LCS )

tiger ^{Gls )}

=

he

,1&

FINED ^{TIP h}

ea:

leg ^f

^-1g

^{htt h Z}

Ianto ^deve

value ^{tee E e}

fade ^{' le}

specifier ^oars

Seder false ^?

DAKA ^TA BELLA

Az ²

① lead ysp

're ^Mary Af

^{centare ÷}

F- et← ^{h =L ↳}

Non dub

agpyne

be

feet ^are

fendi ^some fri

freak ^!

I ^{Eoe )}

E ^o

^{y AT A}

Hz ^Kc

¥①€ AE ^he

Ice ^te ke

I

Yd It ⁰

²

d

taped ^as

TIE Y ^⇒

Retroazione non unitaria

• Nel caso in cui il sistema in esame presenti una dinamica

H(s) non unitaria sul ramo di retroazione:

• Ci si riconduce alla retroazione

unitaria considerando, per il

calcolo dell’errore a regime, lo

schema equivalente:

EE to LE I

⇐⇒⇒j ⇐ -

Fiat

a ⁼

=

¥¥

=

G-

I t ^GH

IEEE

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100

Retroazione non unitaria

• Determinare l’errore a regime per

• ingresso a gradino X(s) = 5/s

• e a rampa

X(s) = 5/s^2 del sistema in retroazione

+

-

Per i valori di

k = 1, 100