Esercizio: calcolare la densit` a della misura di probabilit` a condizionata associata a due variabili casuali X t e X s provenienti da un processo gaussiano di media m(·) e funzione di covarianza a(·, ·).

(1)

Francesco Compagno

Esercizio: calcolare la densit` a della misura di probabilit` a condizionata associata a due variabili casuali X _t e X _s provenienti da un processo gaussiano di media m(·) e funzione di covarianza a(·, ·).

Soluzione: per il teorema di Radon-Nikodym, per ogni I, J coppia di boreliani, esiste una funzione misurabile p(·, I) tale che:

P(X s ∈ J, X _t ∈ I) = Z

J

p(x, I)µ _X

_s

(dx) :=

Z

J

p(x, I)dµ _X

_s

(x)

Siccome p(·, I) dipende anche da s e da t, scriveremo p(·, I) = p(s, ·; t, I). Per definizione:

P(X t ∈ I | X _s = x) = p(s, x; t, I)

quindi dobbiamo trovare la funzione p(s, ·; t, I). Per definizione di processo Gaussiano abbiamo che il vettore (X _t , X _s ) ha densit` a congiunta

f (x, y) := 1

2π p|A| exp(− 1

2 (x − m(s), y − m(t))A ⁻¹ (x − m(s), y − m(t)) ^t ) ove A ` e la matrice 2 × 2 che ha come elementi a(i, j) per i, j = s, t. Allora otteniamo:

P(X t ∈ J, X _s ∈ I) = Z

J ×I

f (x, y)dxdy = Z

J

Z

I

f (x, y)dy

dx

= Z

J

Z

I

f (x, y) f ₁ (x) dy

f ₁ (x)dx

= Z

J

Z

I

f (x, y) f ₁ (x) dy

µ _X

_s

(dx)

ove f ₁ ` e la densit` a di X _s , ovvero

f ₁ (x) = Z

R

f (x, y)dy Per l’unicit` a della derivata di Radon-Nikodym quindi

p(s, x; t, I) = Z

I

f (x, y)

f ₁ (x) dy =⇒ p(s, x; t, dy) = f (x, y) f ₁ (x) dy

L’ultima espressione ` e proprio ci` o che dobbiamo calcolare. Pertanto dobbiamo innanzitutto risolvere l’integrale che definisce f ₁ (x). Per farlo scriviamo per semplicit` a m _t = m(t), m _s = m(s), a _st = a(s, t). Inoltre valgono:

a _ss a _st a _st a _tt

= |A| ⁻¹ a _tt −a _st

−a _st a _ss

e

(x−m _s , y−m _t )A ⁻¹ (x−m _s , y−m _t ) ^t = |A| ⁻¹ a _ss ((y−m _t )− a _st

a _ss (x−m _s )) ² +|A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st

a _ss (x−m _s )) ²

(2)

perci` o f ₁ (x) =

Z

R

f (x, y)dy = Z

R 1 2π √

|A| exp(− 1

2 (x − m(s), y − m(t))A ⁻¹ (x − m(s), y − m(t)) ^t )dy

= 1

2π p|A|

Z

R

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a _ss ((y − m _t ) − a _st a ss

(x − m _s )) ² − ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st a ss

(x − m _s )) ² )dy

= 1

2π p|A| exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st

a _ss (x − m _s )) ² ) Z

R

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a _ss (y − (m _t + a _st

a _ss (x − m _s ))) ² dy

= 1

2π p|A| exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a tt − a ² _st

a _ss (x − m s )) ² ) Z

R

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a ss y ² )dy

= 1

√ 2πa _ss exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st

a _ss (x − m _s )) ² ) Z

R

√ 1

2π|A|a

⁻¹ss

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a _ss y ² )dy

= 1

√ 2πa _ss exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st

a _ss (x − m _s )) ² ) quindi

f (x, y) f ₁ (x) =

1 2π √

|A| exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a ss ((y − m t ) − _a ^a

^st

ss

(x − m s )) ² − ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a tt − _a ^a

²^st

ss

(x − m s )) ² )

√ 1

2πa

ss

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − _a ^a

²^st

ss

(x − m _s )) ² )

= 1

p2π|A|a ⁻¹ _ss exp(− 1

2|A|a ⁻¹ _ss (y − (m t + a _st

a _ss (x − m s ))) ² )

= 1

√

2πσ ² exp(− 1

2σ ² (y − µ) ² ) dove abbiamo definito

σ ² = σ ² (s, t) = |A|a ⁻¹ _ss e µ = µ(s, t) = m _t + ^a _a

^st

ss

(x − m _s ) Esercizio: usare l’esercizio precedente per calcolare l’integrale

Z

R

P(X ^t ∈ dy | X r = z)P(X ^r ∈ dz | X s = x), con s < r < t

Soluzione:dall’esercizio precedente, se chiamiamo σ ₁ ² = σ ² (s, r), σ ² ₂ = σ ² (r, t), µ ₁ = µ(s, r), µ 2 = µ(r, t), abbiamo:

µ ₁ = m _r + a _sr

a _ss (x − m _s ) σ ₁ ² = a _ss a _rr − a ² _sr a _ss µ ₂ = m _t + a _rt

a rr

(z − m _r ) σ ₂ ² = a _rr a _tt − a ² _rt

a rr

(3)

Z

R

P(X t ∈ dy | X _r = z)P(X r ∈ dz | X _s = x)

= Z

R

1 p2πσ ² ₂ exp(− 1

2σ ₂ ² (y − µ ₂ ) ² ) 1

p2πσ ₁ ² exp(− 1

2σ ₁ ² (z − µ ₁ ) ² )

= Z

R

1 p2πσ ² ₂ exp(− 1

2σ ₂ ² (y − µ ₂ ) ² ) 1

p2πσ ₁ ² exp(− 1

2σ ₁ ² (z − µ ₁ ) ² )

= 1

2π pσ ₁ ² σ ₂ ² Z

R

exp(− 1

2σ ₁ ² σ ² ₂ (σ ₁ ² (y − µ ₂ ) ² + σ ₂ ² (z − µ ₁ ) ² ))

= 1

2π pσ ₁ ² σ ₂ ² Z

R

exp(− 1

2σ ₁ ² σ ² ₂ (σ ₁ ² (y − µ ₂ ) ² + σ ₂ ² (z − µ ₁ ) ² ))

= 1

2π pσ ₁ ² σ ₂ ² Z

R

exp(− 1

2σ ₁ ² σ ² ₂ (σ ₁ ² (y − m _t − a _rt

a _rr (z − m _r )) ² + σ ₂ ² (z − µ ₁ ) ² ))

= 1

2π pσ ₁ ² σ ₂ ² Z

R

exp(− 1

2σ ₁ ² σ ² ₂ (σ ₁ ² (y − m _t − a _rt

a _rr (z + µ ₁ − m _r )) ² + σ ² ₂ z ² ))

ora, espandendo l’esponente dell’esponenziale:

σ ² ₁ (y − m t − a rt

a _rr (z + µ 1 − m r )) ² + σ ₂ ² z ² = σ ² ₁ (y − a rt

a _rr z − (m t + a rt a sr

a _ss a _rr (x − m s ))) ² + σ ₂ ² z ² ora (siccome abbiamo sbirciato la soluzione) poniamo:

µ = m t + a _rt a _sr

a _ss a _rr (x − m s ) allora l’esponente diventa

σ ₁ ² (y − a _rt

a _rr z − µ) ² + σ ² ₂ z ² = σ ₁ ² (y − µ) ² − 2σ ² ₁ (y − µ) a _rt

a _rr z + (σ ₁ ² a ² _rt

a ² _rr + σ ₂ ² )z ²

ora poniamo

σ ² = (σ ² ₁ a ² _rt

a ² _rr + σ ² ₂ ) = a _tt − a ² _rt a ² _sr a ² _rr a _ss

dove ` e facile verificare che vale l’ultima uguaglianza. Allora l’esponente diventa, dopo aver completato il quadrato rispetto alla variabile z:

σ ² (z − qualcosa) ² + σ ² ₁ (y − µ) ² − (σ ₁ ² (y − µ) _a ^a

^rt

rr

) ² σ ² perci` o l’integrale risulta:

√ 1

2πσ ² exp(− 1

2σ ₁ ² σ ² ₂ (σ ₁ ² (y − µ) ² − (σ ² ₁ (y − µ) ^a _a

^rt

rr

) ²

σ ² )

= 1

√

2πσ ² exp(− (y − µ) ² 2σ ²

a ² _rr σ ² − σ ² ₁ a ² _rt σ ₂ ² a ² _rr )

= 1

√

2πσ ² exp(− (y − µ) ²

2σ ² )

(4)

a ² _rr σ ² − σ ₁ ² a ² _rt σ ₂ ² a ² _rr = 1

Esercizio: verificare che se f e σ (i cui argomenti scriveremo a pedice per risparmiare spazio) sono funzioni differenziabili mai nulle allora le variabili casuali

X t := σ t f t

Z t 0

dW _s f _s soddisfano l’equazione integrale

X _t = Z t

0 (f _s σ _s )

⁰

f _s σ _s X _s ds + Z t

0 σ _s dW _s inoltre si calcoli la covarianza di X t e X s

Soluzione:

X _t = Z t

0 (f _s σ _s )

⁰

f _s σ _s X _s ds + Z t

0 σ _s dW _s

⇐⇒ X _t = Z t

0 (f _s σ _s )

⁰

f _s σ _s X _s ds + σ _t W _t − Z t

0 W _s σ _s

⁰

ds

⇐⇒ X _t + Z t

0 W _s σ

⁰

_s ds − σ _t W _t = Z t

0 (f _s σ _s )

⁰

f _s σ _s σ _s f _s

Z s 0

dW _u f _u du

⇐⇒ σ _t f _t Z t

0 dW _s f _s +

Z t 0

W _s σ _s

⁰

ds − σ _t W _t = Z t

0 (σ _s

⁰

f _s + f _s

⁰

σ _s ) W _s f _s +

Z s 0

W _u f _u

⁰

f _u ² du

ds

⇐⇒ σ _t f _t W _t f _t +

Z t 0

W _u f _s

⁰

f _s ² ds

+

Z t 0

W _s σ _s

⁰

ds − σ _t W _t = Z t

0 σ _s

⁰

f _s + f _s

⁰

σ _s f _s W _s ds +

Z t s

Z s 0

(σ _s

⁰

f _s + f _s

⁰

σ _s )W _u f _u

⁰

f _u ² duds

⇐⇒ σ _t f _t Z t

0 W _u f _s

⁰

f _s ² ds =

Z t 0

f _s

⁰

σ _s f s

W _s ds + Z t

0 (σ − sf _s )

⁰

Z s 0

W _u f _u

⁰

f _u ² du

ds

⇐⇒ σ _t f _t Z t

0 W _u f _s

⁰

f _s ² ds =

Z t 0

f _s

⁰

σ s

f _s W _s ds + σ _t f _t Z t

0 f _s

⁰

f _s ² ds −

Z t 0

σ _s f _s

Z s 0

W _u f _u

⁰

f _u ² du

⁰

ds

⇐⇒ 0 = 0

Per trovare la covarianza a(s, t) = E((x ^s − E(X ^s ))(x t − E(X ^t ))) calcoliamo prima l’aspettazione:

E(X ^t ) = Z

Ω

σ _t f _t Z t

0 dW _s (ω) f _s dP(ω)

= Z

Ω

σ _t f _t W _t (ω)

f _t dP(ω) + Z

Ω

σ _t tf _t Z t

0 W _s (ω) f _s

⁰

f _s ² dsdP(ω)

= σ _t E(W t ) + σ _f f _t Z t

0 f _s

⁰

f _s ²

Z

Ω

W _s (ω)dP(ω)ds

= 0

dove l’ultimo passaggio segue dal fatto che il processo di Wiener ha media nulla. Nel seguito

(5)

scriveremo dω in luogo di dP(ω) per brevit`a. Cominciamo il calcolo della covarianza:

a(s, t) = E(X s X _t ) = Z

Ω

X _s (ω)X _t (ω)dω

= Z

Ω

σ _t W _t (ω)σ _s W _s (ω) + σ _t W _t (ω)σ _s f _s Z s

0 f _u

⁰

f _u ² W _u du + σ _s W _s (ω)σ _t f _t Z t

0 f _v

⁰

f _v ² W _v dv + σ _s σ _t f _s f _t

Z s 0

f _u

⁰

f _u ² W _u du

Z t 0

f _v

⁰

f _v ² W _v dv

dω

= σ t σ s s ∧ t + σ t σ s f s

Z 2 0

f _u

⁰

f _u ² t ∧ u du + σ s σ t f t

Z 2 0

f _v

⁰

f _v ² s ∧ v dv + σ _s σ _t f _s f _t

Z s 0

Z t 0

f _u

⁰

f _u ²

f _v

⁰

f _v ² v ∧ u dudv

dove nell’ultimo passaggio in ciascun addendo abbiamo commutato gli integrali e usato il fatto che la funzione di covarianza del processo di Wiener ` e s∧t. abbiamo quindi un’espressione com- posta di 4 addendi. Li definiamo dal primo al quarto come, rispettivamente A ₁ (s, t), A ₂ (s, t), A ₃ (s, t), A ₄ (s, t). Allora notiamo che, supponendo s < t:

A ₁ (s, t) = σ _t σ _s s ∧ t A 2 (s, t) = σ t σ s f s

Z 2 0

f _u

⁰

f _u ² u du = σ t σ s f s

− s f _s +

Z s 0

1 f _u du

= −sσ t σ s + σ t σ s f s

Z s 0

1 f _u du A ₃ (s, t) = A ₂ (t, s)

A ₄ (s, t) = σ _s σ _t f _s f _t Z s

0 Z t 0

f _u

⁰

f _u ²

f _v

⁰

f _v ² v ∧ u dudv

= σ _s σ _t f _s f _t Z Z

A

f _u

⁰

f _u ²

f _v

⁰

f _v ² v dudv + σ _s σ _t f _s f _t Z Z

B

f _u

⁰

f _u ²

f _v

⁰

f _v ² u dudv

ora, in A ₄ le regioni A e B sono le due parti del rettangolo {0 ≤ x ≤ s, 0 ≤ y ≤ t} in cui v ≤ u e u ≤ v rispettivamente. Risolvendo questi due ultimi integrali otteniamo:

Esercizio: calcolare la densit` a della misura di probabilit` a condizionata associata a due variabili casuali X t e X s provenienti da un processo gaussiano di media m(·) e funzione di covarianza a(·, ·).

Francesco Compagno

Esercizio: calcolare la densit` a della misura di probabilit` a condizionata associata a due variabili casuali X t e X s provenienti da un processo gaussiano di media m(·) e funzione di covarianza a(·, ·).

Soluzione: per il teorema di Radon-Nikodym, per ogni I, J coppia di boreliani, esiste una funzione misurabile p(·, I) tale che:

P(X s ∈ J, X t ∈ I) = Z

J

p(x, I)µ X

(dx) :=

Z

J

p(x, I)dµ X

(x)

Siccome p(·, I) dipende anche da s e da t, scriveremo p(·, I) = p(s, ·; t, I). Per definizione:

P(X t ∈ I | X s = x) = p(s, x; t, I)

quindi dobbiamo trovare la funzione p(s, ·; t, I). Per definizione di processo Gaussiano abbiamo che il vettore (X t , X s ) ha densit` a congiunta

f (x, y) := 1

2π p|A| exp(− 1

2 (x − m(s), y − m(t))A −1 (x − m(s), y − m(t)) t ) ove A ` e la matrice 2 × 2 che ha come elementi a(i, j) per i, j = s, t. Allora otteniamo:

P(X t ∈ J, X s ∈ I) = Z

J ×I

f (x, y)dxdy = Z

J

 Z

I

f (x, y)dy

 dx

= Z

J

 Z

I

f (x, y) f 1 (x) dy



f 1 (x)dx

= Z

J

 Z

I

f (x, y) f 1 (x) dy



µ X

(dx)

ove f 1 ` e la densit` a di X s , ovvero

f 1 (x) = Z

R

f (x, y)dy Per l’unicit` a della derivata di Radon-Nikodym quindi

p(s, x; t, I) = Z

I

f (x, y)

f 1 (x) dy =⇒ p(s, x; t, dy) = f (x, y) f 1 (x) dy

L’ultima espressione ` e proprio ci` o che dobbiamo calcolare. Pertanto dobbiamo innanzitutto risolvere l’integrale che definisce f 1 (x). Per farlo scriviamo per semplicit` a m t = m(t), m s = m(s), a st = a(s, t). Inoltre valgono:

a ss a st a st a tt



= |A| −1  a tt −a st

−a st a ss



e

(x−m s , y−m t )A −1 (x−m s , y−m t ) t = |A| −1 a ss ((y−m t )− a st

a ss (x−m s )) 2 +|A| −1 (a tt − a 2 st

a ss (x−m s )) 2

perci` o f 1 (x) =

Z

R

f (x, y)dy = Z

R 1 2π √

|A| exp(− 1

2 (x − m(s), y − m(t))A −1 (x − m(s), y − m(t)) t )dy

= 1

2π p|A|

Z

R

exp(− 1 2 |A| −1 a ss ((y − m t ) − a st a ss

(x − m s )) 2 − 1 2 |A| −1 (a tt − a 2 st a ss

(x − m s )) 2 )dy

= 1

2π p|A| exp(− 1 2 |A| −1 (a tt − a 2 st

a ss (x − m s )) 2 ) Z

R

exp(− 1 2 |A| −1 a ss (y − (m t + a st

a ss (x − m s ))) 2 dy

= 1

Esercizio: calcolare la densit` a della misura di probabilit` a condizionata associata a due variabili casuali X _t e X _s provenienti da un processo gaussiano di media m(·) e funzione di covarianza a(·, ·).

P(X s ∈ J, X _t ∈ I) = Z

p(x, I)µ _X

p(x, I)dµ _X

P(X t ∈ I | X _s = x) = p(s, x; t, I)

quindi dobbiamo trovare la funzione p(s, ·; t, I). Per definizione di processo Gaussiano abbiamo che il vettore (X _t , X _s ) ha densit` a congiunta

2 (x − m(s), y − m(t))A ⁻¹ (x − m(s), y − m(t)) ^t ) ove A ` e la matrice 2 × 2 che ha come elementi a(i, j) per i, j = s, t. Allora otteniamo:

P(X t ∈ J, X _s ∈ I) = Z

Z

dx

Z

f (x, y) f ₁ (x) dy

f ₁ (x)dx

Z

f (x, y) f ₁ (x) dy

µ _X

ove f ₁ ` e la densit` a di X _s , ovvero

f ₁ (x) = Z

f ₁ (x) dy =⇒ p(s, x; t, dy) = f (x, y) f ₁ (x) dy

L’ultima espressione ` e proprio ci` o che dobbiamo calcolare. Pertanto dobbiamo innanzitutto risolvere l’integrale che definisce f ₁ (x). Per farlo scriviamo per semplicit` a m _t = m(t), m _s = m(s), a _st = a(s, t). Inoltre valgono:

a _ss a _st a _st a _tt

= |A| ⁻¹ a _tt −a _st

−a _st a _ss

(x−m _s , y−m _t )A ⁻¹ (x−m _s , y−m _t ) ^t = |A| ⁻¹ a _ss ((y−m _t )− a _st

a _ss (x−m _s )) ² +|A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st

a _ss (x−m _s )) ²

perci` o f ₁ (x) =

2 (x − m(s), y − m(t))A ⁻¹ (x − m(s), y − m(t)) ^t )dy

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a _ss ((y − m _t ) − a _st a ss

(x − m _s )) ² − ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st a ss

(x − m _s )) ² )dy

2π p|A| exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st

a _ss (x − m _s )) ² ) Z

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a _ss (y − (m _t + a _st

a _ss (x − m _s ))) ² dy

2π p|A| exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a tt − a ² _st

a _ss (x − m s )) ² ) Z

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a ss y ² )dy

√ 2πa _ss exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st

a _ss (x − m _s )) ² ) Z

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a _ss y ² )dy

√ 2πa _ss exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − a ² _st

a _ss (x − m _s )) ² ) quindi

f (x, y) f ₁ (x) =

|A| exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ a ss ((y − m t ) − _a ^a

(x − m s )) ² − ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a tt − _a ^a

(x − m s )) ² )

exp(− ¹ ₂ |A| ⁻¹ (a _tt − _a ^a

(x − m _s )) ² )

p2π|A|a ⁻¹ _ss exp(− 1

2|A|a ⁻¹ _ss (y − (m t + a _st

a _ss (x − m s ))) ² )

2πσ ² exp(− 1

2σ ² (y − µ) ² ) dove abbiamo definito

σ ² = σ ² (s, t) = |A|a ⁻¹ _ss e µ = µ(s, t) = m _t + ^a _a

(x − m _s ) Esercizio: usare l’esercizio precedente per calcolare l’integrale

P(X ^t ∈ dy | X r = z)P(X ^r ∈ dz | X s = x), con s < r < t

Soluzione:dall’esercizio precedente, se chiamiamo σ ₁ ² = σ ² (s, r), σ ² ₂ = σ ² (r, t), µ ₁ = µ(s, r), µ 2 = µ(r, t), abbiamo:

µ ₁ = m _r + a _sr

a _ss (x − m _s ) σ ₁ ² = a _ss a _rr − a ² _sr a _ss µ ₂ = m _t + a _rt

(z − m _r ) σ ₂ ² = a _rr a _tt − a ² _rt

P(X t ∈ dy | X _r = z)P(X r ∈ dz | X _s = x)

p2πσ ² ₂ exp(− 1

2σ ₂ ² (y − µ ₂ ) ² ) 1

p2πσ ₁ ² exp(− 1

2σ ₁ ² (z − µ ₁ ) ² )

p2πσ ² ₂ exp(− 1

2σ ₂ ² (y − µ ₂ ) ² ) 1

p2πσ ₁ ² exp(− 1

2σ ₁ ² (z − µ ₁ ) ² )

2π pσ ₁ ² σ ₂ ² Z

2σ ₁ ² σ ² ₂ (σ ₁ ² (y − µ ₂ ) ² + σ ₂ ² (z − µ ₁ ) ² ))

2π pσ ₁ ² σ ₂ ² Z

2σ ₁ ² σ ² ₂ (σ ₁ ² (y − µ ₂ ) ² + σ ₂ ² (z − µ ₁ ) ² ))