9 Applicazioni del calcolo diﬀerenziale allo studio delle funzioni

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Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi

Sia y = f (x) una funzione definita nell’intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità, né di derivabilità). Sia poi x₀ ∈ A, ∆x 6= 0 un arbitrario incremento di x₀ su A.

Si dice che la f (x) `e crescente [decrescente] nel punto x₀ se esiste un numero positivo σ tale che, per ogni incremento ∆x che abbia valore assoluto minore di σ, il corrispondente incremento ∆y della funzione risulti dello stesso segno di ∆x [di segno opposto a ∆x]. In altre parole, dire che y = f (x) `e crescente nel punto x₀ significa che esiste un σ > 0 tale da aversi

∆y

∆x > 0 per 0 < |∆x| < σ; (9.1)

dire che y = f (x) `e decrescente nel punto x₀ significa che esiste un σ > 0 tale da aversi

∆y

∆x < 0 per 0 < |∆x| < σ. (9.2)

Si noti che questo concetto di crescenza (o decrescenza) in un punto è un concetto in piccolo ed è distinto da quello già noto di crescenza (o decrescenza) in un intervallo che invece è un concetto in grande.

Si dice che la f (x) ha in x₀ un punto di massimo relativo [minimo relativo] se esiste un numero positivo σ tale che, per ogni incremento ∆x che abbia valore assoluto minore di σ, il corrispondente incremento ∆y della funzione risulti sempre non positivo [non negativo]. In altre parole, dire che x₀ `e un punto di massimo relativo significa che esiste un σ > 0 tale da aversi

∆y 6 0 per 0 < |∆x| < σ; (9.3)

dire che x₀ `e un punto di minimo relativo significa che esiste un σ > 0 tale da aversi

∆y > 0 per 0 < |∆x| < σ. (9.4)

Se in luogo della (9.3) vale la condizione pi`u restrittiva

∆y < 0 per 0 < |∆x| < σ; (9.5)

si dice che x₀ `e un punto di massimo relativo proprio; analogamente, se in luogo della (9.4) sussiste la

∆y > 0 per 0 < |∆x| < σ. (9.6)

si dice che x₀ `e un punto di minimo relativo proprio.

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Capitolo 9. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Anche questi concetti sono in piccolo, perch´e riguardano soltanto i valori assunti dalla funzione in un opportuno intorno del punto x₀; essi non vanno confusi con i concetti di massimo o minimo assoluto nell’intervallo A, che sono concetti in grande, perch´e si riferiscono ai valori della funzione in tutto A.

Aggiungendo ora l’ipotesi che la funzione f (x) sia derivabile nel punto x₀ che si considera, si ottengono i due seguenti importanti risultati.

9.1.I Se nel punto x₀ ∈ A la f (x) è derivabile ed è f⁰(x₀) > 0 [f⁰(x₀) < 0], allora la funzione è crescente in x₀ [decrescente in x₀].

9.1.II Il punto x₀ ∈ A sia per la f (x) di massimo o di minimo relativo. Allora, se x₀ `e interno all’intrvallo A e se in x₀ la f (x) `e derivabile, si ha necessariamente f⁰(x₀) = 0.

Queste due proposizioni risultano intuitive da un punto di vista geometrico. La 9.1.I dice che se nel punto del grafico corrispondente a x₀ esiste la tangente (non parallela all’asse y) e questa sale verso destra [verso sinistra], allora la funzione è crecente [decrescente] nel punto x₀. La 9.1.II afferma che, se x₀ è un punto di massimo o di minimo relativo interno ad A e se nel corrispondente punto del grafico esiste la tangente, questa è necessariamente parallela all’asse x; si osservi che è essenziale che x₀ sia interno ad A, perché se è ad un estremo non è detto affatto che nel punto corrispondente del grafico la tangente risulti parallela all’asse x.

Diamo ora altri importanti risultati relativi a funzioni definite in un intervallo chiuso e limitato [a, b], che siano in esso continue e derivabili in ogni punto interno.

9.1.III (Teorema di Rolle) Sia f (x) continua in [a, b] e derivabile in ogni punto interno all’intervallo stesso. Se la f (x) assume valori uguali negli estremi dell’intervallo, se cio`e f (a) = f (b), allora esiste almeno un punto ξ ∈ (a, b) in cui la derivata della f (x) `e nulla.

9.1.IV (Teorema di Cauchy) Siano f (x), g(x) continue in [a, b] e derivabili in ogni pun- to interno; Sia inoltre sempre g⁰(x) 6= 0 in (a, b). Allora esiste almeno un punto ξ ∈ (a, b) tale da aversi

f (b) − f (a)

g(b) − g(a) = f⁰(ξ)

g⁰(ξ). (9.7)

9.1.V (Teorema di Lagrange) Se f (x) `e continua in [a, b] e derivabile in ogni punto interno, esiste almeno un punto ξ ∈ (a, b) tale da aversi

f (b) − f (a) = (b − a)f⁰(ξ). (9.8)

Il teorema di Lagrange — che `e un caso particolare del teorema di Cauchy e comprende, come caso particolare, il teorema di Rolle — ha un notevole significato geometrico. La (9.8) esprime infatti che, considerando il grafico della f (x) in [a, b], esiste almeno un punto C (di ascissa ξ) di tale grafico in cui la tangente (di coefficiente angolare f⁰(ξ)) risulta parallela al segmento che unisce i punti A = (a, f (a)) e B = (b, f (b)).

Una notevole conseguenza del teorema di Lagrange `e la seguente:

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9.1.VI Se la f (x) `e continua in [a, b], derivabile in ogni punto interno, con derivata sempre nulla, allora f (x) `e costante in tale intervallo.

A questa proposizione si pu`o anche dare la forma seguente:

9.1.VII Se f (x), g(x) sono continue in [a, b], derivabili in ogni punto interno ed `e sempre f⁰(x) = g⁰(x), le due funzioni differiscono per una costante.

9.2 Concavit`a e convessit`a in piccolo; punti di flesso

Sia y = f (x) una funzione derivabile in un dato intervallo A, x₀ un punto interno ad A e

∆x un incremento di x₀ su A. Indichiamo con t₀ la retta tangente al grafico della funzione in quel suo punto P₀ che ha ascissa x₀.

Può allora accadere che, nelle vicinanze del punto P₀, i punti del grafico distinti da P₀ siano situati al di sopra della tangente t₀, come pure può accadere che, nelle vicinanze di P₀, tali punti siano situati al di sotto di t₀. Nel primo caso si dice che nel punto P₀ la curva y = f (x) volge la concavità verso l’alto (oppure la convessità verso il basso); nel secondo caso si dice che in tale punto essa volge la concavità verso il basso (la convessità verso l’alto).

Poiché l’ordinata del punto P del grafico corrispondente all’ascissa x₀+ ∆x vale f (x₀) + ∆y e quella del punto Q della tangente t₀ corrispondente alla stessa ascissa vale f (x₀) + dy, il primo punto starà al di sopra del secondo se ∆y > dy, starà al di sotto se ∆y < dy. Tenendo poi conto che richiediamo soltanto che una di queste proprietà valga nelle vicinanze di P₀, cioè per |∆x| abbastanza piccolo, possiamo esprimere in modo preciso i precedenti concetti con la definizione seguente: si dice che nel punto P₀ la curva di equazione y = f (x) volge la concavità verso l’alto se esiste un σ > 0 tale che per 0 < |∆x| < σ risulti sempre

∆y − dy > 0 (9.9)

si dice che nel punto P₀ la curva di equazione y = f (x) volge la concavit`a verso il basso se esiste un σ > 0 tale che per 0 < |∆x| < σ risulti sempre

∆y − dy < 0 (9.10)

Si dice che il punto P₀ `e un punto di flesso della curva di equazione y = f (x) se in tale punto la curva attraversa la tangente t₀, nel senso che, per valori di x minori di x₀ e prossimi ad esso, si hanno punti del grafico situati da una parte di t₀, mentre, per valori di x maggiori di x₀ e prossimi ad esso, si hanno punti del grafico situati dall’altra parte di t₀.

Potremmo dire che il grafico passa dal di sotto al di sopra della tangente, oppure dal di sopra al di sotto, ma `e meglio includere anche il caso in cui il grafico possa avere, sia a sinistra che a destra di x₀, punti in comune con t₀ e dire pertanto che il grafico `e dapprima non al di sopra di t₀ e poi non al di sotto, oppure prima non al di sotto e poi non al di sopra di t₀.

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Poich´e il fatto che il grafico non sia al di sopra di t₀ si traduce nella ∆y 6 dy ed il fatto che non sia al di sotto equivale alla ∆y > dy, possiamo dire che, supposto |∆x| abbastanza piccolo, si ha nel primo caso

∆y − dy 6 0 se ∆x < 0, ∆y − dy > 0 se ∆x > 0 e quindi sempre

∆y − dy

∆x > 0 e nel secondo

∆y − dy > 0 se ∆x < 0, ∆y − dy 6 0 se ∆x > 0 e quindi sempre

∆y − dy

∆x 6 0.

Ci`o ci conduce alla seguente precisa definizione: si dice che il punto x₀ `e punto di flesso della curva y = f (x) se esiste un σ > 0 tale che per 0 < |∆x| < σ il rapporto (∆y − dy)/∆x non assuma mai valori di segno opposto, ossia se risulta sempre

∆y − dy

∆x > 0 oppure ∆y − dy

∆x 6 0. (9.11)

Se in luogo delle (9.11) si hanno le disuguaglianze in senso stretto, cio`e se per 0 < |∆x| < σ si ha sempre

∆y − dy

∆x > 0 oppure ∆y − dy

∆x < 0, (9.12)

si dice che P₀ `e un punto di flesso proprio.

Valgono i seguenti risultati:

9.2.I Se la derivata f⁰(x) `e crescente [decrescente] nel punto x₀, allora la curva y = f (x) volge nel punto P₀ la concavit`a verso l’alto [verso il basso].

9.2.II Se la derivata f⁰(x) ha nel punto x₀ un punto di massimo o di minimo relativo, allora la curva y = f (x) ha in P₀ un punto di flesso. Se si tratta di massimo o di minimo relativo proprio, allora si ha un flesso proprio.

9.2.III Se nel punto x₀ si ha f⁰⁰(x₀) > 0 [f⁰⁰(x₀) < 0] la curva y = f (x) volge nel punto P₀ la concavit`a verso l’alto [verso il basso].

9.2.IV Se il punto P₀ `e punto di flesso per la curva y = f (x), allora si ha necessariamente f⁰⁰(x₀) = 0.

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9.3 Formula di Taylor

Consideriamo una funzione f (x) definita in un intervallo A. Fissato x₀ ∈ A, facciamo su f (x) l’ipotesi seguente:

α) per un certo intero positivo n, la f (x) `e derivabile in A fino all’ordine n − 1 ed esiste la derivata n-esima almeno nel punto x₀.

Possiamo allora associare alla f (x) il seguente polinomio di grado n:

f (x₀) + f⁰(x₀)(x − x₀) +f⁰⁰(x₀)

2! (x − x₀)²+ . . . +f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! (x − x₀)ⁿ=

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k. (9.13) Questo polinomio in generale non coincide con f (x) e pertanto, per avere f (x), occorrer`a aggiungere ad esso un certo termine correttivo R_n(x). In generale possiamo dunque scrivere

f (x) =

n

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k+ R_n(x), (9.14)

ma va osservato che questa formula non avrebbe alcuna importanza se non si riuscisse ad indicare una qualche proprietà o a dare una qualche espressione di R_n(x). Ciò è effettivamente possibile, donde l’importanza della formula (9.14) che si chiama la formula di Taylor di punto iniziale x₀ e di ordine n della funzione f (x); il termine R_n(x) si chiama il resto della formula stessa.

Notiamo che, ponendo x = x₀ + ∆x, la (9.14) si pu`o anche scrivere

f (x₀ + ∆x) − f (x₀) =

n

X

k=1

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k+ R_n(x₀+ ∆x) (9.15) ovvero, per quanto detto alla fine del capitolo 8:

∆f = df + 1

2!d²f + 1

3!d³f + . . . + 1

n!dⁿf + R_n(x₀+ ∆x); (9.16) quest’ultima mette in evidenza come la formula di Taylor esprima l’incremento ∆f per mezzo dei differenziali successivi.

Il primo importante risultato riguardante la formula di Taylor `e il seguente:

9.3.I Nell’ipotesi α) sopra menzionata per la f (x), il resto R_n(x₀+ ∆x) della formula di Taylor gode della propriet`a espressa dalla

R_n(x₀+ ∆x) = o(∆xⁿ) (∆x → 0). (9.17)

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In virt`u della (9.17) si pu`o dunque scrivere

∆f = df + 1

2!d²f + 1

3!d³f + . . . + 1

n!dⁿf + o(∆xⁿ) (9.18) e questa estende la propriet`a ∆f = df + o(∆x) gi`a vista nel capitolo 8, ove abbiamo anche osservato che, se f⁰(x₀) 6= 0, il differenziale df fornisce la parte principale dell’incremento

∆f . Nel caso in cui sia f⁰(x₀) = 0, supposto per maggiore generalit`a f⁰(x₀) = f⁰⁰(x₀) = . . . = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = 0, f⁽ⁿ⁾(x₀) 6= 0, dalla (9.18) segue

∆f = 1

n!dⁿf + o(∆xⁿ).

cio`e, nel caso considerato, la parte principale dell’incremento ∆f `e proporzionale al differenziale di ordine n della funzione.

La 9.3.I esprime una proprietà del resto della formula di Taylor, ma non ne fornisce un’espressione; quest’ultima può essere ottenuta facendo sulla f (x) un’ipotesi più restrittiva della α). Assumendo infatti che

β) la f (x) `e in A derivabile fino all’ordine n ed esiste la derivata (n + 1)-esima almeno nel punto x₀, si ottiene il seguente risultato:

9.3.II Nell’ipotesi β), il resto R_n(x₀+ ∆x) della formula di Taylor (9.15) ha l’espressione seguente (resto di Peano):

R_n(x₀ + ∆x) = ∆xⁿ⁺¹ (n + 1)!

h

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)ω(∆x)i

(9.19) ove ω(∆x) indica un infinitesimo per ∆x → 0.

Altre espressioni per il resto, maggiormente adatte all’impiego nelle applicazioni pratiche della formula di Taylor, possono essere ricavate facendo ulteriori ipotesi sulla f (x) ed utilizzando concetti non ancora introdotti. Ci occuperemo di ci`o in seguito.

Per concludere, osserviamo che, se l’intervallo A contiene il punto x = 0, assumendolo come punto iniziale, la formula di Taylor (9.14) diventa

f (x) =

n

X

k=0

f^(k)(0)

k! x^k+ R_n(x); (9.20)

che viene comunemente indicata come formula di Mac Laurin.

9.4 Criteri per il riconoscimento della natura dei punti di una funzione

Per decidere se in un punto x₀ una funzione f (x), supposta derivabile, è crescente o decrescente, si può applicare il 9.1.I secondo il quale se f⁰(x₀) > 0 la f (x) è crescente in x₀, se è f⁰(x₀) < 0 la f (x) è decrescente in x₀. Tale criterio non è utile nel caso f⁰(x₀) = 0.

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D’altra parte non abbiamo ancora un criterio per decidere se x₀ è punto di massimo o di minimo relativo perché il 9.1.II esprime soltanto che condizione necessaria affinché x₀ — supposto interno all’intervallo A ove la f (x) è definita — sia tale, è che risulti f⁰(x₀) = 0. È facile constatare che questa condizione non è affatto sufficiente.

Ammesso che la f (x) possegga derivate di ordine superiore al primo, `e possibile dare un criterio che permette di decidere la natura di un punto x₀ in cui risulti f⁰(x₀) = 0.

Supponendo n > 2, e x₀ interno all’intervallo A, mediante l’impiego della formula di Taylor, si pu`o infatti ottenere il seguente risultato:

9.4.I Se nell’intervallo A la funzione f (x) `e derivabile almeno n − 1 volte ed ammette nel punto x₀ la derivata n-esima risultando

f⁰(x₀) = f⁰⁰(x₀) = . . . = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = 0, f⁽ⁿ⁾(x₀) 6= 0, (9.21) allora:

1) se n è pari ed è f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, il punto x₀ è punto di minimo relativo proprio;

2) se n è pari ed è f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, il punto x₀ è punto di massimo relativo proprio;

3) se n è dispari ed è f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, il punto x₀ è punto di flesso proprio e la f (x) è crescente in esso;

4) se n è dispari ed è f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, il punto x₀ è punto di flesso proprio e la f (x) è decrescente in esso.

Analogamente, le proposizioni 9.2.II e 9.2.IV non permettono ancora di decidere se un punto x₀, in cui si abbia f⁰⁰(x₀) = 0 sia punto di flesso oppure se in esso la curva volga la concavit`a verso l’alto o verso il basso. Si ha al riguardo il seguente risultato, ove supponiamo n > 3 e x₀ interno all’intervallo A:

9.4.II Se nell’intervallo A la funzione f (x) `e derivabile almeno n − 1 volte ed ammette nel punto x₀ la derivata n-esima risultando

f⁰⁰(x₀) = f⁰⁰⁰(x₀) = . . . = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = 0, f⁽ⁿ⁾(x₀) 6= 0, allora:

1) se n è pari ed è f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, la curva y = f (x) volge in x₀ la concavità verso l’alto;

2) se n è pari ed è f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, la curva y = f (x) volge in x₀ la concavità verso il basso;

3) se n `e dispari, il punto x₀ `e punto di flesso proprio.

9.5 Asintoti

Consideriamo una curva di equazione y = f (x) e sia P (x, y) un punto generico di essa. Se la f (x) è definita in un intervallo A privato di uno o più punti x₀, x₁, . . . (che saranno punti singolari per la funzione) e se in qualcuno di essi la f (x) è infinita, oppure se è definita in un intervallo A illimitato, è chiaro che il punto P (x, y) si allontana indefinitamente dall’origine

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O (nel senso che OP → ∞), nel primo caso perché la sua ordinata y può assumere valori arbitrariamente grandi in valore assoluto, nel secondo caso perché lo stesso avviene almeno per la sua ascissa x.

Nei casi predetti, diremo che una data retta r `e un asintoto per la curva y = f (x) se avviene che, mentre il punto P si allontana indefinitamente, la sua distanza da tale retta tende a zero.

Esaminiamo il primo caso. Se

x→xlim₀|f (x)| = +∞

è evidente che la retta verticale x = x₀ gode della proprietà enunciata e perciò tale retta è un asintoto della curva. La curva y = f (x) ha dunque un asintoto verticale in ogni punto in cui la f (x) è infinita.

Esaminiamo il secondo caso. Supposto che f (x) sia definita nell’intervallo A illimitato, prendiamo in esame il punto P (x, y) del grafico quando x tende all’infinito. Se il punto P si allontana ammettendo un asintoto r, tale asintoto non pu`o evidentemente essere verticale, e si potr`a quindi rappresentare con un’equazione del tipo y = mx + n. La distanza del punto P (x, y) da tale retta r vale¹

y − mx − n

√1 + m² e, se r `e un asintoto, deve dunque essere

lim

x→∞(y − mx − n) = 0 (9.22)

e quindi a maggior ragione

x→∞lim

y − mx − n

x = lim

x→∞

y

x − m −n x

= 0.

Ne segue

m = lim

x→∞

y x

e si ha pertanto questo primo risultato: condizione necessaria affinch´e esista un asintoto `e che esista finito il limite

x→∞lim f (x)

x = m. (9.23)

Se ci`o accade, dalla (9.22) segue poi

n = lim

x→∞(y − mx)

1Basta tracciare da P la perpendicolare a r e calcolare la distanza di P dal punto Q in cui detta perpendicolare incontra la retta r.

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onde un’altra condizione necessaria `e che, col numero m fornito dalla (9.23), esista finito anche il limite

x→∞lim [f (x) − mx] = n. (9.24)

Viceversa, supposte verificate le due predette condizioni, `e immediato constatare che, con i numeri m, n forniti dalle (9.23),(9.24), la retta y = mx + n risulta effettivamente un asintoto per la curva y = f (x).

Se uno solo dei limiti (9.23),(9.24) non esiste o esiste infinito, la curva non ha asintoto.

Si noti anche che pu`o risultare m = 0. Allora si ha un asintoto orizzontale y = n con n = lim

x→∞ f (x).

Nelle formule precedenti abbiamo scritto semplicemente limite per x → ∞, ma va tenuto presente che in certi casi si tratterà del limite per x → −∞ se l’intervallo A è del tipo (−∞, a], oppure del limite per x → +∞ se l’intervallo A è del tipo [a, +∞). Inoltre, anche nel caso in cui A sia illimitato tanto a sinistra che a destra, può darsi che, considerando separatamente i limiti per x → −∞ e per x → +∞, questi forniscano valori diversi in una almeno delle (9.23),(9.24); si avranno allora due asintoti, uno per la parte di curva che si allontana indefinitamente a sinistra, l’altro per la parte di curva che si allontana a destra.

Pu`o accadere che esista l’asintoto per una di queste parti e non per l’altra.

9.6 Studio del grafico di una funzione

Abbiamo fin qui derivato un complesso di regole pratiche per lo studio del grafico di una funzione f (x) definita in un insieme costituito da uno o pi`u intervalli.

Occorre per prima cosa determinare tale insieme di definizione e ci`o porta a mettere in evidenza gli eventuali punti singolari della funzione stessa. In ognuno di questi punti singolari si studier`a il limite della funzione y = f (x).

Converr`a anche subito studiare il limite della f (x) per x → ∞ (se l’insieme di definizione

`e illimitato), distinguendo se occorre il limite per x → −∞ e quello per x → +∞. Se si ottengono limiti determinati e finiti, nasceranno per la curva y = f (x) uno o due asintoti orizzontali; se invece si ottengono limiti determinati e infiniti, occorrer`a cercare, con il metodo presentato in precedenza, se la curva ammette degli asintoti del tipo y = mx + n con m 6= 0.

Dopo ciò, converrà occuparsi della derivata della funzione, cercando se vi siano punti in cui tale derivata non esiste oppure esiste e vale zero. Tutti questi punti, assieme ai punti singolari della funzione, determinano di solito un gruppo di intervalli in ognuno dei quali la derivata è continua e diversa da zero; perciò in ciascuno di essi la f⁰(x) ha segno costante.

Dunque, in quegli intervalli in cui la f⁰(x) > 0 la f (x) `e crescente, in quelli in cui f⁰(x) < 0 la f (x) `e decrescente. Restano allora subito individuati i punti di massimo o di minimo relativo:

sar`a di massimo ogni punto non singolare passando attraverso il quale la f (x) da crescente

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diventa decrescente, di minimo quelli attravereso i quali la funzione da decrescente diventa crescente. Si vede cos`ı che il solo studio dei segni della derivata prima pu`o spesso permettere la determinazione completa dei punti di massimo o di minimo relativo della funzione (senza ricorrere alle derivate successive).

Similmente si potranno studiare la concavità ed i flessi della curva, prendendo in esame i segni della derivata seconda. In quegli intervalli in cui f⁰⁰(x) > 0 la curva volge la concavità verso l’alto, in quelli in cui f⁰⁰(x) < 0 volge la concavità verso il basso; inoltre in ogni punto x₀ in cui si ha f⁰⁰(x₀) = 0, verificandosi il cambiamento di segno della f⁰⁰(x) mentre x passa per il punto x₀, cade un flesso della curva y = f (x).

9.7 Ricerca del minimo e del massimo assoluti di una funzione

Accenniamo alla questione della ricerca del minimo e del massimo assoluti di una funzione y = f (x) in un dato intervallo A. L’unico caso in cui si possa a priori affermare che essi esistono `e quello in cui la f (x) `e continua nell’intervallo A chiuso e limitato.

In tal caso, i punti di massimo e di minimo assoluto o sono punti ove la f (x) non `e derivabile, oppure sono gli estremi dell’intervallo A oppure sono punti di A ove la f (x) `e derivabile e la derivata vale zero.

Pertanto, sempre nel caso predetto, basterà individuare tutti i punti x che godono di una delle proprietà dette, calcolare la funzione in ognuno di essi e fra i valori che cos`ı risultano scegliere il più piccolo ed il più grande.

In ogni altro caso, l’esistenza del minimo o del massimo assoluto in A non `e assicurata.

Si può solo dire che se il minimo assoluto (od il massimo assoluto) esiste esso cade necessariamente in uno dei punti x sopra menzionati. Si possono allora cercare detti punti x e calcolare la funzione in essi. Se fra i valori ottenuti non ce n’è uno più piccolo (o uno più grande), si potrà concludere che il minimo assoluto (od il massimo assoluto) non esiste. Se fra i valori ottenuti ce n’è uno più piccolo m (o uno più grande M ) si potrà concludere che, se il minimo assoluto (od il massimo assoluto) esiste, esso vale necessariamente m (o M ); da ciò sarà possibile dedurre l’esistenza del minimo assoluto (o del massimo assoluto) soltanto se si riuscirà a dimostrare che in A è sempre f (x) > m (oppure f (x) 6 M ).

In casi di questo genere, la cosa migliore `e studiare il grafico della funzione in A, con il che il problema si risolve immediatamente.