Calcolare il massimo e minimo di f (x, y

Esercizi

22 ottobre 2012

1. Determinare per quali valori di α ∈ R ha un punto di massimo o di minimo la funzione f (x, y, z, w) = αy²− x²+ 2αzw − z²− w².

2. Determinare per quali valori di α ∈ R ha un punto di massimo o di minimo la funzione f (x, y, z) = αy²− x²+ (α²− 1)z²+ 2y + z.

3. Sia D = {(x, y) : x² + y² ≤ 3}. Calcolare il massimo e minimo di f (x, y) = xy su D (notare che la frontiera di D si parametrica come γ(t) =√

3(cos t, sin t)).

4. Trovare massimi e minimi assoluti di f (x, y) = ye^x sul disco chiuso di centro 0 e raggio 1.

5. Trovare massimo e minimo assoluti di f (x, y) = x²+ y²+ 2x + 2y sull’insieme {(x, y) :

|x| + |y| ≤ 1}.

6. Trovare i punti di massimo e minimo relativi della funzione f (x, y) =p

(y²− x)(x + y).

7. Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y) = p

sin(y²− x).

Disegnarli nel piano cartesiano.

Disegnare le curve di livello delle seguenti funzioni.

8. f (x, y) = x²y 9. f (x, y) = x²+ 4y² 10. f (x, y) = x²− y²

11. Sia C = {(x, y) : x² ≤ y ≤p|x|}. Calcolare massimi e minimi di f(x, y) = x + 2x − 3 disegnando le linee di livello di f .

12. Sia D = {(x, y) : max{|x|, |y| ≤ 2}. Disegnare D. Calcolare massimi e minimi su D di f (x, y) = x²− 2y + y².

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