FISICA GENERALE

FISICA GENERALE

MODULO A

CORSO H – BARI Gravitazione

Dott. Giannuzzi Giuseppe

Argomenti della lezione

Gravitazione (cenni):

- Forze centrali: proprietà e leggi di conservazione - La forza gravitazionale: Leggi di Keplero

- Massa inerziale e gravitazionale - Campo e potenziale gravitazionale

- Moto di un corpo soggetto alla forza gravitazionale

Forze centrali

Definiamo forza centrale una forza agente in una regione di spazio con la caratteristica che in ogni punto di spazio:

- la direzione della forza è diretta sempre per un punto fisso O detto centro (o polo) della forza

- il modulo della forza è funzione solo della distanza 𝑟 tra il punto O ed il punto 𝑃 di applicazione della forza, ovvero 𝐹 = 𝐹 𝑟

- verso: diretta verso O se attrattiva, viceversa se repulsiva

Tra le forze centrali vi sono la forza elastica, quella gravitazionale e quelle elettriche (Modulo B).

Nella regione di spazio in cui agisce una

forza centrale si stabilisce quello che si chiama un campo di forza.

Proprietà delle forze centrali

Se calcoliamo il momento della forza centrale rispetto al polo O centro della forza, si ha:

𝑑𝐿

𝑑𝑡 = 𝑟 × 𝐹 = 𝑟 ෞ𝑢_𝑟 × ෞ𝑢_𝑟 𝐹 𝑟 = 0 per cui

𝐿 = 𝑟 × 𝑚 𝑣 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

In un campo di forze centrali il momento angolare rispetto al centro della forza si conserva.

Di conseguenza il moto di una particella soggetta a forze centrali deve giacere nel piano (fisso) definito da 𝑟 e 𝑣 (il moto è piano) ed 𝐿 è costante ed ortogonale ad 𝑟 e 𝑣 .

Dal momento che il moto è piano verifichiamo una proprietà del moto risultante, scomponendo 𝑣 nelle componenti polari

𝐿 = 𝑟 × 𝑚 𝑣 = 𝑟 × 𝑚 𝑣_𝑟 + 𝑣_𝑡 = 𝑟 × 𝑚 𝑣_𝑡 da cui

𝐿 = 𝑟 𝑚 𝑣_𝑡 = 𝑟 𝑚 𝑟 𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝑚 𝑟² 𝑑𝜃 𝑑𝑡

e la costanza di 𝐿 implica quindi che lo sia il termine 𝑟^{2 𝑑𝜃}

𝑑𝑡.

Proprietà delle forze centrali

Se consideriamo una porzione infinitesima della generica traiettoria definita dal punto nel suo movimento, possiamo definire l’area infinitesima spazzata dal raggio vettore 𝑟 tra i punti O e P, approssimandola ad un triangolo di base

𝑑𝑠 = 𝑟𝑑𝜃 e altezza 𝑟, l’area risulterà 𝑑𝐴 = 1

2𝑟²𝑑𝜃

per cui possiamo definire la velocità areale, la rapidità con la quale viene spazzata l’area dal vettore 𝑟

𝑑𝐴

𝑑𝑡 = 1

2𝑟² 𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝐿 2𝑚

Quindi nel moto in un campo di forze centrali la velocità areale è costante. La costanza del momento angolare comporta la costanza della velocità aerale.

Se la traiettoria è chiusa (area 𝐴) come per i pianeti, allora il periodo impiegato a percorrerla:

𝑑𝐴

𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝐴

𝑇 ⟹ 𝐿

2𝑚 = 𝐴

𝑇 ⟹ 𝑇 = 2𝑚 𝐿 𝐴

Le forze centrali sono conservative

Tutte le forze centrali sono conservative infatti se calcoliamo il lavoro

ℒ = ℒ_𝐴𝐵 = න

𝐴 𝐵

𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = න

𝐴 𝐵

𝐹 𝑟 ෞ𝑢_𝑟 ∙ 𝑑𝑠 Ma ෞ𝑢_𝑟 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑟 quindi

ℒ = න

𝑟_𝐴 𝑟_𝐵

𝐹 𝑟 𝑑𝑟 = 𝑓 𝑟_𝐵 − 𝑓 𝑟_𝐴

ovvero dipende solo dalle coordinate di A e B e non dal percorso effettuato.

Leggi di Keplero

Nel sistema solare è il Sole il principale attrattore gravitazionale:

il sistema solare costituisce un campo gravitazionale centrato nel Sole ed essendo un campo di forza centrale il moto dei pianeti è piano.

Si hanno le seguenti leggi (leggi cinematiche del moto dei pianeti):

• I Legge di Keplero: il moto dei pianeti avviene su orbite ellittiche attorno al Sole, di cui il Sole occupa uno dei fuochi dell’ellisse

• II Legge di Keplero, Legge delle aree: il raggio vettore che collega il Sole ad un pianeta descrive aree uguali in tempi uguali ^𝑑𝐴

𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

• III Legge di Keplero, il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse: 𝑇² = 𝑘 𝑎³

La forza gravitazionale

Dalle leggi di Keplero si può dedurre la legge di gravitazione universale:

approssimando le orbite ellittiche ad orbite circolari (𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝑡), dalla seconda legge di Keplero si ha:

𝑑𝐴

𝑑𝑡 = 1

2𝑟² 𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ⇒ 𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 quindi il moto è circolare uniforme.

Di conseguenza l’accelerazione è solo centripeta (componente tangenziale nulla).

La forza che agisce sul pianeta si scrive (f. a distanza):

𝐹 = 𝑚 𝑎_𝑐 = 𝑚 𝜔²𝑟 = 𝑚 2𝜋 𝑇

2

𝑟

con 𝑇 periodo di rivoluzione e utilizzando la terza legge di Keplero che per la circonferenza è 𝑇² = 𝑘 𝑟³:

𝐹 = 𝑚4𝜋²

𝑇² 𝑟 = 𝑚 4𝜋²

𝑘 𝑟³ 𝑟 = 4𝜋² 𝑘

𝑚 𝑟²

La forza esercitata dal Sole sui pianeti, che incurva la loro orbita, è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal Sole.

La forza gravitazionale

Nel sistema Terra-Sole, la forza esercitata dal Sole sulla Terra è

𝐹_𝑆−𝑇 = ^4𝜋2

𝑘_𝑇 𝑚_𝑇

𝑟²

Viceversa, la forza esercitata dalla Terra sul Sole è 𝐹_𝑇−𝑆 = ^4𝜋2

𝑘_𝑆 𝑚_𝑆

𝑟²

uguali in modulo per il terza legge della dinamica, principio di azione e reazione:

𝐹_𝑆−𝑇 = 𝐹_𝑇−𝑆 ⇒ 4𝜋² 𝑘_𝑇

𝑚_𝑇

𝑟² = 4𝜋² 𝑘_𝑆

𝑚_𝑆

𝑟² ⇒ 𝑚_𝑇𝑘_𝑆 = 𝑚_𝑆𝑘_𝑇 Definendo la costante di proporzionalità

𝛾 = 4𝜋²

𝑚_𝑇𝑘_𝑆 = 4𝜋² 𝑚_𝑆𝑘_𝑇

Il modulo della forza Terra-Sole (la direzione è data dalla congiungente Terra-Sole)

𝐹 = 𝛾 𝑚

𝑚

𝑟

Legge di gravitazione universale, Newton 1687, formula universale valida per qualsiasi coppia di corpi.

Legge di gravitazione universale

Date due masse qualsiasi, di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza mutua, tra di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo la retta congiungente le due masse, il cui modulo dipende direttamente dal prodotto delle masse e inversamente dal quadrato della distanza.

𝐹 = −𝛾 𝑚₁ 𝑚₂ 𝑟² ෞ𝑢_𝑟 𝐹 = 𝛾 𝑚₁ 𝑚₂

𝑟²

con 𝑟 la distanza tra le masse 𝑚₁ e 𝑚₂ e 𝛾 = 6.67 10^{−11 𝑁𝑚2}

𝑘𝑔² è una costante universale, caratteristica dell’interazione gravitazionale.

Gravità vicino la Terra

Quando siamo sulla Terra, approssimandola ad una sfera di raggio 𝑅_𝑇 , otteniamo che la forza gravitazionale è data da

𝐹 = 𝛾 𝑀_𝑇 𝑚 𝑅_𝑇²

se l’oggetto di massa m è lasciato libero di cadere esso è soggetto ad accelerazione per cui

𝐹 = 𝑚 𝑎 ⟹ 𝑎 = 𝛾 𝑀_𝑇

𝑅_𝑇² = 𝑔 con 𝑀_𝑇 = 5.98 10²⁴ 𝑘𝑔 e 𝑅_𝑇 = 6400 𝑘𝑚 Questa accelerazione (𝑔 = 9.81 ^𝑚

𝑠²) è indipendente dalla massa 𝑚.

Deviazioni dalla costanza di g sono dovute a:

1. la Terra non è omogenea 2. la Terra non è sferica

3. la Terra ruota su se stessa

Massa inerziale e massa gravitazionale

Nell’equazione 𝐹 = 𝛾 ^{𝑀𝑇 𝑚}

𝑅_𝑇² , la forza dipende da una caratteristica dei corpi che partecipano all’interazione e che abbiamo indicato con 𝑚 e 𝑀_𝑇 e che chiamiamo masse gravitazionali.

A priori non c’è alcuna ragione per cui tali masse gravitazionali siano uguali alle masse inerziali che compaiono nella seconda legge della dinamica, l’inerzia dei corpi al moto indotto da una forza.

Per un corpo in caduta libera sulla superficie terrestre vale l’equazione:

𝑚_𝐼𝑔 = 𝛾 𝑀_𝑇,𝐺 𝑚_𝐺 𝑅_𝑇² (pedici I e G per inerziale e gravitazionale)

𝑔 = 𝛾 𝑀_𝑇,𝐺 𝑅_𝑇²

𝑚_𝐺 𝑚_𝐼

vera per qualunque corpo, quindi per qualsiasi corpo ^𝑚𝐺

𝑚_𝐼 è pari ad una costante, le due masse sono tra loro proporzionali.

Poiché non c’è un modo diretto per misurare tale rapporto, si considera pertanto l’ipotesi che le due masse siano uguali tra loro: 𝑚_𝐺 = 𝑚_𝐼

Energia potenziale gravitazionale

𝑑ℒ = 𝐹₁₂ ∙ 𝑑𝑠 = −𝛾 𝑀𝑚

𝑟² ෞ𝑢_𝑟 ∙ 𝑑𝑠 Il prodotto scalare ෞ𝑢_𝑟 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑟 𝑑ℒ = −𝛾𝑀𝑚

𝑟² 𝑑𝑟

Avendo posto la costante arbitraria = 0 per 𝑟 ⟶ ∞

Quando m si avvicina ad M, la forza gravitazionale compie un lavoro positivo, m acquista energia cinetica e poiché la forza è conservativa, l’energia meccanica deve conservarsi, quindi l’energia potenziale deve diminuire.

Velocità di fuga

Per la conservazione dell’energia meccanica 𝐸 = 𝑈 + 𝐸_𝑘 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 consideriamo allora il caso di un razzo da sparare per allontanarlo definitivamente dalla Terra. La minima velocità che un corpo sulla superficie terrestre deve possedere per allontanarsi indefinitamente dalla Terra è detta velocità di fuga.

𝑈_𝑖𝑛 + 𝐸_{𝑘,𝑖𝑛} = 𝑈_𝑓𝑖𝑛 + 𝐸_{𝑘,𝑓𝑖𝑛}

il punto finale si deve trovare ad ∞ (𝑈_𝑓𝑖𝑛 = 0) con una velocità 𝑣_𝑓𝑖𝑛 ≥ 0

−𝛾 𝑀_𝑇 𝑚

𝑅_𝑇 + 1

2 𝑚 𝑣² = 1

2 𝑚 𝑣_𝑓𝑖𝑛²

e nella situazione di minima 𝐸_{𝑘,𝑓𝑖𝑛} deve essere fermo 𝑣_𝑓𝑖𝑛 = 0, quindi 𝐸_{𝑘,𝑓𝑖𝑛} = 0

−𝛾 𝑀_𝑇 𝑚

𝑅_𝑇 + 1

2 𝑚𝑣_{𝑓𝑢𝑔𝑎}² = 0 ⟹ 𝑣_{𝑓𝑢𝑔𝑎}² = 2 𝛾 𝑀_𝑇

𝑅_𝑇 (𝛾^𝑀𝑇

𝑅_𝑇² = 𝑔 ⟹ 𝛾 = ^{𝑅𝑇2𝑔}

𝑀_𝑇 ) 𝑣_{𝑓𝑢𝑔𝑎} = 2 𝛾 ^𝑀𝑇

𝑅_𝑇 = 2𝑔𝑅_𝑇 valore che dipende dalla massa della Terra ed è 𝑣 = 11.2^𝑘𝑚

(la velocità di fuga cambia a seconda della massa dell’astro di partenza)𝑠

Il moto dei satelliti

Un satellite di massa m descrive un’orbita circolare intorno un pianeta di massa M; il raggio dell’orbita è 𝑟 ed il periodo 𝑇. Calcolare il valore di M del pianeta e l’energia del satellite.

Abbiamo dalla legge di Newton 𝐹 = 𝑚 𝑎_𝑐 = 𝑚 𝜔²𝑟, dove 𝑇 = ^2𝜋

𝜔

𝛾𝑚𝑀

𝑟² = 𝑚4𝜋² 𝑇² 𝑟 Da cui

𝑀 = 4𝜋² 𝑇²

𝑟³ 𝛾

L’energia meccanica totale del satellite è 𝐸 = 𝐸_𝑘 + 𝐸_𝑝, quindi 𝐸 = 1

2 𝑚 𝑣² − 𝛾 𝑚𝑀 𝑟 e poiché 𝛾^𝑚𝑀

𝑟² = 𝑚 ^𝑣2

𝑟 ⟹ 𝑣² = 𝛾 ^𝑀

𝑟 ⟹Possiamo esprimere 𝐸_𝑘 in funzione di 𝑟 𝐸 = 1

2𝑚 𝛾 𝑀

𝑟 − 𝛾 𝑚𝑀

𝑟 = − 1

2𝛾 𝑚𝑀

𝑟 < 0

L’energia totale è negativa, quindi il satellite non può sfuggire all’attrazione del pianeta ed il sistema si dice gravitazionalmente legato.

Satelliti terrestri

Assumendo 𝑀_𝑇 = 5.98 10²⁴ 𝑘𝑔, 𝑅_𝑇 = 6.38 10⁶ 𝑚 e per un satellite di massa

𝑚 = 1000 𝑘𝑔, calcolare il periodo in funzione del raggio 𝑟 dell’orbita supposta circolare intorno alla Terra.

Usando gli stessi passaggi precedenti 𝛾𝑀_𝑇

𝑟² = 4𝜋²

𝑇² 𝑟 ⇒ 𝑇 = 2𝜋 𝑟³ 𝛾 𝑀_𝑇

In genere si considera la quota sopra la superficie della Terra per i satelliti, che di solito si trovano tra i 100 km e i 300 km.

Se 𝑟 = 100 + 𝑅_𝑇 = 6.48 𝑘𝑚 ⇒ 𝑇 = 86.5 𝑚𝑖𝑛 Se 𝑟 = 300 + 𝑅_𝑇 = 6.68 𝑘𝑚 ⇒ 𝑇 = 90 𝑚𝑖𝑛

Se il satellite è invece geostazionario allora 𝑇 = 24ℎ per cui si ricava da 𝑟³ = ^{𝛾𝑀𝑇2}

4𝜋²

𝑟 = 42300 𝑘𝑚

Moto di un corpo nel campo gravitazionale (in generale)

Orbite

Il moto in un campo di forze centrali è sempre piano. Si può inoltre dimostrare che il moto di un corpo sottoposto all’accelerazione gravitazionale è descritto da una conica (ellisse, iperbole, parabola) a seconda dell’energia totale della particella.

Supponiamo di considerare una massa m sotto l’azione gravitazionale di una massa M.

L’energia totale di m è data da 𝐸 = 𝐸_𝑘 + 𝐸_𝑝. Nel caso di orbite aperte (iperbole, parabola) 𝐸 ≥ 0 ed m non è gravitazionalmente legata:

m si allontana indefinitamente da M assumendo energia potenziale nulla.

Nel caso 𝐸 < 0 la traiettoria ha un’orbita ellittica e m risulta gravitazionalmente legato.

Orbite ellittiche

Nel caso delle orbite ellittiche si può definire eccentricità 𝜀 dell’orbita 𝜀² = 1 − ^𝑏2

𝑎²

con 𝑎 semiasse maggiore e 𝑏 semi asse minore dell’ellisse descritta.

𝜀 < 1 ed è uguale a zero nel caso della circonferenza (𝑎 = 𝑏).

Abbiamo visto che nei sistemi legati

𝐸 = −𝛾 𝑚𝑀 2 𝑟

ma si può dimostrare che l’energia dipende dal solo semiasse maggiore 𝐸 = −𝛾 𝑚𝑀

e che il momento angolare risulta 2 𝑎

𝐿² = 𝛾 𝑚²𝑀²

𝑚 + 𝑀 𝑎 1 − 𝜀²

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