Esercizio 1. Data la funzione

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 3/7/2012

A.A. 2011/2012

Esercizio 1. Data la funzione

f (x, y) = max

( y

1 + y

arctan x, 0 )

,

determinarne il dominio e studiarne la continuit` a e la differenziabilit` a. Determinare inoltre gli estremi superiore ed inferiore di f specificando se si tratta di massimo o minimo.

Esercizio 2. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni (f

)

, dove

f

(x) = 1 n exp

( cos(nx) − 1 n

) .

Studiare la convergenza della serie di funzioni

∑

f

(x) sin ( x n

) .

Esercizio 3. Si calcoli l’integrale doppio ∫∫

E

(2x + y)

dxdy

con E = {(x, y) ∈ R

| − 2x ≤ y ≤ 3 − 2x, −1 ≤ x − y ≤ 1}.

Esercizio 4. Calcolare l’integrale ∫

γ

ω,

dove

ω(x, y) = x

√ x

+ y

dx + y

√ x

+ y

dy

e γ ` e la curva di parametrizzazione r(t) = (t −sin t cos t, 4 sin t) con t ∈ [

π,

π] percorsa nel verso delle t crescenti.

Esercizio 5. Scrivere la serie di Fourier del prolungamento periodico ˆ f di f (x), definita da f (x) =

| sin x| per x ∈ [0, π] e discuterne il tipo di convergenza. (Suggerimento: considerare la

funzione ˆ f come periodica di periodo 2π).