Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 7
†Legge dei grandi numeri e convergenza di variabili aleatorie.
Esercizi teorici
Esercizio 1. Supponiamo che Xn→ X q.c. (risp. in probabilità, in Lp). Allora X = X0 q.c. se e solo se Xn→ X0 q.c. (risp. in probabilità, in Lp).
Esercizio 2. Sia ϕ : [0, ∞) → R una funzione crescente, limitata e continua in zero, tale che ϕ(x) = 0 se e solo se x = 0 (per esempio, ϕ(x) = x/(1 + x)). Si mostri che Zn→ Z in probabilità se e solo se E(ϕ(|Zn− Z|)) → 0.
[Sugg.: per il “se” usare un’opportuna disuguaglianza, per il “solo se” considerare gli eventi {|Zn− Z| > ε} e {|Zn− Z| ≤ ε}.]
Esercizi “pratici”
Esercizio 3. Siano {Xn}n∈N i.i.d. Exp(λ).
• Si mostri che lim supn→∞ log nXn = λ1 q.c..
• Si mostri che la successione Zn:= Xn/ log n converge a zero in probabilità e in Lp per ogni p, ma non ha limite q.c..
Esercizio 4. Siano {Xn}n∈Nvariabili aleatorie indipendenti con Xn∼ Be(pn) dove {pn}n∈N è una successione fissata a valori in [0, 1]. Si diano condizioni sui pn per la convergenza della serie S :=P
n∈NXn.
Esercizio 5. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X1 ∈ L1 e m := E(X1) > 0. Si ponga S0 := 0, Sn:= X1+ . . . + Xn.
• Si mostri che Sn→ +∞ q.c..
• Si mostri che P
n∈Ne−εSn < ∞ q.c. per ogni ε > 0.
Esercizio 6. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X1∈ L1 e siano {Yn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. con Y1 ∈ L1 e E(Y1) > 0. Allora
Zn:= X1+ . . . + Xn
Y1+ . . . + Yn → E(X) E(Y ).
Esercizio 7. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X1∈ L1 e siano {Tn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. a valori in N0 con T1 ∈ L1 e E(T1) > 0. Ponendo Sn := X1+ . . . + Xn e τn:= T1+ . . . + Tn, si mostri che
1
kSτk → E(T1)E(X1) q.c. .
†Ultima modifica: 13 dicembre 2012.
2
Esercizio 8. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie scorrelate, in L2, con la stessa media m = E(Xn) e tali che supn∈NVar(Xn) =: C < ∞. Si mostri che, per ogni successione {εn}n∈N tale che εn √1
n, o più precisamente εn/√1n → +∞ per n → +∞, si ha P(|Xn− m| ≥ εn) → 0 .
Esercizio 9. (a) Sia {xn}n∈N una successione in uno spazio topologico E. Supponiamo che esista x ∈ E tale che, per ogni sottosuccessione {xnk}k∈N di {xn}n∈N, è possibile estrarre un’ulteriore sotto-sottosuccessione {xn0
k}k∈N che converge a x. Si dimostri che l’intera successione {xn}n∈N converge a x.
[Sugg. Si mostri che, per ogni aperto contenente x, i termini xnche non appartengono all’aperto sono necessariamente in numero finito.]
(b) Siano X, {Xn}n∈N variabili aleatorie reali. Supponiamo che, per ogni sottosuccessione di {Xn}n∈N, sia possible estrarre una sotto-sottosuccessione che converge a X in Lp (risp. in probabilità). Si mostri che allora la successione completa {Xn}n∈N converge a
X in Lp (risp. in probabilità).
[Sugg. Si applichi opportunamente il punto precedente.]
(c) Si mostri che il punto precedente non vale per la convergenza q.c.. Si deduca che non esiste nessuna topologia che induce la convergenza q.c..
Esercizio 10 (di riepilogo sull’indipendenza). Fissiamo s ∈ (1, ∞) e definiamo ζ(s) := X
m∈N
1
ms ∈ (0, ∞) .
Introduciamo quindi la probabilità P su (N, P(N)) definita sui singoletti da P({n}) := 1
ζ(s) 1 ns.
Indichiamo l’insieme dei numeri primi con P := {2, 3, 5, . . .}. Per ogni k ∈ N sia Mk :=
{k, 2k, 3k, . . .} = kN l’insieme dei multipli di k.
(a) Si mostri che P(Mk) = k1s per ogni k ∈ N.
(b) Si mostri che Mp∩ Mq = Mpq se p e q sono primi tra loro. Si deduca che per ogni scelta di ` ∈ N e p1, . . . , p`∈ P si ha T`
i=1Mpi = MQ` i=1pi.
(c) Si deduca che {Mp}p∈P è una famiglia (numerabile) di eventi indipendenti.
(d) Si deduca che
P
\
p∈P
Mpc
= Y
p∈P
P(Mpc) . Notando che T
p∈PMpc= {1}, si concluda che vale la formula di Eulero:
ζ(s) = Y
p∈P
1
1 − p−s, ∀s ∈ (1, ∞) .