Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 8

Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 8

Legge dei grandi numeri e convergenza di variabili aleatorie.

Esercizi teorici

Esercizio 1. Siano (X_n)_n∈N, X, X⁰ variabili aleatorie reali, definite sullo stesso spazio di probabilità.

(a) Supponiamo che X_n→ X q.c. e X_n→ X⁰ q.c.. Si mostri che X = X⁰ q.c..

(b) Supponiamo che X_n → X in probabilità e X_n → X⁰ in probabilità. Si mostri che X = X⁰ q.c..

[Sugg. Si mostri che esiste una sottosuccessione (nk)_k∈N di (n)_n∈Ntale che Xn_k → X q.c. e X_nk→ X⁰ q.c..]

(c) Supponiamo che X_n→ X in L^p e X_n→ X⁰ in L^p. Si mostri che X = X⁰ q.c..

Esercizio 2. Sia ϕ : [0, ∞) → R una funzione crescente, limitata e continua (da destra) in zero, tale che ϕ(x) = 0 se e solo se x = 0 (per esempio, ϕ(x) = x/(1 + x)). Si mostri che Z_n→ Z in probabilità se e solo se E(ϕ(|Z_n− Z|)) → 0.

[Sugg.: per il “se” usare un’opportuna disuguaglianza, per il “solo se” considerare gli eventi {|Z_n− Z| > ε} e {|Z_n− Z| ≤ ε}.]

Esercizio 3. (a) Sia {x_n}_n∈N una successione in uno spazio topologico E. Supponiamo che esista x ∈ E tale che, per ogni sottosuccessione {x_nk}_k∈N di {x_n}_n∈N, è possibile estrarre un’ulteriore sotto-sottosuccessione {x_n⁰

k}_k∈N che converge a x. Si dimostri che l’intera successione {x_n}_n∈N converge a x.

[Sugg. Si mostri che, per ogni aperto contenente x, i termini xnche non appartengono all’aperto sono necessariamente in numero finito.]

(b) Siano X, {X_n}_n∈N variabili aleatorie reali. Supponiamo che, per ogni sottosuccessione di {X_n}_n∈N, sia possible estrarre una sotto-sottosuccessione che converge a X in L^p (risp. in probabilità). Si mostri che allora la successione completa {X_n}_n∈N converge a

X in L^p (risp. in probabilità).

[Sugg. Si applichi opportunamente il punto precedente.]

(c) Si mostri che il punto precedente non vale per la convergenza q.c.. Si deduca che non esiste nessuna topologia che induce la convergenza q.c..

Esercizi “pratici”

Esercizio 4. Siano {X_n}_n∈N i.i.d. Exp(λ).

• Si mostri che lim sup_{n→∞ log n}^Xn = _λ¹ q.c..

• Si mostri che la successione Z_n:= Xn/ log n converge a zero in probabilità e in L^p per ogni p, ma non ha limite q.c..

Esercizio 5. Siano {X_n}_n∈Nvariabili aleatorie indipendenti con X_n∼ Be(p_n) dove {p_n}_n∈N è una successione fissata a valori in [0, 1]. Si diano condizioni sui p_nper la convergenza q.c.

della serie S :=P

n∈NX_n.

†Ultima modifica: 19 dicembre 2013.

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Esercizio 6. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie indipendenti assolutamente continue, tutte definite sullo stesso spazio di probabilità, con densità date da

f_Xn(x) = 2n

(1 + nx)³1_{[0,∞)}(x) . (a) Si mostri che X_n→ 0 q.c. e in probabilità.

(b) Si mostri che la convergenza ha luogo in L^p solo per alcuni valori di p ≥ 1 (quali?).

Esercizio 7. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X₁ ∈ L¹ e m := E(X₁) > 0. Si ponga S₀ := 0, Sn:= X1+ . . . + Xn.

• Si mostri che S_n→ +∞ q.c..

• Si mostri che P

n∈Ne^−εSn < ∞ q.c. per ogni ε > 0.

Esercizio 8. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie scorrelate, in L², con la stessa media m = E(X_n) e tali che sup_n∈NVar(X_n) =: C < ∞. Si mostri che, per ogni successione {ε_n}_n∈N tale che ε_n ^√1_n, o più precisamente ε_n/^√1_n → +∞ per n → +∞, si ha

P(|Xn− m| ≥ ε_n) → 0 .

Esercizio 9. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X₁∈ L¹ e siano {Y_n}_n∈N variabili aleatorie i.i.d. con Y₁ ∈ L¹ e E(Y₁) > 0. Allora

Z_n:= X₁+ . . . + X_n

Y₁+ . . . + Y_n → E(X₁)

E(Y₁) q.c. .

Esercizio 10. Siano {X_n}_n∈Nvariabili aleatorie i.i.d. con X₁ ∈ L¹ e siano {T_n}_n∈Nvariabili aleatorie i.i.d. a valori in N0 con T₁ ∈ L¹ e E(T₁) > 0. Ponendo Sn := X1+ . . . + Xn e τ_n:= T₁+ . . . + T_n, si mostri che

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kS_τk → E(T₁)E(X₁) q.c. .