Disequazioni. h(x) g(x), h(x) < g(x), h(x) g(x), h(x) > g(x).

Disequazioni

Una disequazione `e una disuguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono delle incognite, e che `e verificata per alcuni valori delle stesse. Ad esempio

3x²+ 2x ≥ 9x − 2 x⁴+ 2

`e una disequazione. Date due funzioni qualsiasi h(x) e g(x) (definite rispettiva- mente sul proprio dominio Dom(f ) e Dom(g)), una disequazione `e una scrittura del tipo

h(x) ≤ g(x) , h(x) < g(x) , h(x) ≥ g(x) , h(x) > g(x).

Risolvere una disequazione significa trovare tutti i valori dell’incognita x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g) che la soddisfano.

Sia f : D ⊆ R → R (dove D = Dom(f )). Ogni disequazione si pu`o sempre ricondurre alla forma

f (x) ≥ 0 o f (x) > 0.

La soluzione non `e data in generale da un insieme finito di valori (come per un’equazione) ma da un insieme infinito (ad esempio x + 3 < 0 `e verificata per tutti i valori di x pi`u piccoli di −3).

1 Principi di equivalenza

Due disequazioni si dicono equivalenti quando ammettono la stessa soluzione.

Per risolvere una disequazione `e importante conoscere i principi di equivalenza che permettono di trasformare una disequazione in un’altra equivalente e di pi`u immediata risoluzione. Elenchiamoli:

Sommando ad entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione algebrica definita sul dominio della disequazione di partenza, si ottiene una disequazione equivalente a quella data:

f (x) ≥ g(x) ⇐⇒ f (x) + A(x) ≥ g(x) + A(x).

Moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per la stessa espres- sione algebrica definita sul dominio della disequazione di partenza e sempre positiva, si ottiene una disequazione equivalente a quella data:

se A(x) > 0 per ogni x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g) allora f (x) ≥ g(x)

⇐⇒ f (x) · A(x) ≥ g(x) · A(x).

Moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per la stessa espressione algebrica definita sul dominio della disequazione di partenza e sempre nega- tiva, si ottiene una disequazione di verso opposto ed equivalente a quella data:

se A(x) < 0 per ogni x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g) allora f (x) ≥ g(x)

⇐⇒ f (x) · A(x) ≤ g(x) · A(x).

Analoghi principi valgono con disuguaglianze strette, sostituendo opportuna- mente i simboli ≥, ≤ con >, < :

Sommando ad entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione algebrica definita sul dominio della disequazione di partenza, si ottiene una disequazione equivalente a quella data:

f (x) > g(x) ⇐⇒ f (x) + A(x) > g(x) + A(x).

Moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per la stessa espres- sione algebrica definita sul dominio della disequazione di partenza e sempre positiva, si ottiene una disequazione equivalente a quella data:

se A(x) > 0 per ogni x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g) allora f (x) > g(x)

⇐⇒ f (x) · A(x) > g(x) · A(x).

Moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per la stessa espressione algebrica definita sul dominio della disequazione di partenza e sempre nega- tiva, si ottiene una disequazione di verso opposto ed equivalente a quella data:

se A(x) < 0 per ogni x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g) allora f (x) > g(x)

⇐⇒ f (x) · A(x) < g(x) · A(x).

2 Un’interpretazione grafica

Consideriamo la disequazione

f (x) ≥ 0, dove

f (x) = 1 x − 2.

Il dominio di f `e D = R \ {2}: f non `e definita in x = 2. Risolvere f (x) ≥ 0 significa trovare l’insieme delle x ∈ D tale per cui il grafico di f si trova sull’asse delle ascisse o al di sopra di esso. Il grafico di f `e infatti l’insieme {(x, f (x)) ∈ R² : x ∈ D}, ed un punto (x, y) ∈ R² si trova sull’asse delle ascisse o al di sopra di esso se y ≥ 0.

x y

f (x) = _x−2¹ 0

1 2 3

1 2•^• 3 4

Il grafico di f `e al di sopra dell’asse delle ascisse per x > 2. La soluzione di f (x) ≥ 0 `e in effetti l’intervallo ]2, +∞[.

3 Disequazioni di primo grado

Una disequazione di primo grado `e una disuguaglianza dalla forma ax + b ≥ 0.

Se a > 0 la soluzione della disequazione `e



−b a, +∞

 . Se a < 0 invece la soluzione `e



−∞, −b a

 .

Se la disuguaglianza `e stretta, ovvero se si ha ax + b > 0, gli intervalli vanno considerati aperti in corrispondenza di −_a^b.

Esempio. Risolviamo

−3x + 1 2 < 2.

Utilizzando i principi di equivalenza vediamo che

− 3x + 1

2 < 2 ⇐⇒ −3x + 1

2− 2 < 0 ⇐⇒ −3x − 3 2 < 0

⇐⇒ 3x + 3

2 > 0 ⇐⇒ x > −1 2, pertanto la soluzione `e



−1 2, +∞

 .

3.1 Segno di ax + b

Possiamo fare uno schema del segno di ax + b a seconda che a sia positivo o meno.

segno di ax + b per x ∈−∞, −^b_a

segno di ax + b per per x ∈−^b_a, +∞

a > 0

− +

a < 0

+ −

Chiaramente ax + b = 0 quando x = −_a^b.

x y

f (x) = ax + b , a < 0

f (x) < 0 f (x) > 0

•

−^b_a

x y

f (x) = ax + b , a < 0

f (x) > 0 f (x) < 0

•

−^b_a

4 Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado `e una disuguaglianza dalla forma (disuguaglianza larga)

ax²+ bx + c ≥ 0, a 6= 0, o della forma (disuguaglianza stretta)

ax²+ bx + c > 0, a 6= 0.

Una regola mnemonica facile da ricordare `e la seguente:

ax²+ bx + c ha lo stesso segno di a ovunque, tranne che tra le radici.

Rendiamo questa affermazione pi`u esplicita, riassumendo il comportamento del segno di ax² + bx + c in due tabelle. Prima abbiamo bisogno di richiamare delle notazioni.

Sia ∆ il discriminante del trinomio ax²+ bx + c, ovvero

∆ = b²− 4ac

Ricordiamo che l’equazione ax²+ bx + c = 0 ha due radici distinte se ∆ > 0, una radice “doppia” se ∆ = 0 e nessuna radice reale se ∆ < 0.

4.1 Caso a > 0

Studiamo il segno di ax²+ bx + c per a > 0 nella seguente tabella:

Soluzione di ax²+ bx + c = 0

Soluzione di ax²+ bx + c > 0

Soluzione di ax²+ bx + c < 0

Grafico di f (x) = ax²+ bx + c

∆ > 0 x±=^−b±

√

∆

2a ] − ∞, x−[∪]x+, +∞[ ]x−, x+[

x y

f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0

•

•

∆ = 0 x0= −_2a^b R \ {x0} nessuna soluzione

x y

f (x) > 0 f (x) > 0

•

∆ < 0 nessuna radice reale R nessuna soluzione

x y

f (x) > 0

4.2 Caso a < 0

Il segno di ax² + bx + c per a < 0 si ricava immediatamente dal caso a > 0 osservando che ax²+ bx + c > 0 ⇐⇒ −ax²− bx − c < 0. Basta quindi cambiare tutti i segni nella tabella per a > 0:

Soluzione di ax²+ bx + c = 0

Soluzione di ax²+ bx + c > 0

Soluzione di ax²+ bx + c < 0

Grafico di f (x) = ax²+ bx + c

∆ > 0 x_±=^−b±

√∆

2a ]x₋, x+[ ] − ∞, x₋[∪]x+, +∞[

x y

f (x) < 0 • f (x) > 0 • f (x) < 0

∆ = 0 x0= −_2a^b nessuna soluzione R \ {x0}

x y

f (x) < 0 • f (x) < 0

∆ < 0 nessuna radice reale nessuna soluzione R

x y

f (x) < 0

4.3 Disequazioni di secondo grado e parabola

Nella terza colonna delle due tabelle presentate `e riportato il grafico della fun- zione f (x) = ax<sup>2</sup> + bx + c: quando a > 0 il grafico `e quello di una parabola con la concavit`a rivolta verso l’alto. I punti x ∈ R in cui ax²+ bx + c > 0 sono quelli per cui il grafico di f si trova strettamente al di sopra dell’asse delle x. Se ∆ > 0 allora la parabola interseca l’asse delle x in due punti distinti x±,

ed il grafico di f si trova al di sopra dell’asse per valori esterni alle due radici.

Se ∆ = 0, la parabola interseca l’asse delle ascisse in un solo punto x₀ (dove

`e anche tangente all’asse) e quindi il grafico si trova strettamente al di sopra dell’asse per ogni valore di x, eccetto il punto di intersezione. Se invece ∆ < 0 la parabola non interseca mai l’asse delle x, pertanto essa si trova sempre al di sopra dell’asse e ben staccata da esso.

Il grafico di f (x) = ax² + bx + c quando a < 0 `e quello di una parabola con la concavit`a rivolta verso il basso. Pertanto valgono le analoghe considerazioni fatte per quanto riguarda il grafico di f per a > 0 (infatti per ottenere i vari ca- si `e sufficiente riflettere i grafici della pagina precedente rispetto all’asse delle x).

In ogni caso, si pu`o evitare di ricordare tutti e due i casi a > 0 e a < 0 e comprenderne bene uno (solitamente a > 0). Infatti qualsiasi disequazione di se- condo grado pu`o essere ricondotta al caso a > 0 semplicemente cambiando segno a tutti i termini della disequazione e invertendo il verso della disequazione.

4.4 Disequazioni di secondo grado: esempi

Esempio. Risolviamo

3x²+ x − 2 ≥ 0.

Si vede che ∆ = 1 + 24 = 25 > 0, quindi l’equazione 3x² + x − 2 ammette due radici reali distinte che si calcolano facilmente: x− = −1, x₊ = 2. Il coefficiente di x² `e 3, quindi positivo, e ci viene richiesto di trovare le x per cui l’espressione

`e maggiore o uguale a 0. Queste sono date da tutti i valori esterni alle due radici, e le due radici sono incluse nella soluzione (perch´e vogliamo anche i valori per cui l’espressione `e nulla). In definitiva la soluzione `e

x ∈] − ∞, −1] ∪ [2, +∞[.

Esempio. Risolviamo

(x − 2)² < −3x²

Possiamo fin da subito notare che questa disequazione non ammette soluzioni, ovvero la soluzione `e l’insieme vuoto ∅. Infatti la disuguaglianza afferma che (x − 2)<sup>2</sup> che `e un numero sempre maggiore o uguale a 0, sia strettamente pi`u piccolo di −3x<sup>2</sup> che `e un numero sempre minore o uguale 0. Questo

`e chiaramente impossibile. Alternativamente, possiamo svolgere normalmente i calcoli. Innanzitutto riconduciamoci alla forma standard di un’equazione di secondo grado, esplicitando tutti i termini:

(x−2)² < −3x² ⇐⇒ x²−4x+4+3x² < 0 ⇐⇒ 4x²−4x+4 < 0 ⇐⇒ x²−x+1 < 0.

Abbiamo ottenuto una disequazione equivalente, ovvero che ha le stesse solu- zioni di quella di partenza. Notiamo che ∆ = −3 < 0 ed il coefficiente di x² `e positivo. Per cui questa disequazione non ammette soluzioni.

5 Disequazioni contenenti prodotti e quozienti di funzioni

Consideriamo disequazioni del tipo

f₁(x) · f₂(x) · · · f_n−1(x) · f_n(x) ≥ 0 o

f₁(x) · f₂(x) · · · f_n−1(x) · f_n(x) > 0

Dove f₁(x), ..., f_n(x) sono funzioni definite ognuna sul proprio dominio. Vogliamo quindi conoscere il segno del prodotto di f₁, ..., f_n. Per farlo `e sufficiente cono- scere il segno di ognuna delle funzioni f₁, ..., f_ne ricordarsi la regola dei segni:

il prodotto tra due numeri concordi ha segno “+”, ed il prodotto tra due numeri discordi ha segno “−”.

In particolare, nel caso in cui abbiamo un prodotto di due fattori f (x), g(x), il segno del prodotto `e

f (x) > 0 f (x) < 0 g(x) > 0 f (x)g(x) > 0 f (x)g(x) < 0 g(x) < 0 f (x)g(x) < 0 f (x)g(x) > 0 Inoltre f (x)g(x) = 0 se x `e tale che f (x) = 0 o g(x) = 0.

Esempio (prodotto di due funzioni). Risolviamo (x²− 1)(x + 3) ≤ 0.

Si tratta di un prodotto di due fattori di cui sappiamo studiare il segno. In particolare x²− 1 > 0 su ] − ∞, −1[∪]1, +∞[, x² − 1 = 0 per x = ±1. Invece x + 3 > 0 su ] − 3, +∞[, mentre x + 3 = 0 per x = −3. La situazione `e riassunta nella seguente tabella:

x x² − 1

x + 3 (x² − 1)(x + 3)

−∞ −3 −1 1 +∞

+ + 0 − 0 +

− 0 + + +

− 0 + 0 − 0 +

Si vede allora che il prodotto (x² − 1)(x + 3) `e strettamente positivo in ] − 3, −1[∪]1, +∞[ e nullo per x = −3, −1, 1. Quindi la soluzione di (x<sup>2</sup>−1)(x+3) ≤ 0 `e

] − ∞, −3] ∪ [−1, 1].

Esempio (quoziente di due funzioni). Anche un quoziente `e un prodotto, per cui il segno di <sup>f (x)</sup><sub>g(x)</sub> si trova allo stesso modo di quello di f (x) · g(x). C’`e una

precisazione importante da fare: bisogna escludere dalla soluzione tutti i valori per cui g(x) = 0, perch´e questo farebbe annullare il denominatore e quindi far perdere di significato a tutta l’espressione.

Risolviamo

x + 3 x²− 4 ≥ 0

L’ espressione _x^x+32−4 non ha significato nei punti in cui il denominatore si annulla, ovvero per x = ±2. Quindi il dominio di _x^x+32−4 `e R \ {−2, 2}. studiamo i segni del numeratore e del denominatore. Il numeratore `e strettamente positivo per x > −3 e si annulla per x = −3. Il denominatore `e strettamente positivo per x ∈] − ∞, −2[∪]2, +∞[. Dobbiamo escludere dalle soluzioni della disequazione i valori −2, 2. La tabella dei segni diventa:

x x² − 4

x + 3

x+3 x²−4

−∞ −3 −2 2 +∞

+ + 0 − 0 +

− 0 + + +

− 0 + − +

Per cui la soluzione della disequazione `e

[−3, −2[ ∪ ]2, +∞[.

Esempio (polinomio fattorizzabile come prodotto). Data un’espressione polinomiale di cui si vuole conoscere il segno, `e utile fattorizzare l’espressione, ovvero scriverla come prodotto di espressioni pi`u semplici (magari polinomi di grado uno o due), e studiare il segno dei singoli fattori.

Risolviamo

x³− 4x²+ 3x + 2 > 0.

Si vede subito che x = 2 `e una radice, e che quindi x<sup>3</sup>− 4x<sup>2</sup>+ 3x + 2 pu`o essere diviso per (x − 2) ottenendo

x³− 4x² + 3x + 2 = (x − 2)(x²− 2x − 1).

Inoltre x²− 2x − 1 ha due radici reali 1 −√

2, 1 +√

2. Siamo pronti a disegnare una tavola dei segni

x x − 2 x² − 2x − 1 x³ − 4x² + 3x + 2

−∞ 1 −√

2 2 1 +√

2 +∞

− − 0 + +

+ 0 − − 0 +

− 0 + 0 − 0 +

Quindi la soluzione della disequazione di x³ − 4x²+ 3x + 2 > 0 `e ]1 −√

2, 2[ ∪ ]1 +√

2, +∞[.

6 Sistemi di disequazioni

Date n funzioni f₁ : D₁ → R,..., fn : D_n → R, chiameremo sistema di disequazioni una scrittura del tipo































f₁(x) ≥ 0 f₂(x) ≥ 0

... f_k(x) ≥ 0 f_k+1(x) > 0

... f_n(x) > 0

Risolvere il sistema di disequazioni appena introdotto significa trovare tutti gli x ∈ D₁ ∩ · · · ∩ D_n tali per cui tutte le disequazioni siano verificate. Notiamo che alcune disequazioni del sistema sono larghe (le prime k), mentre altre sono strette (le restanti n − k). Nel linguaggio insiemistico, la soluzione di ogni disequazione f_i(x) ≥ 0 o f_i > 0 `e un sottoinsieme di D<sub>k</sub> ⊆ R che indichiamo con S<sub>k</sub>. Dire che x soddisfa contemporaneamente tutte le disequazioni significa dire che x ∈ S1∩ · · · ∩ Sn, ovvero che x `e nell’intersezione di tutte le soluzioni.

La soluzione di un sistema di disequazioni `e data dall’intersezione delle soluzioni di ogni singola disequazione.

Esempio. Risolviamo

(3x − 2 ≥ −5 x²− 3x < 0.

La prima disequazione `e equivalente a x ≥ −1 e quindi ha come soluzione [−1, +∞[.

Per quanto riguarda la seconda, notiamo che le due radici di x²− 3x sono −3 e 0, per cui la soluzione di x² − 3x < 0 `e data da ] − 3, 0[.

La soluzione del sistema `e quindi

[−1, +∞[ ∩ ] − 3, 0[ = [−1, 0[.

Possiamo schematicamente rappresentare la situazione come segue:

3x − 2 ≥ −5

-3 -1 0

x²− 3x < 0

Soluzione

7 Disequazioni con modulo

Consideriamo ora disequazioni del tipo

|f (x)| ≥ g(x) e |f (x)| ≤ g(x).

e del tipo

|f (x)| > g(x) e |f (x)| < g(x).

Prima di dare uno schema risolutivo per questo tipo di disequazioni `e utile ricordare alcune propriet`a fondamentali del modulo. Per ogni x, a ∈ R

|x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a o x ≥ a ⇐⇒ x ∈] − ∞, −a] ∪ [a, ∞[

|x| > a ⇐⇒ x < −a o x > a ⇐⇒ x ∈] − ∞, −a] ∪ [a, ∞[

e

|x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a]

|x| < a ⇐⇒ −a < x < a ⇐⇒ x ∈ [−a, a].

Notiamo anche che se a < 0 allora |x| ≥ a `e vera per ogni x ∈ R mentre |x| ≤ a non `e mai vera. Se a = 0 allora |x| ≥ a `e vera per ogni x ∈ R mentre |x| ≤ a `e vera solo se x = 0.

Da queste propriet`a deriva immediatamente uno schema risolutivo per ognuno dei casi in esame.

Consideriamo

|f (x)| ≥ g(x).

Il dominio D dove la disequazione ha significato `e D = Dom(f ) ∩ Dom(g).

Per ogni x ∈ D

|f (x)| ≥ g(x) ⇐⇒ f (x) ≥ g(x) o − f (x) ≥ g(x)

⇐⇒ f (x) ≥ g(x) o f (x) ≤ −g(x).

La soluzione di |f (x)| ≥ g(x) `e data dall’unione delle soluzioni di f (x) ≥ g(x) e di f (x) ≤ −g(x).

Consideriamo

|f (x)| ≤ g(x).

Il dominio D dove la disequazione ha significato `e D = Dom(f ) ∩ Dom(g).

Per ogni x ∈ D

|f (x)| ≤ g(x) ⇐⇒ f (x) ≤ g(x) e −f (x) ≤ g(x) ⇐⇒ −g(x) ≤ f (x) ≤ g(x).

La soluzione di |f (x)| ≤ g(x) `e data dall’intersezione delle soluzioni di f (x) ≤ g(x) e di

f (x) ≥ −g(x).

Nel caso di disequazioni del tipo |f (x)| > g(x) o |f (x)| < g(x) valgono le stesse regole, opportunamente sostituendo tutte le disuguaglianze larghe con disugua- glianze strette.

Esempio. Risolviamo

3x + 2 2x − 1    

≤ 1.

Innanzitutto determiniamone il dominio: L’espressione ha significato quando il denominatore della frazione che compare `e non nullo, ovvero quando x 6= ¹₂. Quindi D = R \₁

2 . Abbiamo visto che per x ∈ D 

3x + 2 2x − 1    

≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ 3x + 2

2x − 1 ≤ 1 ⇐⇒

(_3x+2

2x−1+ 1 ≥ 0

3x+2

2x−1− 1 ≤ 0

Infatti nel caso |f (x)| ≤ g(x) la soluzione `e data dall’intersezione delle soluzioni di f (x) ≤ g(x) e f (x) ≥ −g(x), che non `e altro che un sistema di disequa- zioni. Semplificando le espressioni all’interno del sistema otteniamo il sistema equivalente

(5x+1 2x−1 ≥ 0

x+3 2x−1 ≤ 0.

Studiamo i segni di ^5x+1_2x−1:

x 5x + 1 2x − 1

5x+1 2x−1

−∞ −¹₅ ¹₂ +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − +

e di _2x−1^x+3:

x x + 3 2x − 1

x+3 2x−1

−∞ −3 ¹₂ +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − +

La soluzione di ^5x+1_2x−1 ≥ 0 `e quindi−∞, −<sup>1</sup><sub>5</sub> ∪ <sup>1</sup><sub>2</sub>, +∞. Il valore <sup>1</sup><sub>2</sub> `e da scartare in quanto non appartiene al dominio dell’espressione di partenza. La soluzione di

x+3

2x−1 ≤ 0 `e invece −3,<sup>1</sup><sub>2</sub>. La soluzione del sistema, e quindi della disequazione con modulo, `e



−∞, −1 5



∪  1 2, +∞



∩



−3,1 2



=



−3, −1 5

 , ovvero l’intersezione delle due soluzioni. Graficamente

5x+1 2x−1 ≥ 0

-3 −¹₅ ¹₂

x+3 2x−1 ≤ 0

Soluzione

7.1 Disequazioni con pi` u moduli

Consideriamo la disequazione |f (x)| ± |g(x)| ≥ h(x) con dominio D = Dom(f ) ∩ Dom(g) ∩ Dom(h). Quello che si fa in questa situazione `e distinguere quattro casi, a seconda che f (x) e g(x) siano entrambe positive, entrambe negative, o una positiva e l’altra negativa, ed utilizzare la definizione di modulo.

Sia x ∈ D. Siano S₁, S₂, S₃ ed S₄ le soluzioni dei quattro sistemi

(1)







f (x) ≥ 0 g(x) ≥ 0

f (x) ± g(x) ≥ h(x)

(2)







f (x) ≥ 0 g(x) < 0

f (x) ∓ g(x) ≥ h(x)

(3)







f (x) < 0 g(x) ≥ 0

−f (x) ± g(x) ≥ h(x)

(4)







f (x) < 0 g(x) < 0

−f (x) ∓ g(x) ≥ h(x).

Allora la soluzione S di |f (x)| ± |g(x)| ≥ h(x) `e data dall’unione delle soluzioni: S = S₁∪ S₂∪ S₃∪ S₄.

Si divide il dominio D in quattro sottoinsiemi disgiunti dove f (x) e g(x) hanno un segno ben preciso. I casi possibili sono quattro. In ognuno di questi sottoinsie- mi, possiamo rimuovere il modulo poich´e conosciamo il segno di f (x) e di g(x) e risolvere una disequazione senza modulo. Alla fine prenderemo tutte le soluzioni ottenute nei diversi casi. Nel caso di disequazioni del tipo |f (x)| ± |g(x)| > h(x) valgono le stesse regole, opportunamente sostituendo tutte le disuguaglianze larghe con disuguaglianze strette nell’ultima riga di (1) − (2) − (3) − (4).

Esempio. Risolviamo

|x − 1| < |x − 4| − 3.

Il dominio `e D = R. Consideriamo i quattro sistemi

(1)







x − 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [1, +∞[

x − 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [4, +∞[

x − 1 < x − 4 − 3 ⇐⇒ 6 < 0 ⇒ mai verificata (2)







x − 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [1, +∞[

x − 4 < 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞, 4[

x − 1 < 4 − x − 3 ⇐⇒ x ∈] − ∞, 1[

(3)







x − 1 < 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞, 1[

x − 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [4, +∞[

1 − x < x − 4 − 3 ⇐⇒ x ∈]4, +∞[

(4)







x − 1 < 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞, 1[

x − 4 < 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞, 4[

1 − x < 4 − x − 3 ⇐⇒ 0 < 0 ⇒ mai verificata.

Notiamo che tutti i sistemi (1), (2) (3) e (4) non ammettono soluzioni. Quindi la disequazione non ammette soluzioni.

8 Disequazioni con un radicale

Ci occupiamo ora di risolvere disequazioni del tipo pn

f (x) ≥ g(x) , pⁿ

f (x) > g(x) o

pn

f (x) ≤ g(x) , pⁿ

f (x) < g(x).

Prima di esporre uno schema risolutivo, ricordiamo alcune propriet`a importanti delle radici.

8.1 Caso n pari

Consideriamo il caso in cui n ∈ N \ {0} sia pari. Affinch´e la disequazione abbia senso, dobbiamo avere f (x) ≥ 0. In particolare il dominio in cui la nostra disu- guaglianza ha senso sar`a dato dall’intersezione tra il dominio di f , il dominio di g, e l’insieme {x ∈ R : f (x) ≥ 0}.

Ricordiamo che per ogni a ≥ 0, √ⁿ

a ≥ 0, per cui un’espressione del tipo pf(x) ≥ⁿ a con a < 0 `e sempre vera (dove pf(x) `e definita), mentreⁿ pf(x) ≤ a non `eⁿ mai vera se a < 0.

Inoltre ricordiamo che se a, b ≥ 0, allora √ⁿ

a ≥ b `e equivalente a a ≥ bⁿ, e che √ⁿ

a ≤ b `e equivalente a a ≤ bⁿ, e anche √ⁿ

a > b `e equivalente a a > bⁿ, e

√n

a < b `e equivalente a a < b<sup>n</sup>. Questo `e falso se b < 0.

Consideriamo

pn

f (x) ≥ g(x)

con n pari. Il dominio D dove questa espressione ha senso `e dato da D = {x ∈ R : f(x) ≥ 0} ∩ Dom(f) ∩ Dom(g). Distinguiamo i casi in cui g(x) < 0 e g(x) ≥ 0:

1. se x ∈ D e g(x) < 0 la disuguaglianza `e vera;

2. se x ∈ D e g(x) ≥ 0 allora la disuguaglianza `e equivalente a f (x) ≥ g(x)ⁿ.

La soluzione della disequazione di partenza sar`a data dall’unione delle solu- zioni dell’equazione data dal punto 1 e del sistema dato dal punto 2. Se la disuguaglianza di partenza `e stretta, ovvero pf(x) > g(x), allora nella 2. laⁿ disuguaglianza `e equivalente a f (x) > g(x)ⁿ.

In effetti la situazione `e la seguente: pf(x) > (≥)g(x) per x ∈ D quandoⁿ g(x) < 0 o

(g(x) ≥ 0

f (x) > (≥)g(x)ⁿ.

Se S₁ `e la soluzione di g(x) < 0 ed S<sub>2</sub> `e la soluzione del sistema (g(x) ≥ 0

f (x) > (≥)g(x)ⁿ. allora la soluzione di pf(x) > (≥)g(x) `e Sⁿ 1∪ S₂.

Consideriamo

pn

f (x) ≤ g(x).

con n pari. Il dominio D dove questa espressione ha senso `e dato da D = {x ∈ R : f(x) ≥ 0} ∩ Dom(f) ∩ Dom(g). Distinguiamo i casi in cui g(x) < 0 e g(x) ≥ 0:

1. se x ∈ D e g(x) < 0 la disuguaglianza `e falsa;

2. se x ∈ D e g(x) ≥ 0 allora la disuguaglianza `e equivalente a f (x) ≤ g(x)ⁿ.

La soluzione della disequazione di partenza coincide con la soluzione del sistema

(g(x) ≥ 0 f (x) ≤ g(x)ⁿ.

Se la disuguaglianza di partenza `e stretta, ovvero pf(x) < g(x), allora nel-<sup>n</sup> la 2. la disuguaglianza `e equivalente a f (x) < g(x)ⁿ e la soluzione della disequazione di partenza coincide con la soluzione del sistema

(g(x) ≥ 0 f (x) < g(x)ⁿ.

8.2 Caso n dispari

Nel caso in cui n sia dispari, la radice ha senso anche per argomento negativo.

Consideriamo

pn

f (x) ≥ g(x).

con n dispari. Il dominio D dove questa espressione ha senso `e dato da D = Dom(f ) ∩ Dom(g). La disuguaglianza `e equivalente a

f (x) ≥ g(x)ⁿ. Consideriamo

pn

f (x) ≤ g(x).

con n dispari. Il dominio D dove questa espressione ha senso `e dato da D = Dom(f ) ∩ Dom(g). La disuguaglianza `e equivalente a

f (x) ≤ g(x)ⁿ.

Se le disuguaglianze di partenza sono strette, anche le disuguaglianze equivalenti sono strette.

Esempio. Risolviamo √

x + 5 ≤ x − 1.

Se x − 1 < 0 allora la disuguaglianza `e falsa, quindi non ci sono soluzioni in ] − ∞, 1[. Se x ≥ 1 allora la disequazione `e equivalente a

x + 5 ≤ (x − 1)² ⇐⇒ x²− 3x + 4 ≥ 0.

Risolvere√

x + 5 ≤ x − 1 equivale a risolvere il sistema (x ≥ 1

x²− 3x + 4 ≥ 0.

La disequazione x²− 3x + 4 ≥ 0 ha come soluzione ] − ∞, −1] ∪ [4, +∞[, mentre x ≥ 1 ha banalmente come soluzione [1, +∞[ . La soluzione del sistema (e quindi di√

x + 5 ≤ x − 1) `e data da

[1, +∞[ ∩ (]−∞, −1] ∪ [4, +∞[) = [4, +∞[ .

8.3 Disequazioni con pi` u radicali

Consideriamo la disequazione

mp

f (x) ≥ pⁿ g(x)

con dominio D = Dom(f ) ∩ Dom(g) ∩ {x ∈ R : f (x) ≥ 0} ∩ {x ∈ R : g(x) ≥ 0}.

La disequazione ^mpf(x) ≥ pg(x) per x ∈ D `e equivalente a:ⁿ f (x)ⁿ ≥ g(x)^m.

Se la disuguaglianza di partenza `e stretta, ovvero se <sup>m</sup>pf(x) > pg(x), allora<sup>n</sup> per x ∈ D essa `e equivalente a f (x)ⁿ > g(x)^m.

E importante verificare che le soluzioni trovate risolvendo f (x)` ⁿ ≥ g(x)^m o f (x)ⁿ > g(x)^m appartengano al dominio D. Le stesse conclusioni valgono se la disequazione di partenza presenta i simboli ≤ o < invece di ≥ o >, invertendo ovunque il verso.

Esempio. Risolviamo √

x <√⁴

3 − 2x.

Il dominio `e D =

 0,3

2



. Cerchiamo x ∈

 0,3

2



tali che

x² < (3 − 2x) ⇐⇒ x²+ 2x − 3 < 0 ⇐⇒ x ∈] − 3, 1[.

La soluzione `e quindi data da

 0,3

2



∩] − 3, 1[= [0, 1[.