Equazione di Stato e Teorica Cinetica dei Gas. Prof. Francesco Di Capua

Prof. Francesco Di Capua

Equazione di Stato e

Teorica Cinetica dei Gas

Equazione di Stato e

Teorica Cinetica dei Gas

Massa atomica

• Singoli atomi e molecole hanno masse che oggi si conoscono con molta precisione ma

che se le esprimiamo in kg sono molto piccole (dell’ordine di 10

kg)

• 1 atomo di idrogeno pesa 1.674x10

kg

• Per semplicità si sceglie una unità di massa

microscopica, l’unità di massa atomica tale

che, per definizione, 1u =1/12 massa del

C

• In questo modo le masse degli elementi sono multipli dell’unità di massa atomica: idrogeno (1u), Elio (4u), Carbonio (12u), Ossigeno (16u)

Massa atomica (2)

Moli e numero di Avogadro

• Quando si parla di di molecole conviene introdurre la misura delle grandezze espressa in moli

• Una mole è una quantità di sostanza pari al peso atomico costituita da un numero di Avogadro di molecole

• Il numero di Avogadro è il numero di atomi di carbonio contenuto in 12 g di

C

• una mole di Carbonio (12u) corrisponde a 12 g di Carbonio e contiene N_A atomi

•una mole di Elio (4u) corrisponde a 4g di Helio e contiene N_A atomi

• una mole di Idrogeno (1u) corrisponde ad 1 g di Idrogeno e contiene N_A atomi

• La mole mette in relazione il numero di entità chimiche con la massa di un campione di tale entità

• Il numero di moli presente in un campione di una data sostanza può essere trovato a partire dal numero di molecole N presente in tutto il campione

M massa molare m massa di una molecola

Moli e numero di Avogadro

• Il numero di moli può essere ottenuto a partire dalla massa

di un campione con la relazione

Descrizione macroscopica di un gas perfetto

• Un gas in un recipiente si espande per cui esso assume il volume e la pressione che dipendono dalle dimensioni e dal volume del recipiente

• Pressione, Temperatura e Volume sono le

grandezze macroscopiche che descrivono un gas.

Esse sono legate tra di loro dall’equazione di stato dei gas

• A pressioni basse come quella atmosferica si parla

di gas perfetto: in queste condizioni I gas reali sono

vicini alla condizione di gas ideale

Equazione di stato dei gas

• Sperimentalmente si osserva che se si racchiude 1 mole di diversi gas in un recipiente di volume identico e li si mantiene alla stessa

temperatura, la pressione è uguale per tutti i gas

• Sia consideri un gas confinato in un recipiente cilindrico che

consente di variare il volume. Esperimenti condotti sui gas a bassa densità conducono alle seguenti conclusioni:

• Quando il gas si trova a temperatura costante(ed n è fisso), la sua pressione è inversamente proporzionale al volume (legge di Boyle)

pV=costante

• Quando la pressione e le moli del gas sono mantenute costanti, il volume è direttamente proporzionale alla temperatura (legge di Charles)

V/T=costante

• Quando il volume è mantenuto costante, la pressione è direttamente proporzionale alla temperatura (legge di Gay-Lussac)

p/T=costante

Queste evidenze empiriche insieme si traducono nell’equazione di stato dei gas

Equazione di stato dei gas

n numero di moli di gas T è espresso in Kelvin

R costante tipica di ogni gas, si osserva che quando P si avvicina a zero il rapporto PV/nT è molto simile per tutti I gas

Quando V è espresso in m

e P in Pa

Equazione di stato dei gas

Esempio: equazione di stato

Cilindro con il pistone mobile di massa m=20kg,

contiene n=0.2 moli gas perfetto a temp. T=400 K, La sezione del pistone è A=0.008m

L’aria sopra il pistone è alla pressione atmosferica P

A che altezza h si pone il pistone all’equilibrio?

P pressione esercitata dal gas

Esempio

• Una bomboletta spray contiene alla pressione doppia rispetto a quella atmosferica (202 kPa) ed un Volume di 125cm

a T=22°C, che pressione raggiunge quando T viene portata a 195°C

• Aumentando la temperatura non fuoriesce aria, per cui n ed R sono costanti essendo

Aumenta la pressione del gas nella bomboletta, se la pressione diventa molto alta si può

generare un esplosione

Esempio(2)

• Consideriamo la possibilità che l’acciaio della bomboletta possa dilatarsi e la bomboletta aumentare di volume

Lavoro svolto da un gas ideale a temperatura costante

• Un gas ideale in un recipiente cilindrico con un pistone libero di muoversi

• Si mantenga la temperatura del gas costante per tutto il processo (espansione isoterma)

• Determiniamo il lavoro:

Lavoro svolto da un gas ideale in una

trasformazione isoterma

Termometro a gas a volume costante

• Il termometro a volume costante misura la pressione del gas contenuto nel pallone immerso nel bagno

• Per la taratura viene prima immerso in un bagno di acqua e ghiaccio in equilibrio termico, il serbatoio B viene

sollevato in maniera da mantenere costante il volume del gas (livello nel tubo A segnato dalla tacchetta)

• L’altezza h indica la pressione del gas a 0°C

• Il contenitore viene immerso in un bagno sul punto di ebollizione (100°C)

• Si riaggiusta il liquido in maniera da riportare il livello in A sullo zero per assicurarsi che il volume del gas resti

costante

• L’altezza h ora indica la pressione del gas a 100°C,

• La pressione sarà quindi ora cambiata dato che con l’aumento della temperatura è aumentato lo stato di

agitazione delle molecole ed è aumentato il numero di urti sulle pareti del contenitore

• Dunque le variazioni di pressione vengono usate per misurare qualsiasi temperatura

Teoria cinetica dei gas perfetti

• Il gas è costituito da un numero di molecole

identiche, la separazione media delle molecole è grande rispetto alle loro dimensioni

• Ogni molecola si muove in qualunque direzione e con una distribuzione continua di velocità

• Gli urti tra le molecole avvengono tramite forze che hanno effetto solo a breve distanza

• Le molecole interagiscono con le pareti tramite

urti elastici

Interpretazione molecolare della pressione in un gas perfetto

• Si consideri una molecola in un contenitore cubico di lunghezza d

• Quando una molecola urta elasticamente una parete, la sua componente alla velocità v_x perpendicolare alla parete si inverte dopo l’urto.

• La variazione di quantità di moto nell’urto è data da

L’intervallo di tempo tra due urti sulla stessa parete è in media

• Dunque la quantità di moto trasmessa dalla molecola

alla parete nell’unità di tempo è data da

• La seconda legge di Newton si può esprimere anche con la relazione F=dp/dt (derivata della quantità di moto in funzione del tempo)

• quindi una singola molecola esercita una forza sulla parete pari a

Interpretazione molecolare della pressione in un gas perfetto

• Per ottenere la pressione bisogna dividere per l’area A della parete

e sommare su tutte le molecole

Definizione di valore medio della quantità v²

Nell’ultimo passaggio abbiamo espresso la sommatoria su v_x² in termini del valor medio <v_x²>

M massa molare

Interpretazione molecolare della pressione in un gas perfetto

M massa molare

• Dato che ogni molecola si muove in direzione casuale in tutte le direzioni, allora vale:

• La pressione di un gas dipende dalla velocità delle molecole

Interpretazione molecolare della temperatura

• Si consideri nuovamente una singola molecola di gas. La sua energia cinetica è in ogni istante pari a mv

/2. L’energia

cinetica media (media su tutte le molecole) è data da

La temperature (a meno di una costante) è legata all’energia cinetica media delle molecole Abbiamo ottenuto la

relazione

Interpretazione molecolare della temperatura

• Ad una data temperatura T tutte le molecole dei gas indipendente dalla loro massa hanno la stessa energia cinetica traslazionale media(=3/2 k

T).

• Quando misuriamo la temperatura di un gas non misuriamo

altro che l’energia cinetica media delle sue molecole

Equipartizione dell’energia

• Nel caso di una molecola biatomica esiste la possibilità di ruotare attorno a due assi perpendicolari passanti per il centro di massa (gradi di liberta rotazionali). In tal caso si ha

Per ogni componente del moto (grado di libertà) si ha un contributo all’energia cinetica pari a

Energia meccanica molecolare media

Calori specifici molari per un gas perfetto

• Consideriamo un gas monoatomico (elio, neon, argon)

• L’energia interna di un gas è la somma delle

energie cinetica traslazionale

• Il calore specifico indica la capacità di variare la temperatura rispetto alla quantità di calore

fornita

• Nei gas si deve tenere conto che sono possibili variazioni di temperatura tramite trasformazioni a volume costante oppure a pressione costante

• Si definiscono dunque due tipi di calore specifico: C

e C

, rispettivamente

Calori specifici molari per un gas perfetto

Calore specifico a volume costante

• Supponiamo di fornire calore ad un gas aumentando la fiamma della sorgente di calore sotto ad un recipiente che contiene un gas in cui il volume non puo’ variare

• Passando dallo stato iniziale i allo stato finale f si ha un’aumento di temperatura ed un aumento di pressione

• Vale per la quantità di calore l’espressione:

• Essendo la trasformazione a volume costante

Gas monoatomici

• L’energia trasferita sotto forma di

calore in un gas monoatomico è uguale alla variazione di energia interna

• I valori previsti per C

concordano con quelli sperimentalmente osservati nei gas monoatomici

• In generale per qualsiasi gas perfetto vale

• La variazione di energia di un gas

ideale confinato non dipende dal tipo

di trasformazione che ha prodotto la

variazione di temperatura del gas, ma

solo dall’entità di tale variazione

Calore specifico a pressione costante

• Supponiamo ora che la temperatura di un gas sia aumentata della quantità ΔT in seguito a trasferimento di calore quando il gas si trova a pressione costante

• In questa trasformazione il volume varia

• Si ha allora:

Utilizzando le due uguaglianze che sono sempre valide

Questa relazione concorda con l’esperienza per tutti I gas in generale, essa mostra che il calore specifico di un gas perfetto a pressione costante è maggiore di quello a

volume costante

Calori specifici gas monoatomici

Calori specifici nei gas

Nei gas monoatomici

Nei gas biatomici