TEORIA CINETICA DEI GAS TEORIA CINETICA DEI GAS

(1)

TEORIA CINETICA DEI GAS TEORIA CINETICA DEI GAS

jx x

v v

= ∑ N

x y z

0 v = v = v = Gas perfetto Gas perfetto

•N molto •N molto grandegrande

•Traiettorie•Traiettorie classicheclassiche

•Interazione•Interazione dada sferesfere rigide, rigide, urtiurti elasticielastici

•Casualita•Casualita’’

= 0 v

2 2 2 2

j jx jy jz

v = v + v + v

2

2 vj

v =

∑

N ²

₃

²

v = v

x

1 2 xj

x l

=

∑

N = _{P x x}_{( ;} _x₎ ^x l + Δ = Δ

(2)

PRESSIONE PRESSIONE

( ) ( ) 2

f i

jx jx jx jx jx jx

p p p m v m v mv

Δ = − = − − = −

'_jx(dalla parete) _jx 2 _jx _jx J = Δp = − mv = −J

= Δ t J F

1 2 v

^jx

t

P l

= Δ

1

2

2 2

jx jx

v t mv t

J mv

l l

Δ Δ

= =

J_x ^{m t} v²_jx

l

= Δ

∑

^F^x ^J^x ^m ^v²^jx

t l

= =

Δ

∑

2 3

x

m v

jx

p F

ll l

= = ∑

²

pV = m ∑ v

jx

^∑

^v²^jx ⁼ ^{N v}₃ ² ²

3 pV = Nm v

(3)

TEMPERATURA TEMPERATURA

1

2

^j

U = ∑ mv

Gas monoatomico →

2 2

2

1 1 1

2 2 2

j j

mv v

K m m v

N N

= ∑ = ∑ = ¹

²

U = 2 Nm v

2

2 1

2

3 3 2

pV = Nm v = ⎜ ⎛ ⎝ Nm v ⎞ ⎟ ⎠

2 pV = 3 U pV = nRT 3

U = 2 nRT

L’energia di un gas perfetto e’ proporzionale alla temperatura (scala Kelvin)

(4)

TEMPERATURA TEMPERATURA

A

n N

= N

3 2 3

2

A

N RT N

U R

K T

N N N

= = = 3

K = 2 kT 1.38 10

23

/

A

k R J

N

= = ×

−

K

Costante di Boltzmann

Velocita’ quadratica media

v

_qm

= v

²

3 1

2

2 2

K = kT = m v v

_qm

³ ^kT

= m

(5)

EQUIPARTIZIONE DELL

EQUIPARTIZIONE DELL ’ENERGIA ’ ENERGIA

3 K = 2 kT v

²j

= v

²jx

+ v

²jy

+ v

²jz

^v

²

⁼ ³ ^v

_x²

2 2 2

1 1 1 1

2 m v

^x

= 2 m v

^y

= 2 m v

^z

= 2 kT

3 gradi di liberta’

traslazionali

Principio di equipartizione

dell’energia

1 E _{= ⎜} η ^⎛ 2 kT ^⎞ _⎟

⎝ ⎠

nr. di gradi di liberta'

η =

(6)

EQUIPARTIZIONE DELL

EQUIPARTIZIONE DELL ’ENERGIA ’ ENERGIA

1

2

V= 2 k x

^el Oscillatore armonico

7 1

E ⎛ 2 kT ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

5 1

E ⎛ 2 kT ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

Gas biatomico

Non attivi a temperatura ambiente

(7)

CAPACIT

CAPACIT À À TERMICHE DEI GAS IDEALI TERMICHE DEI GAS IDEALI

Se il sistema scambia con l

Se il sistema scambia con l’’ambiente energia sotto forma di calore, tutta ambiente energia sotto forma di calore, tutta ll’’energia si trasforma in energia interna del gas (energia cineticenergia si trasforma in energia interna del gas (energia cinetica), infatti a), infatti

V V èè costante perciò non può essere compiuto lavoro esternocostante perciò non può essere compiuto lavoro esterno CAPACIT

CAPACITÀÀ TERMICA MOLARE A VOLUME COSTANTETERMICA MOLARE A VOLUME COSTANTE

Gas monoatomico Gas monoatomico

Gas biatomico Gas biatomico

Gas Gas poliatomico poliatomico

K J/mole

5 . 2 12

3 =

= R C

_V

K J/mole

8 . 2 20

5 =

= R C

_V

K J/mole

1 . 24 3 =

= R C

_V

V

Q U

C n T n T

= = Δ

Δ Δ

Q = Δ U ^{1 dU}

V

dT

C = n

(8)

Una trasformazione a pressione costante Una trasformazione a pressione costante èè rappresentata nel piano di

rappresentata nel piano di ClapeyronClapeyron dal tratto dal tratto orizzontale (i

orizzontale (i--f)f)₂₂: in questa trasformazione la : in questa trasformazione la temperatura varia da T a T+

temperatura varia da T a T+ΔΔTT CAPACIT

CAPACITÀÀ TERMICA MOLARETERMICA MOLARE A PRESSIONE COSTANTE A PRESSIONE COSTANTE

Si considerano allora le due isoterme alle temperature T e T+

Si considerano allora le due isoterme alle temperature T e T+ΔΔT.T. PoichPoichéé tutti

tutti ii punti di una isoterma corrispondono a stati che hanno la stessapunti di una isoterma corrispondono a stati che hanno la stessa energia interna, in ogni trasformazione (1, 2, 3

energia interna, in ogni trasformazione (1, 2, 3 ……) che collega le due ) che collega le due isoterme si ha la stessa variazione di energia interna.

isoterme si ha la stessa variazione di energia interna.

Questo vale in particolare per la trasformazione

Questo vale in particolare per la trasformazione (i-(i-f)f)₁₁, a volume costante , a volume costante Mentre nella trasformazione 1 la variazione di energia interna

Mentre nella trasformazione 1 la variazione di energia interna èè dovuta dovuta solamente al calore scambiato, nella trasformazione 2

solamente al calore scambiato, nella trasformazione 2 èè in parte dovuta in parte dovuta a lavoro esterno, che vale

a lavoro esterno, che vale

V p

L = Δ

_perciò:

(9)

Gas Gas monoatomico monoatomico

Gas biatomico Gas biatomico

Gas Gas poliatomico poliatomico

K J/mole

8 . 2 20

5 =

= R C

_p

K J/mole

1 . 2 29

7 =

= R C

_p

K J/mole

3 . 33 4 =

= R C

_p

T nR

T nC

V p

T nC

T

nC

_V

Δ =

_p

Δ − Δ =

_p

Δ − Δ

1 V

Q = Δ = U nC Δ T ^Q

₂

= ^nC

_p

Δ ^T

tenendo conto del I principio della termodinamica e dell’equazione di stato dei gas perfetti:

R C

C

_p

=

_V

+ Relazione di Relazione di Meyer Meyer

1 2

U Q Q p V

Δ = = − Δ

(10)

E E ’ ’ utile definire il utile definire il rapporto fra le capacit rapporto fra le capacit à à

termiche molari termiche molari

Gas Gas monoatomico monoatomico

Gas biatomico Gas biatomico

Gas Gas poliatomico poliatomico

67 . 3 1

5 = γ =

40 . 5 1

7 = γ =

33 . 3 1

= 4 = γ

Effetti quantistici (H₂)

V p V

p

c c C C =

γ =

Traslazione

Oscillazione Rotazione

(11)

CAPACIT

CAPACITÀ À TERMICHE DEI SOLIDI TERMICHE DEI SOLIDI

(1)(1) Nel 1819 DoulongNel 1819 Doulong e Petit e Petit notarono che le

notarono che le CAPACITACAPACITA’’ TERMICHE MOLARI A VOLUME TERMICHE MOLARI A VOLUME

COSTANTE

COSTANTE dei solidi sono circa dei solidi sono circa uguali a

uguali a

25 J/mole K 25 J/mole K

: la quantit: la quantitàà di calore per atomo necessaria per di calore per atomo necessaria per variare la temperatura di un solido variare la temperatura di un solido

di una data quantit

di una data quantitàà èè circa la circa la stessa per tutti i solidi

stessa per tutti i solidi

(2)(2) La CAPACITALa CAPACITA’’ TERMICA MOLARE A VOLUME COSTANTETERMICA MOLARE A VOLUME COSTANTE di un solido di un solido dipende dalla temperatura: tende a 0 per

dipende dalla temperatura: tende a 0 per

T T J J 0 0

e a e a

25 J/mole K 25 J/mole K

per temperature per temperature sufficientemente elevate (al di sopra di un determinata temperat

sufficientemente elevate (al di sopra di un determinata temperatura, detta ura, detta temperatura di

temperatura di DebyeDebye, che dipende dalla sostanza). La meccanica statistica spiega , che dipende dalla sostanza). La meccanica statistica spiega completamente questo comportamento tenendo conto della capacit

completamente questo comportamento tenendo conto della capacitàà degli atomi di degli atomi di vibrare nel solido.

vibrare nel solido.

6 1 =3

U = N ⎛ ⎝ ⎜ 2 KT ⎠ ⎟ ⎞ nRT

v

¹ ( ³ ) ³

c d nRT R

= n dT =

(12)

Processi adiabatici Processi adiabatici

dU = − δ L

dU = nC

_V

d T ^{p V} ^d = δ ^L = − ^dU = − ^nC

_V

^d ^T

) (

d )

(

d pV = nRT V d p + p d V = nR d T T

nC T

nR T

nC p

V d = +

_V

d + d =

_p

d

Il sistema

Il sistema èè isolato, perciò isolato, perciò

Q=0 Q=0

IL I PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA IL I PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

NELLE TRASFORMAZIONI REVERSIBILI NELLE TRASFORMAZIONI REVERSIBILI

(dalla relazione di

(dalla relazione di MeyerMeyer))

γ

−

=

−

− =

=

V p V

p

C C T

nC T nC

V p

p V

d d d

d

V V p

p d

d = − γ

(13)

integrando termine a termine:

∫

∫ ⁼ ⁻

^B

A B

A

V

V p

p

V

V p

p d

d γ ln

^B

ln

^B

A A

p V

p = − γ V p

_A

V

_A^γ

= p

_B

V

_B^γ

Si ottiene cos

Si ottiene cosìì la relazione fra pressione e volume nel caso di un la relazione fra pressione e volume nel caso di un processo adiabatico

processo adiabatico

costante

γ

= pV

Da cui:

( pV ) V

^γ⁻¹

= costante costante

1

=

γ−

TV

adiabatica isoterma

(14)

DISTRIBUZIONE DELLE VELOCITA DISTRIBUZIONE DELLE VELOCITA ’ ’ ( ) Funzione di distribuzione

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