Problemi : teoria cinetica dei gas

1.

La massa totale di un pallone aerostatico e del suo carico (esclusa l’aria all’interno) è m_p=200 kg. Il volume del pallone è V_p = 400 m³.

L’aria esterna ha una temperatura T = 10.0 ⁰C e pressione p= 1 atm = 1.013 10⁵ Pa.

Determinare a quale temperatura deve essere scaldata l’aria nel pallone affinchè possa decollare.

[ densità dell’aria a 10.0 ⁰C pari a 1.25 kg/m3 composizione aria secca nel pallone:

20 % O₂ e 80% N₂]

Problemi ^: teoria cinetica dei gas

y

perché il pallone decolli devo avere equilibrio nelle forze

(forze peso e spinta idrostatica F

_A

):

0 )

( )

( - + =

-

å =

y

A pallone

g aria

g

y

F F F

F

N s

m m

m kg

Vg g

m

F

_{A aria spostata aria}

4900 )

/ 8 . 9 )(

400 )(

/ 25 . 1 (

) (

2 3

3

=

=

=

= r

0 )

( )

( F !

_{g aria}

+ F !

_{g pallone}

+ F !

_A

=

N s

m kg

g m

F

_g

)

_{pallone p}

( 200 )( 9 . 8 / ) 1960

( = =

²

=

g m F

F F

F

_A

= (

_g

)

_pallone

+ (

_g

)

_aria

= (

_g

)

_pallone

+

_aria

s kg m

N g

F

m

_aria

F

^{g pallone A}

300

/ 8 . 9

) 4900 1960

) ( (

2

=

= -

= -

calcolo il numero di moli di aria entro il pallone

mol mol

kg kg

mol g

mol g

kg M

n m

aria aria

4 3

10 04 . 1 10

8 . 28

300

) / 0 . 28 80 . 0 ( ) / 0 . 32 20 . 0 (

300

´

=

´

=

´ +

= ´

=

-

dall’ equazione di stato dei gas perfetti:

K K mol J

mol

m Pa

nR

T pV 470

) /

315 . 8 )(

10 04 . 1 (

) 400 )(

10 013 . 1 (

4

3

5

=

×

´

= ´

=

2.

Un cilindro verticale di sezione A è limitato superiormente da un pistone di massa m, che può scorrere senza attrito.

a) Se nel cilindro ci sono n moli di gas perfetto a temperatura T, determinare l’altezza h a cui il pistone sarà in equilibrio sotto l’azione del proprio peso.

b) quanto vale h se n = 0.200 moli, T = 400 K, A = 0.00800 m² e m = 20.0 kg ?

a) all’equilibrio, devo avere risultante nulla delle forze sul pistone

0

- + = 0

-

å =

y

y

p A mg pA

F

y p ₀

applico equazione di stato dei gas perfetti p

Ah p nRT

nRT pAh

pV

=

=

=

che sostituita in (1) fornisce:

(1)

mg A

p h nRT

Ah A mg nRT

A p

= +

= +

- -

0

0

0

b)

N m N

Nm

s m kg

m Pa

K K

mol J

mol mg

A p h nRT

661 . 196 0

810 665

) / 8 . 9 )(

0 . 20 ( ) 00800 .

0 )(

10 013 . 1 (

) 400 )(

/ 315 . 8 )(

2 . 0 (

2 2

5 0

+ =

=

+

´

= ×

= +

3.

Un cilindro di raggio R= 40.0 cm e profondo h₀=50.0 cm è riempito d’aria a T=20.0⁰C e p₀ = 1 atm.

Un pistone di 20.0 kg viene abbassato nel cilindro, comprimendo l’aria intrappolata all’interno. Infine, un uomo di 75.0 kg sale sul pistone comprimendo ulteriormente l’aria che rimane a 20.0 ⁰C.

a)

di quanto si abbassa (Dh) il pistone quando l’uomo sale su di esso?

b) a

quale temperatura si deve riscaldare il gas perché sollevi il pistone e l’uomo di nuovo alla quota h_i? [quota originaria del pistone]

a) applico l’equazione di stato dei gas perfetti

con T = costante.

Nel caso di solo pistone:

pV = p

₀

V

₀

p(Ah

_i

) = p

₀

(Ah

₀

) con p = p

₀

+ m

_p

g/A [m

_p

= 20.0 kg massa pistone]

Ricavo h

_i

:

nRT pV =

cm m

m N

s m kg

m

A p

g m h

A g p m

h p pA

Ah h p

p p

i 49.81

) 4 . 0 ( ) / 10 013 . 1 (

) / 8 . 9 )(

0 . 20 1 (

5 . 0

1 _{5 2 2}

2 0

0 0

0 0 0

0 =

+

= +

= +

=

=

p

Ora sale l’uomo sul pistone: rifaccio i calcoli precedenti utilizzando la massa M + m_p

cm m

m N

s m kg

m

A p

g m M

h

A g m p M

h p pA

Ah h p

p p

10 . 49 )

4 . 0 ( ) / 10 013 . 1 (

) / 8 . 9 )(

0 . 95 1 (

5 . 0 )

1 ( )

' (

2 2

5

2 0

0 0

0 0 0

0 =

+ + =

+ + =

+

=

=

p mm

cm cm

h h

h= _i - '=49.81 -49.10 =7.06 D

b) nel processo di riscaldamento p rimane costante. Dalla eq. dei gas perfetti:

i f

i i

i f

f

T Ah T

Ah T

V T

V '

= Þ

=

C m K

K m h

T h

T

_{f i} ⁱ ₂ ⁰

2

24 10 297

10 . 49

10 81 . ) 49 0 . 273 0

. 20

' ( = =

´ + ´

=

=

^-_-

4.

Fare una stima della massa d’aria contenuta nella vostra stanza da letto.

Assumere come dimensioni 4 m x 4 m x 2.4 m.

5.

25.0 m al di sotto della superficie del mare (r_mare= 1025 kg/m³ e T = 0.00⁰C) , un sommozzatore emette una bolla d’aria di volume 1.00 cm³.

Se la temperatura della superficie del mare è 20.0 ⁰C, quale è il volume della bolla appena prima che scoppi ?

M =

massa di una mole

di aria

(N.B. A(N) = 14, A(O) = 16)

6. ^a)

Quanti atomi di elio riempiono un pallone di un diametro di 30.0 cm a 20.0 ⁰C e 1 atm ?

b)

quale è l’energia cinetica media per ciascun atomo di elio ?

c)

quale è la velocità quadratica media di ciascun atomo ?

a)

Il numero N di atomi del pallone è pari a N = n N_A , con n = numero di moli ed N_A numero di Avogadro.

Ricavo n dalla equazione di stato dei gas perfetti:

n = pV/RT

ove il volume del pallone è pari a :

da cui:

b) Energia cinetica media:

c) Calcolo la velocità quadratica media dalla energia cinetica:

Un atomo di He ha massa:

m = M/N

_A

= (4.0026 g/mol)/(6.02 10

^-23

molecole/mol)

= 6.65 10

^-24

g = 6.65 10

^-27

kg

ove M =

4.0026 g/mol è la massa molare da cui:

3 2 3

2

3 (15.0 10 ) 1.41 10

3 4 3

4 R m m

V = p = p ´ ^- = ´ ^-

atomi mol

molecole mol

nN N

K mol K

mol Nm

m n Pa

A

23 23

3 2 5

10 54 . 3 ) / 10

02 . 6 )(

588 . 0 (

588 . ) 0

0 . 273 0

. 20 )(

/ 315 . 8 (

) 10

41 . 1 )(

10 013 . 1 (

´

=

´

=

=

+ =

×

´

= ´ ^-

J K

K J T

k mv

K ² _B (1.38 10 ²³ / )(293 ) 6.07 10 ²¹ 2

3 2

3 2

1 = = ´ _- = ´ _-

=

m v K

v

_{rqm 2}

2

=

=

s kg km

v J

v

_rqm

1 . 35 /

10 65 . 6

) 10 07 . 6 ( 2

27 21

2

=

´

= ´

=

_-^-