Esercizio 1 (Circuiti RL in serie). Si considerino i sistemi elettrici RL rappresentati nella seguente figura:

Esercizio 1 (Circuiti RL in serie).

Si considerino i sistemi elettrici RL rappresentati nella seguente figura:

a a

a a

    


   

L R ₁

u ₁ (t) y ₁ (t)

+ + ^a

a

a a

    


   

L R ₂

u ₂ (t) y ₂ (t)

+ +

Si consideri inoltre il sistema ottenuto collegando in serie i due sistemi precedenti:

a a

a a

       





L R ₁

u(t)

+ ^a

a

a a

       





L R ₂ y(t)

+

1. Si determinino i modelli di stato e le funzioni di trasferimento G ₁ (s) e G ₂ (s) dei due sistemi rappresentati nella prima figura.

2. Si determini il modello di stato e la funzione di trasferimento G(s) del sistema rap- presentato nella seconda figura.

3. Si mostri che comunque assegnati i valori (positivi) di L, R 1 e R 2 , la matrice di stato A del modello di stato del sistema rappresentato nella seconda figura ` e diagonalizzabile.

4. Si mostri che tutti e quattro i sistemi sono necessariamente BIBO-stabili e asintotica- mente stabili.

5. Si confrontino la funzione di trasferimento G(s) e la funzione di trasferimento serie W (s) := G ₁ (s)G ₂ (s). Si commenti il risultato del confronto.

6. Si mostri che i modi del sistema rappresentato nella seconda figura non possono avere componenti oscillatorie.

7. Si determinino le costanti di tempo τ ₁ := L/R ₁ e τ ₂ := L/R ₂ in modo che il sistema rappresentato nella seconda figura abbia i modi:

e ⁽⁻²⁺

√

2)t e ⁽⁻²⁻

√ 2)t .

8. Si ponga R ₁ = R ₂ = R e si assuma che τ := L/R sia pari a un secondo. Si calcolino la risposta indiciale del sistema di funzione di trasferimento G(s) e quella del sistema di funzione di trasferimento W (s) := G ₁ (s)G ₂ (s).

9. Si assuma che τ ₁ := L/R ₁ sia pari a un secondo e che τ ₂ := L/R ₂ = τ ₁ /1000. Si

calcolino la risposta indiciale del sistema di funzione di trasferimento G(s), quella

del sistema di funzione di trasferimento W (s) := G ₁ (s)G ₂ (s) e quella del sistema di

funzione di trasferimento G ₁ (s). Si confrontino le tre risposte indiciali calcolate e si

commentino i relativi risultati.

Soluzione (a cura di Francesca Berto e Isabella Sgro).

1. Circuito 1 : scelgo come unica variabile di stato : x = i L

Le equazioni di stato sono quindi:



 



 



˙x = 1

L v _L = 1

L (u ₁ − v _R

₁

) = 1

L u ₁ − 1

L R ₁ i _R

₁

= 1

L u ₁ − R ₁ L x y ₁ = v _R

₁

= R ₁ i _R

₁

= R ₁ x

ossia

( ˙x = A ₁ x + b ₁ u ₁ y ₁ = c ₁ x

con A ₁ = ^−R _L

¹

; b ₁ = _L ¹ ; c ₁ = R ₁ La funzione di trasferimento risulta pertanto:

G ₁ (s) = c ₁ (sI − A ₁ ) ⁻¹ b ₁ = R ₁ (s + R ₁ L ) ⁻¹ 1

L = R ₁ L

1

s + ^R _L

¹

= R ₁ sL + R ₁

Circuito 2 : come per il circuito 1 si trova la seguente funzione di trasferimento:

G ₂ (s) = R ₂ sL + R 2

2. Circuito 3 : scelgo come variabili di Stato : x = x ₁ x ₂



= i _L

₁

i _L

₂

 Le equazioni di stato sono quindi:



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



˙ x ₁ = 1

L v _L

₁

= 1

L (u − v _R

₁

) = 1

L (u − R ₁ (i _L

₁

− i _L

₂

)) = 1

L u − R ₁

L x ₁ + R ₁ L x ₂

˙ x ₂ = 1

L v _L

₂

= 1

L (v _R

₁

− v _R

₂

) = 1

L (R ₁ i _R

₁

− R ₂ i _L

₂

) = 1

L (R ₁ (i _L

₁

− i _L

₂

) − R ₂ i _L

₂

) =

= 1

L (R 1 i L

1

− (R 1 + R 2 )i L

2

) = R 1

L x 1 − R 1 + R 2

L x 2

y = v _R

₂

= R ₂ i _R

₂

= R ₂ x ₂ ossia

( ˙x = Ax + bu y = cx con

A =





−R

1

L

R

1

L

R

1

L − ^R

¹

^+R2 _L



 b =





1 L

0



 c = 0 R ₂ 

La funzione di trasferimento risulta pertanto:

G(s) = c(sI − A) ⁻¹ b + 0 = 0 R ₂ 





s + ^R _L

¹

− ^R _L

¹

− ^R _L

¹

s + ^R

¹

^+R2 _L





−1 



1 L

0



 =

= 0 R 2

 1

(s + ^R _L

¹

)(s + ^R

¹

^+R _L

²

) − ^R _L

²¹2





∗ ∗

R

1

L ∗









1 L

0



 =

= R ₁ R ₂ L ²

1

s ² + ^R

¹

^+R _L

²

s + ^R _L

¹

s + ^R

¹

^(R _L

¹2

^+R

²

⁾ − ^R _L

2²¹

=

= R ₁ R ₂ L ²

1

s ² + ^2R

¹

_L ^+R

²

s + ^R _L

¹

^R

2²

3. Una matrice A∈ R ^n×n ` e diagonalizzabile se ha n autovalori distinti (si noti che il viceversa non vale). In questo caso ` e quindi sufficiente dimostrare che A ha 2 autovalori distinti. Il polinomio caratteristico ` e

π _A (s) = det(sI − A) = s ² + 2R ₁ + R ₂

L s + R ₁ R ₂ L ² .

Esso ha due zeri distinti se e solo se il relativo discriminante ∆ 6= 0. Si ha

∆ =  2R ₁ + R 2

L

 2

− 4 R 1 R 2

L ² = 4R ² ₁ + 4R 1 R 2 + R ₂ ² − 4R 1 R 2

L ² = 4R ² ₁ + R ² ₂ L ² 6= 0

∀R ₁ , R ₂ , L > 0. Quindi A ` e diagonalizzabile.

4. Dato che

stabilit` a asintotica =⇒ BIBO-stabilit` a ma non! viceversa

se i sistemi risulteranno asintoticamente stabili saranno anche BIBO-stabili, altrimenti si proceder` a con la verifica della BIBO-stabilit` a.

Un sistema ` e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori del polinomio carateristico hanno parte reale negativa,

Re(λ i ) < 0, ∀λ _i ∈ π _A (s).

Per il circuito 1: π A

1

(s) = s+ ^R _L

¹

da cui si ricava l’unico autovalore reale λ 1 = − ^R _L

¹

<

0, quindi il sistema ` e asintoticamente stabile quindi anche BIBO-stabile.

Per il circuito 2: stesso ragionamento, si ottiene λ 2 = − ^R _L

²

< 0, quindi il sistema ` e asintoticamente stabile quindi anche BIBO-stabile.

Per il circuito 3: da π A (s) si ricava

s _1,2 = − ^2R

¹

_L ^+R

²

±

q 4R

²₁

+4R

1

R

2

+R

₂²

−4R

₁

R

2

L

²

2 = − ^2R

¹

_L ^+R

²

± _L ¹ p4R ² ₁ + R ₂ ²

2

(Si noti che ∆ = 4R ₁ ² + R ² ₂ non pu` o essere negativo o nullo perch` e dato dalla somma di due termini per ipotesi positivi e non nulli).

Si ottengono quindi due autovalori reali distinti pari a s ₁ = − ^2R

¹

_L ^+R

²

+ _L ¹ p4R ₁ ² + R ² ₂

2 , s ₂ = − ^2R

¹

_L ^+R

²

− _L ¹ p4R ² ₁ + R ² ₂ 2

E immediato verificare che s ` ₂ < 0. Riguardo a s ₁ , si ha:

s ₁ < 0 ⇔ − 2R ₁ + R ₂

L + 1

L q

4R ² ₁ + R ² ₂ < 0 ⇔ 1 L

q

4R ₁ ² + R ² ₂ < 2R ₁ + R ₂ L

⇔ 4R ² ₁ + R ² ₂ < (2R ₁ + R ₂ ) ² ⇔ 4R ² ₁ + R ² ₂ < 4R ² ₁ + 4R ₁ R ₂ + R ² ₂ ⇔ 4R ₁ R ₂ > 0.

Quest’ultima condizione ` e chiaramente verificata perch´ e R ₁ e R ₂ sono positivi per ipotesi. Il sistema risulta quindi asintoticamente stabile e quindi anche BIBO-stabile.

5. Funzione di Trasferimento serie:

W (s) := G ₁ (s)G ₂ (s) = R ₁ sL + R 1

· R ₂ sL + R 2

= R ₁ R ₂

s ² L ² + (R 1 + R 2 )Ls + R 1 R 2

=

= R ₁ R ₂ L ²

1

s ² + ^R

¹

^+R _L

²

s + ^R _L

¹

^R

2²

Questa funzione di trasferimento risulta essere diversa da G(s) perch´ e al denominatore troviamo ^R

¹

^+R _L

²

s invece di ^2R

¹

_L ^+R

²

s . In altre parole, la funzione di trasferimento della serie dei due circuiti non ` e la serie delle due funzioni di trasferimento relative. Il motivo ` e che nel calcolo della funzione di trasferimento G ₁ (s) si assume che i morsetti di uscita siano aperti, cosa che non avviene nella serie dei due circuiti.

6. Per dimostrare che i modi del sistema rappresentato dal circuito 3 non hanno compo- nenti oscillatorie basta dimostrare che il discriminante ∆ nella formula per il calcolo di s _1,2 (che sono i poli di G(s)) ` e non-negativo. Infatti, in tal caso, gli autovalori di A sono reali e quindi i modi sono esponenziali senza componenti oscillatorie. Abbiamo gi` a calcolato

∆ = 4R ² ₁ + R ₂ ²

L ² che ` e positivo perch´ e R ₁ , R ₂ , L > 0 per ipotesi.

7. Quando i modi sono non oscillatori (come in questo caso), si presentano nella forma e ^s

¹

^t , e ^s

²

^t .

Siccome i modi richiesti sono e ⁽⁻²⁺

√ 2)t e e ⁽⁻²⁻

√ 2)t si pu` o dedurre che s ₁ = −2 + √

2 ; s ₂ = −2 − √ 2 da cui si ricava che



 

 

1

2 − ^2R

¹

_L ^+R

²

= −2

1 2

q 4R

²₁

+R

²₂

L

²

= √

2







− ^R _L

¹

− ¹ ₂ ^R _L

²

= −2

1 4

4R

²₁

+R

²₂

L

²

= 2







1 τ

1

+ ¹ _{2 τ} ¹

2

= 2

1

τ

₁²

+ ¹ _{4 τ} ¹

2

2

= 2



 

 

1

τ

1

= 2 − ¹ _{2 τ} ¹

2

2 − ¹ _{2 τ} ¹

2

2

+ ¹ _{4 τ} ¹

2

2

= 2

da cui 4 + 1 4

1 τ ₂ ² − 2 1

τ ₂ + 1 4

1 τ ₂ ² = 2

2 + 1 2

1 τ ₂ ² − 2 1

τ ₂ = 0 → 1 τ ₂ ² − 4 1

τ ₂ + 4 = 0 →  1 τ ₂



1,2

= 4 ± √

16 − 4· 4 2

e si ottiene _τ ¹

2

= 2 quindi τ ₂ = ¹ ₂ . Sostituendo poi nel sistema si ottiene τ ₁ = 1 . 8. Calcolo della risposta indiciale (risposta al gradino) per il sistema con funzione di

trasferimento G(s) e ingresso u(t) = 1(t) quindi U (s) = ¹ _s .

Sostituendo all’equazione di G(s) i valori R ₁ = R ₂ = R e τ := ^L _R = 1 si ottiene:

G(s) = 1

s ² + 3s + 1 con s _1,2 = −3 ± √ 9 − 4 2 s ₁ = − 3

2 +

√ 5

2 , s ₂ = − 3 2 −

√ 5

2 → G(s) = 1

s + ³ ₂ −

√ 5 2

s + ³ ₂ +

√ 5 2

Y (s) = G(s)U (s) = 1

s

1 s + ³ ₂ −

√ 5 2

s + ³ ₂ +

√ 5 2

=

= G(0)

s + A

s + ³ ₂ −

√ 5 2

+ B

s + ³ ₂ +

√ 5 2

dove

G(0) = sY (s)| _s=0 = 1 A = s + ³ ₂ −

√ 5

2
Y (s)| _s=−

3 2

+

√ 5 2

= ₋₃ ^{√ 2}

5+5

B = s + ³ ₂ +

√ 5

2
Y (s)| _s=−

3 2

−

√ 5 2

= ²

3 √ 5+5

Y (s) = 1 s +

2

−3 √ 5+5

s + ³ ₂ −

√ 5 2

+

2 3 √

5+5

s + ³ ₂ +

√ 5 2

e antitrasformando y(t) =



1 + 2

−3 √

5 + 5 e ⁻

³²

⁺

√ 5 2

t

+ 2

3 √

5 + 5 e ⁻

³²

⁺

√ 5 2

t

 1(t)

Calcolo della risposta indiciale (risposta al gradino) per il sistema serie con funzione di trasferimento W(s) e ingresso u(t) = 1(t) quindi U (s) = ¹ _s .

Sostituendo all’equazione di W(s) i valori R ₁ = R ₂ = R e τ := ^L _R = 1 si ottiene:

W (s) = 1

s ² + 2s + 1 = 1

(s + 1) ² da cui si ricava Y (s) = W (s)U (s) = 1

s 1

(s + 1) ² = W (0)

s + A ₁

(s + 1) + A ₂

(s + 1) ²

dove

W (0) = sY (s)| _s=0 = 1

A ₁ = _ds ^d (s + 1) ² Y (s)| _s=−1 = _ds ^d  ₁

s | _s=−1 = − _s ¹

2

| _s=−1 = −1 A 2 = (s + 1) ² Y (s)| s=−1 = −1

Y (s) = 1 s − 1

s + 1 − 1

(s + 1) ² e antitrasformando y(t) = (1 − e ^−t − te ^−t )1(t)

9. Con τ 1 = _R ^L

1

= 1 e τ 2 = _R ^L

2

= ₁₀₀₀ ^τ

¹

= ₁₀₀₀ ¹ , calcolare la risposta indiciale (risposta al gradino) del sistema G(s) (circuito 3), del sistema W (s) (sistema serie) e del sistema G ₁ (s) (circuito 1).

• In questo caso G(s) ha l’espressione:

G(s) = R ₁ L · R ₂

L · 1

s ² + 2 ^R _L

¹

+ ^R _L

²

s + ^R _L

¹

^R _L

²

=

= 1 τ ₁ · 1

τ ₂ · 1

s ² + 2 _τ ¹

1

+ _τ ¹

2

s + _τ ¹

1

1 τ

2

= 1000

s ² + 1002s + 1000 Ne calcolo i poli:

s _1,2 = −1002 ± √

1004004 − 4000

2 = −1002 ± √

1000004

2 ' −1002 ± 1000

2 ossia

s ₁ ' −1 , s ₂ ' −1001 Pertanto

G(s) ' G _A (s) = 1000 (s + 1)(s + 1001)

Osservo che con questa approssimazione G(0) = 1 6= G _A (0) = ¹⁰⁰⁰ ₁₀₀₁ . Pertanto, il valore di regime nella risposta al gradino del sistema approssimato ` e diverso da quello relativo al sistema originale. Pertanto, risulta pi` u ragionevole utilizzare la seguente approssimazione (pi` u spinta):

G(s) ' 1000

(s + 1000/1001)(s + 1001) Detto α := 1000/1001, si ha dunque

Y (s) = G(s)U (s) ' 1000

s(s + α)(s + 1001) = G(0)

s + A

s + α + B s + 1001

dove

G(0) = 1

A = (s + α)Y (s)| _s=−α = _α(α+1001) ¹⁰⁰⁰ ' −1.001

B = (s + 1001)Y (s)| _s=−1001 = _s(s+α) ¹⁰⁰⁰ | _s=−1001 ' 0.001

Y (s) ' 1

s − 1.001

s + α + 0, 001

s + 1001 → y(t) = (1 − 1.001e ^−αt + 0.001e ^−1001t )1(t)

• Dopo aver sostituito i valori di τ ₁ e τ ₂ , si ha:

W (s) = 1000

s ² + 1001s + 1000 , s _1,2 = −1001 ± √

998001

2 = −1001 ± 999

2 ottenendo s ₁ = −1 , s ₂ = −1000 → W (s) = 1000

(s + 1)(s + 1000) Y (s) = W (s)U (s) = 1000

s(s + 1)(s + 1000) = W (0)

s + A

s + 1 + B s + 1000

dove

W (0) = 1

A = (s + 1)Y (s)| _s=−1 = _s(s+1000) ¹⁰⁰⁰ | _s=−1 ' −1.001 B = (s + 1000)Y (s)| _s=−1000 = _s(s+1) ¹⁰⁰⁰ | _s=−1000 ' 0.001

Y (s) = 1

s − 1, 001

s + 1 + 0, 001

s + 1000 → y(t) = (1 − 1, 001e ^−t + 0, 001e ^−1000t )1(t)

• Riscrivo G 1 (s) come:

G ₁ (s) = R ₁ R ₁ s _R ^L

1

+ 1
= 1

sτ ₁ + 1 = 1 s + 1

Y (s) = G ₁ (s)U (s) = 1 s

1

s + 1 = G ₁ (0)

s + A

s + 1

dove G ₁ (0) = sY (s)| _s=0 = 1

A = (s + 1)Y (s)| _s=−1 = −1 → Y (s) = 1 s − 1

s + 1 e antitrasformando si ha: y(t) = (1 − e ^−t )1(t).

Confronto tra le risposte indiciali:

E evidente che le tre risposte indiciali sono quasi uguali. ` L’unica differenza (che tuttavia si nota solo su scale di tempo brevissime) ` e che le prime due risposte “partono”

da zero con derivata nulla perch´ e le relative funzioni di trasferimento hanno grado

relativo pari a 2, mentre la terza “parte” da zero con derivata non nulla perch´ e la

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

Step Response

Time (seconds)

Amplitude

Figure 1: La curva in verde rappresenta le due risposte indiciali di G e W (indistinguibili su questa scala. La curva in rosso, rappresenta la risposta indiciale di G ₁

relativa funzione di trasferimento ha grado relativo pari a 1 (cfr. figura e relative scale).

La ragione per la quale le tre risposte indiciali sono praticamente identiche ` e la seguente. Esaminando il transitorio, cio` e i modi in cui la risposta tende al proprio valore di regime, si osserva che, in tutti e tre i casi:

Y (s) = 1

s + Y _t (s) dove Y _t (s) =

n

X

i=1

A _i s − s _i

y _t (t) =

n

X

i=1

A _i e ^s

ⁱ

^t Re(s i ) < 0. Se s _i ∈ R allora e ^s

ⁱ

^t → 0 esponenzialmente.

La convergenza ` e determinata dal modo “pi` u lento”, cio` e quello che corrisponde al polo pi` u a destra e quindi pi` u vicino all’asse immaginario.

Siccome il contributo dei poli pi` u a sinistra (poli veloci) si esaurisce presto, in prima approssimazione possono essere trascurati.

• Sistema con funzione di trasferimento G(s) :

Si pu` o trascurare il contributo del polo −1001 e si ottiene un andamento ap- prossimabile a y(t) ' (1 − e ^−t )1(t).

• Sistema con funzione di trasferimento W (s) :

Si pu` o trascurare il contributo del polo −1000 e si ottiene un andamento ap-

prossimabile a y(t) ' (1 − e ^−t )1(t).

• Sistema con funzione di trasferimento G ₁ (s) :

Si ha (senza approssimazioni): y(t) = (1 − e ^−t )1(t).